Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2002-2003

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 90 phút 
Bài 1 : (3 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a) x2 + 6x + 5 
b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 
Bài 2 : (4 điểm) 
a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz. 
b) Rút gọn phân thức : 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. 
A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2. Chứng minh A > 0. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức : 
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12. 
Bài 5 : (6 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 
a) Chứng minh AE = AB. 
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HUYỆN YÊN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC
* Môn thi : Toán   * Thời gian :150 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Câu 1 : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8) 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm a thuộc Z để A là số nguyên. 
Câu 2 : (2,5 điểm) 
a) Cho a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/c = 0 . Tính a2 + b2 + c2. 
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn :
a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = 0. 
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương. 
Câu 3 : (2 điểm) 
Giải phương trình : 
a) |x + 1| = |x(x + 1)| 
b) x2 + 1 / x2 + y2 + 1 / y2 = 4 . 
Câu 4 : (1 điểm) 
Tổng một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359. Tìm số tự nhiên đó. 
Câu 5 : (2,5 điểm) 
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H. 
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng. 
b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ? 
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI
* Môn thi : Toán   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003 
Bài 1 :
Tìm số có 4 chữ số , biết rằng nếu đem số ấy nhân với 2 rồi trừ đi 1004 thì kết quả nhận được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại.
Bài 2 :
a) Phân tích đa thức : x4 - 30x2 + 31x - 30 thành nhân tử.
b) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0.
Bài 3 :
Cho m2 + n2 = 1 và a2 + b2 = 1.
Chứng minh -1 am + bn 1. 
Bài 4 :
Cho tam giác ABC có Đ B = Đ C = 70o ; đường cao AH. Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho Đ ABE = Đ CBE = 30o Gọi M là trung điểm AB.
a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE.
b) Chứng minh AB x BE = BC x AE. 
Môn Toán lớp 8 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
o Bài 1 : (5 điểm) Cho 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm A để x = 6013. 
c) Tìm x để A < 0. 
d) Tìm x để A nguyên 
o Bài 2 : (3 điểm) 
Cho A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 
a) Rút gọn A. 
b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên. 
o Bài 3 : (4 điểm) 
Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cường (mỗi người bắn một viên), người báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8, 9, 10 và thông báo : 
a) Hùng đạt điểm 10. 
b) Dũng không đạt điểm 10. 
c) Cường không đạt điểm 9. 
Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi người. 
o Bài 4 : (5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Lần lượt dựng trên AB, AC, bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. 
a) Chứng minh các điểm E, A, D thẳng hàng. 
b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông. 
c) Tính diện tích tứ giác BDEC. 
d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b và c : img src="Images/22dethi6.gif"> 
o Bài 5 : (3 điểm) 
Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trên CD (khác C, D). 
Chứng minh rằng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ; DA + DB} là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA + CB ; DA + DB).
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬNN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI 2003 - 2004
Môn toán lớp 8
(Thời gian : 120 phút
Bài 1 : (4 điểm) 
Giải phương trình 
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x để hàm số y = x/(x + 2004)2 có giá trị lớn nhất. 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho phương trình 
Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm không nhỏ hơn 1 ? 
Bài 4 : (4 điểm) 
Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với các đỉnh của hình thang được 4 đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận được, có thể dựng được một tứ giác nội tiếp hình thang này (mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân). 
Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi Ib, Ic theo thứ tự là độ dài của các đường phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b > c thì Ib . 
phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o
huyÖn trùc ninh
®Ò chÝnh thøc
§Ò thi chän häc sinh giái 
N¨m häc 2009 - 2010
M«n: to¸n - líp 8 
Ngµy thi: 13 th¸ng 4 n¨m 2010
Thêi gian lµm bµi 120 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
 §Ò thi cã 01 trang
Bµi 1. (3 ®iÓm).
 Cho x + y = 5 vµ x.y = -84. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
	a. .
	b. .
Bµi 2. (2 ®iÓm).
 T×m a ®Ó ®a thøc chia hÕt cho 
Bµi 3. ( 5 ®iÓm). Cho ph©n thøc .
	a. Rót gän A.
	b. T×m x ®Ó A = 4.
	c. Chøng minh r»ng khi x >2 th× A lu«n cã gi¸ trÞ d­¬ng.
Bµi 4. (8 ®iÓm)
 C©u 1 ( 2 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c A'B'C' cã . Chøng minh:
 C©u 2 ( 6 ®iÓm). Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¹nh AB lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm M vµ E sao cho AM = ME = EB. Gäi N lµ trung ®iÓm cña CD. §iÓm G thuéc NE tho¶ m·n . §­êng th¼ng AG c¾t c¸c ®­êng th¼ng BC; DC theo thø tù ë I vµ P
BiÕt AB = 5 (cm). H·y tÝnh ®é dµi CP .
T×m tû sè .
	c. Gäi K lµ trung ®iÓm cña NP. Chøng minh M; G; K th¼ng hµng.
Bµi 5. (2 ®iÓm). Cho d·y sè sau
	; ; ; ; 
 Chøng minh r»ng: víi mäi n >1
®Ò thi häc sinh giái To¸n 8 .8
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1: (2®)
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a, b vµ c ®Ó ®a thøc:
P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hÕt cho (x – 3)3
Bµi 2: (2®) 
Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
++
Bµi 3: (2®) 
Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bµi 4: (2®)
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thành nh©n tö:
 a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
 b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
Bµi 5: (2®)
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi b vµ d lµ kho¶ng c¸ch tõ B vµ D ®Õn ®­êng th¼ng bÊt kú (ta gäi lµ xy) qua A . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®­êng th¼ng Êy.
-----------------------------HÕt ®Ò thi-------------------------------