Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn thi: Toán

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8.
 	 	 Môn thi: TOÁN.
	 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
	Bài 1:(2,0 điểm).
Phân tích đa thức thành nhân tử.
	x + 3xy + y - 1
	Bài 2 (1,50 điểm):	 	
Giải phương trình:
	Bài 3 (1,50 điểm): Chứng tỏ rằng không có giá trị nào của x thỏa mãn bất đẳng thức sau:	
Bài 4(1,0 điểm):
	Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:	
Bài 5(1,0 điểm):(Không sử dụng MTBT tính trực tiếp).
	Tìm chữ số tận cùng của số A = 
	Bài 6 (3,0đ): Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB với CD, K là giao điểm của AC với BF. Chứng minh rằng:
	a). HA = KA
	b). HA2 = HB.KC
	HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
	 	 	 Môn thi: TOÁN 	
Bài 1:(2,0 điểm).
 x + 3xy + y - 1
= ( x + 3xy + 3xy + y - 1) - 3xy - 3xy + 3xy	(0,50 đ) 	= (x + y) - 1 - 3xy(x + y – 1)	(0,50 đ) 	
= (x + y – 1)(x + 2xy + y +x +y +1 – 3xy)	(0,50 đ) 	
= (x + y – 1)(x - xy + y +x +y +1).	(0,50 đ) 	
Bài 2 (1,50 điểm):
	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	(*)	(0,25 đ)
	Do 	(0,25 đ)
nên: (*) 	(0,25 đ)
 	(0,25 đ) 
Bài 3 (1,50 điểm):
	 Ta có: -2x – x – 3 = -2.	(0,25 đ)	 	 	(0,25 đ)
	 	 (0,25 đ)	 	(0,25 đ)
Với mọi x ta luôn có:	 -2	 	(0,25 đ)
Lại có nên ta có: . Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh là không có giá trị nào của x thỏa mãn BĐT: 	(0,25 đ) 
Bài 4 (1,0 điểm):
	(0,25 đ)
A có giá trị nguyên khi là nguyên, tức là phải có (x – 3) là ước của 7	(0,25 đ)
Do đó: 	x – 3 = - 1 => x = 2	(0,125đ)
	x – 3 = 1 => x = 4	(0,125đ)
	x – 3 = -7 => x = -4	(0,125đ)
	x – 3 = 7 => x = 10	(0,125đ)
	Bài 5 (1,0 điểm):
Ta thấy: 	(0,25 đ)
	 = 	(0,25 đ)
Số có chữ số tận cùng bằng 6 dù nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 6, do đó 16502 có chữ số tận cùng bằng 6.	(0,25 đ)
Suy ra số A = 22009 = 16502.2 có chữ số tận cùng bằng 2.	(0,25 đ)
	Bài 6 (3,0 đ):
a). (2,25đ)
Gọi các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt là c, b.
	(0,25 đ)
Tương tự ta cũng có: 	 AB // CF	(0,25 đ)
Theo định lý Talet, ta có:
	(0,25 đ)
	 (vì 	(0,25 đ)
Từ (1):	 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)	Từ (2):	 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)	 
	Vậy HA = KA = 	(0,25 đ)
b).Từ (1) và (2) ở trên ta có: 	 (0,25 đ)
	mà HA = KA (C/m trên) nên suy ra HA2 = HB.KC	 (0,50 đ)
Lưu ý: 
- Ở các bài toán trên học sinh có thể giải theo các cách khác mà có kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Với bài 6, nếu không có hình vẽ mà chứng minh đúng thì không cho điểm ).	
CẤU TRÚC VÀ Ý TƯỞNG RA ĐỀ.
 1.Cấu trúc đề:
 Gồm hai môn học:Hình học và Đại số,trong đó:
 + Đại số : 70%.
 + Hình học: 30%.
 + Gồm 6 câu:Đại số 5 câu (7,0đ), hình học 1 câu (3,0đ)
 + Phạm vi kiến thức: Từ kiến thức lớp 6 dến lớp 8,theo tinh thần vận dụng linh hoạt kiến thức cơ bản và mở rộng kiến thức phù hợp với lứa tuổi.
 2.Ý tưởng ra đề: 
 Để kiểm tra việc lĩnh hội kiến thức của HS trong quá trình học từ lớp 6 đến lớp 8.Từ những gì học được từ Thầy giáo và việc tự học tự nghiên cứu mở rộng kiến thức của HS.Việc phối kết hợp kiến thức thành một chuỗi kiến thức có tính hệ thống,lôgic,đòi hỏi có tính tư duy,sáng tạo của người học.Ngoài ra có thể từ đó làm cơ sở để chọn lọc học sinh có kiến thức tốt và biết được những điểm yếu của học sinh để tiếp tục bồi dưỡng dự thi các cấp cao hơn(cấp Tỉnh...).
 Nội dung chính trong đề này gồm có các kiến thức chính:Phân tích đa thức thành nhân tử,hắng đẳng thức đáng nhớ,tìm giá trị nguyên của biểu thức,tìm chữ số tận cùng của một số có có số mũ lớn (không dùng MTBT tính trực tiếp).Giải phương trình và bất phương trình,Vận dụng định lý Talet trong tam giác.
 Theo ý đồ từ dễ đến khó,từ kiến thức cơ bản đến phối hợp nhiều kiến thức, đòi hỏi có tính tư duy,sáng tạo trong làm bài.
 *Cụ thể:
 Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 3xy + y - 1. Để làm được bài này ngoài những kĩ năng phân tích đã được học trong chương trình HS cần có tư duy sáng tạo như:Thêm bớt hạng tử một cách hợp lý.(như phần đáp án).
 Bài 2:Giải phương trình.Đây là bài giải có phần đánh giá sự biến đổi,thu gọn hợp lý.HS phải có sự khéo léo để đưa về dạng phương trình tích A.B = 0 suy ra A= 0 hoặc B= 0 để giải.
 Bài 3: Tìm giá trị của biến để thoả mãn yêu cầu của đề thì phải kết hợp giải bất phương trình và phân tích đa thức thành nhân tử,dùng hằng đẳng thức.Nâng cao khi giải bất phương trình.
 Bài 4:Tìm giá trị nguyên của biểu thức là nâng cao khả năng phân tích biến đổi để đưa về dạng tổng quát,lập luận tìm ước của một số qua biểu thức ( x – 3 là ước của 7) từ đó tìm giá trị nguyên qua biến.
 Bài 5:Khả năng tư duy cao để tìm được số có luỹ thừa lớn nhưng vẫn có chữ số tận cùng là 6 (.....6) để từ đó nhân với 2 có kết quả cuối cùng là 2; A = 22009 = 16502.2 từ đó HS thấy sự thích thú với những con số hơn.
 Bài 6: Với mức độ vừ phải nhưng đòi hỏi có sự khéo léo khi sử dụng định lý Talet trong tam giác,để chứng minh độ dài hai đoạn thẳng bằng nhau,bình phương một đoạn thẳng bằng tích hai đoạn thẳng.
Qua bài thi này HS thấy được việc lĩnh hội kiến thức của mình để có phương pháp phù hợp hơn.Giáo viên rút kinh nghiệm,điều chỉnh phương pháp giảng dạy sao cho đạt kết quả cao nhất.