Đề thi học sinh giỏi huyện Toán Lớp 8 - Phạm Lưu Nhân

Đề thi HSG huyện năm 1997-1998 (120 phút)
Câu 1. Cho biểu thức: .
Tìm TXĐ của P(x). Rút gọn P(x).
Với giá trị nào của x thì P(x) < 1
Câu 2. Cho hai phương trình. x2 - x + m = 0 (1) 
	và x2 - 3x - m = 0 (2)
Giải phương trình (1) với m = -2
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
Tìm giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung.
Câu 3. Cho là một nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 + px + q = 0 (p, q ẻ Q). Tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
Câu 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ trên nửa dường tròn (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn (O) tại C và D, OC và OD lần lượt cắt MA và MB tại I và J.
Chứng minh đoạn IJ có độ dài không đổi 
Chứng minh tồn tại một đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD.
Xác định vị trí điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất.
 sơ tuyển HSG huyện Quỳnh Lưu năm 1999 - 2000
lớp 9 Thời gian 120 phút
Câu 1. Cho số A = 1111 (gồm 1986 chữ số 1). Chứng minh số A có 8 ước số lớn hơn 10 mà mỗi ước đều gồm những chữ số giống nhau.
Câu 2. Tính: 
	a. 
	b. 
Câu 3. Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh đẳng thức
Câu 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, I là trung điểm của cạnh BC và D là điểm đối xứng của điểm A qua tâm O.
a. Chứng minh BHCD là hình bình hành.
b. Chứng minh rằng AH = 2.IO
Câu 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng:
Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu năm 2000- 2001
lớp 9 Thời gian 150 phút
Câu 1. 
a) Tính 
b) So sánh các số M và N sau đây:
	;	
Câu 2.
 Giải hệ phương trình 
Câu 3. Hai đường tròn (O) và (O1) tiếp xúc ngoài tại điểm C. Đường thẳng OO1 cắt đường tròn (O) và (O1) lần lượt tại A và B. MN là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (M, N lần lượt là các tiếp điểm thuộc đương tròn (O) và (O1)). Gọi D là giao điểm của AM và BN.
a) Chứng minh 
b) Chứng minh rằng: DC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O1)
Câu 4. Cho x và y là hai số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 ≤ x + 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 2x + 3y.
Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu năm 2001 - 2002
lớp 9 Thời gian 150 phút
Câu 1. Giải phương trình
a) 
b) (x - 1)(2x - 2) + y(3y - 2) = 12
Câu 2. 
a) Cho a, b, c > 0 ab + bc + ca = 1. Chứng minh đẳng thức
b) Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh đẳng thức.
Câu 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M khác A, B thuộc đường tròn. Goi T là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và M. Vẽ MC, MD theo thứ tự vuông góc với AB và AT (C∈AB, D∈AT). Gọi I là trung điểm của CD
a) Tam giác IMT là tam giác gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh 
c) Chứng minh OA.OC = 2.AI2
d) Xác định vị trí của M trên đường tròn (O) để diện tích rIMO lớn nhất
Câu 4. Cho 5 đoạn thẳng sao cho bất kì ba đoạn nào trong số đó cũng có thể lập thành ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng trong các tam giác tạo thành có ít nhất một tam giác mà cả ba góc đều nhọn
Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu năm 2002 - 2003
lớp 9 Thời gian 120 phút
 Câu 1. Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x ẻ Z để A ẻ Z.
 Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình (m + 2)x + (m - 3)y = m - 8
a) Xác định m để đường thẳng đi qua điểm P(-1, 1)
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
 Câu 3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = 
 Câu 4. Cho rABC cân tại A vẽ một đường tròn tâm O nằm trên cạnh BC và tiềp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I ≠ D, E). Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt cạnh AB, AC tương ứng tại M, N.
a) Chứng minh rằng chu vi rAMN không đổi.
b) Chứng minh hệ thức 4BM.CN = BC2
c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để rAMN có diện tích lớn nhất.
 Câu 5. Cho rABC đều. Điểm M thuộc miền trong của tam giác đã cho sao cho:
MA2 = MB2 + MC2. Tình góc BMC ?
Sơ tỉnh 2002 - 2003
Câu 1 Tìm các số x, y thoả mãn phương trình 
Câu 2. Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một trận với mỗi đấu thủ của đội bên kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số đấu thủ của hai đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ. Hãy tìm số đấu thủ của mỗi đội.
Câu 3. Cho a ≥1, b ≥ 1, c ≥ 1. Chứng minh BĐT: 
Câu 4. Trong mặt phẳng cho một hình vuông. Người ta vẽ 9 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2/3. Chứng mỉnhằng có ít nhất ba đường thẳng trong 9 đường thẳng đã vẽ cùng đi qua một điểm.
Câu 5. Cho rABC đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc B cắt đường phân giác trong của góc A lần lượt tại I và J. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của J trên BC. Chứng minh AH//IM
Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu năm 2003- 2004
lớp 9 Thời gian 120 phút
Câu 1. 
	a. Cho x≥0, y≥0 và . Tính giá trị của biểu thức 
	b. Tính 
Câu 2. a.Giải hệ phương trình: 
	b. Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x - 3 và đường thẳng (l) có phương trình
 y = (m + 1)x + 2. Xác định giá trị của m để hai đường thẳng (d) và (l) cắt nhau tại điểm I có toạ độ (x1, y1) sao cho x1 + y1 = 2
Câu 3. Cho các số thực x, y thoả mãn và 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điiểm thuộc đường kính AB (M khác A, B), N là trung điểm của MB. Dây CD vuông góc với AB tại N. Gọi E là giao điểm của AC với MD.
a. Tứ giác BCMD là hình gì ? Chưng minh ?
b. Xác định vị trí tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp rAEM
c. Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Câu 5. rABC có AM là trung tuyến. Chứng minh rằng nếu các bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác AMB và AMC bằng nhau thì rABC cân.
Sơ tỉnh 2003 - 2004
Câu 1.
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2y + xy2 + x2z + xz2 +y2z + yz2 + 3xyz
b) Giải phương trình với các ẩn là x, y: 
Câu 2. Trong hội trại của một trường có khoảng 1020 em HS tham gia. Ban tổ chức phân chia số HS đó thành 40 nhóm, mỗi nhóm có không ít hơn 20 HS
a) Chứng minh rằng với bất kì cách chia nào cũng tìm được 4 nhóm có số HS bằng nhau
b) Hãy tìm một cách chia sao cho không ua 4 nhóm có số HS bằng nhau.
Câu 3. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4. Cho rABC. AB Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ rBCD (BD = DC) sao cho góc BDC bằng góc BAC
a) Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua D
b) Chứng minh: rMDN ~ rBDC
c) So sánh chu vi rAMN và chu vi rDMN
đề thi HSG huyện năm 2006-2007
Câu 1. Hãy chọn phương án đúng trong các phương án ở mỗi câu sau.
Giá trị của x để là:
A. x ³ -2;	B. x ³ 2;	C. |x| ³ 2
2. Điểm nằm trên đồ thị của hàm số:
A. y = -x + 5;	B. y = 2x + 3;	C. y = 
3. Biểu thức có giá trị là:
A. ;	B. ;	C. ;	D. 
Câu 2. Rút gọn biểu thức: 
Câu 3. Tìm các cặp số (x, y) thoả mãn phương trình x
Câu 4. Cho x > 0, y > 0, z ³ 4 và x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = xyz
Câu 5. Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho: .
Chứng minh: BC2 = 4BM.CN
Chứng minh: NO là tia phân giác của góc MNC
Khi M và N di động trên cạnh AB và AC của DABC sao cho , kẻ OH ^ MN.
Chứng minh rằng: Điểm H luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Sơ tỉnh năm 2007 - 2008
Câu 1. CMR nêu a, b là số chính phương lẻ liên tiếp thì: (a - 1)(b - 1)192
Câu 2. Giải phương trình 
Câu 3. Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phương trình: 3x2 + 2y2 + 4xy - 7x - 5y + 3 = 0
Sao cho tỏng x + y đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ?
Câu 4. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh BĐT 
Câu 5. Cho rABC vuông tại A, đường cao AH, tia phân giác của góc BAH và góc CAH cắt BC tại D và E.
a) Chứng minh: rABE và rACD là những tam giác cân
b) Tia phân giác của góc B cắt AD tại I tia phân giác của góc C cắt AE tại K. Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng AP = AQ.
sơ tỉnh năm 2008-2009
(150 phút)
Câu 1. 
Giải phương trình: 2x2 + 26x + 90 = 6
Cho a, b, c ạ 0 thoả mẵn điều kiện: và a + b + c = abc.
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 2. Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số tự nhiên c sao cho a2 + b2 + c2 là số chính phương.
Câu 3. Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + xz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (x4 + 2)(y4 + 2)(z4 + 2)
Câu 4. Cho tam giác đều ABC, đường cao AD, trực tâm H. Từ điểm M bất kỳ trên cạnh BC kẻ ME ^ AB, MF ^ AC (E ẻ AB, F ẻ AC), I là trung điểm của của EF và DI.
Chứng minh:
EF ^ DI tại O
Ba điểm H, O, M thẳng hàng