Đề tài Phương pháp giải một số dạng toán về số chính phương

A. Đặt vấn đề
	Trong toán học, “Đại số” nói chung “Số chính phương” nói riêng là một mảng kiến thức khá khó, phức tạp và trừu tượng giữa học lý thuyết và áp dụng vào giải bài tập. Các em học sinh được tiếp cận rất sớm, ngay ở bậc tiểu học các em đã làm quen với các số 0, 1, 4, 9, 16, 25,.. Khi các em lên bậc học THCS, ngay từ lớp 6 các em đã được tiếp cận khá nhiều các dạng bài tập thể hiện kiến thức về số chính phương. ở các lớp 7, 8, 9 thì yêu cầu về tính khoa học, chặt chẽ của mảng kiến thức này ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải có các phương pháp học thật đa dạng, phong phú, tăng khả năng tư duy trừu tượng để tìm tòi, khai thác vấn đề trên mọi góc độ, mọi khía cạnh nhằm tìm ra một “Sợi chỉ” liên hệ giữa lí thuyết và bài tập, giữa các yếu tố ‘cho và hỏi’.
	Trong quá trình học tập đây đó đã có những tài liệu để hỗ trợ học sinh thích nghi và học tốt số chính phương song cách viết và sự trình bầy của tài liệu còn chưa sát thực vói thực tiễn học tập của học sinh làm cho học sinh vẫn ngại đôi khi còn có cảm giác sợ học toán về phần số chính phương. Đặc biệt với những học sinh lớp 8, lớp 9 khi các em còn chưa tạo cho mình một thói quen, một phương pháp học phù hợp với những nội dung liền trước thì đã phải gặp rất nhiều bài toán khó, lạ nhất là những bài toán “Mở” từ các bài toán cơ bản. Các em sau khi đọc kỹ đề bài mà vẫn không biết định hình mình phải làm gì và bắt đầu từ đâu. 
	Để giúp các em học sinh khắc phục những lo sợ, ức chế khi học số chính phương tôi đi sâu và nghiên cứu tìm hiểu “Phương pháp giải một số dạng toán về số chính phương” trong chương trình toán THCS. Đồng thời thông qua đó giúp các em biết phân tích, tìm tòi, phát triển bài toán ban đầu ra nhiều bài toán khác. 
B. Nội dung và phương pháp.
I. Tình hình chung.
Như đã nêu ở trên giải toán số chính phương là một dạng toán rất đa dạng và phong phú, học sinh được làm quen sớm. Tuy nhiên hiệu quả học tâp của các em lại chưa cao. Nếu học sinh nắm được phương pháp, kỹ năng giải một số dạng toán số chính phương thì các em sẽ tự tin hơn, sáng tạo hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc tốt hơn trong học tập nội dung số chính phương nói riêng môn toán nói chung. Thế nhưng trong sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu tham khảo về loại toán này đã có song sự trình bầy còn tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết và phương pháp mà chỉ là sự đưa ra một số bài tập cùng lời giải. Vì lí do đó tôi đã chọn chuyên đề này để nghiên cứu dạy thực nghiệm cho học sinh nhằm bổ sung cho các em phần nào kiến thức cần có trong quá trình học toán ở trường THCS.
II. Những vấn đề được giải quyết.
	Qua nghiên cứu và từ thực tế giảng dạy phần hàm số tôi đã chia thành các dạng bài cụ thể như sau.
Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phương
Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phương không?
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
	Dạng 4: Tìm số chính phương 
Dạng 5: Một số bài toán khác về số chính phương.
III. Phương pháp tiến hành.
Lí thuyết cơ bản về số chính phương
a. Khái niệm:
	Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
	Ví dụ: Số 16 là một số chính phương vì 16 = 42
	 Số 121 là một số chính phương vì 121 = 112
b. Tính chất:
	+ Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bởi: 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bởi: 2, 3, 7, 8. Vì
3.2. Một số kiến thức liên quan.
a. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
	+ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
	+ (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
	+ (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA
	+ (A + B - C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB - 2BC - 2CA
	+ (A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB + 2BC - 2CA
b. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
	+ Đặt nhân tử chung
	+ Sử dụng hằng đẳng thức
	+ Nhóm các hạng tử
	+ Phối hợp các phương pháp
3.3. Các kiến thức bổ sung.
a. Một số tính chất của số chính phương
	+ Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
Vì : Xét số A = 
Như vậy: Số m(m+1).100 có hai chữ số cuối là 0
Hay : Số A có chữ số hàng chục là 2
	+ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
CM: Giả sử số chính phương B = a2 có chữ số tận cùng là 6
Suy ra: Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hoặc 6
Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hay số a có dạng 
Do đó: a2 = 
Ta có : Số 100m2 và số 80m có chữ số hàng chục là số chẵn, 16 có chữ số hàng chục là số lẻ.
Suy ra: Số B có chữ số hàng chục là số lẻ.
Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 6 ( chứng minh tương tự).
	+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
	CM: 
Xét số m có dạng: m = ax. by. cz. Trong đó a, b, c. là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z,.. là các số nguyên tố dương
Khi đó: Số A = m2 = (ax. by. cz.)2 = a2x. b2y. c2z.
Từ tính chất này, suy ra:
	Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
	Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
	Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
	Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
	+ Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
	CM:
Nhận thấy một số bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0, dư 1, dư 2
Số chia cho 3 dư 0 luôn có dạng 3k trong đó k Z.
Suy ra: A = (3k)2 = 9k2 3	
Số chia cho 3 dư 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k Z.
Suy ra: A = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho 3 dư 1
Số chia cho 3 dư 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k Z.
Suy ra: A = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 dư 1
	+ CMTT: Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
b. Một số nhận xét trong quá trình giải toán.
Nhận xét1: Khi gặp các số có nhiều chữ số giống nhau như 
A = ; B = ; C = thì ta thường đặt m = 
Suy ra: A = 2m; B = 5m; C = 9m
Nhận xét2: Khi gặp số có dạng 10n ta có thể biến đổi như sau.
	10n = ( + 1) = 9m + 1 hoặc
	10n = ( + )
	 = ( + + 1)
	 = ..
3. Nội dung
Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phương
	Phương pháp:
	+ Căn cứ vào cấu trúc của số, biểu thức số mà đề bài cho để đưa số về dạng số có n chữ số giống nhau.
	+ Đặt số có dạng = a, sau đó biến đổi số, biểu thức số mà bài cho theo a (tương tự như trong các nhận xét của phần kiến thức bổ sung)
	+ Biểu diễn số, biểu thức số đã cho theo a và đưa biểu thức chứa a về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.
	+ Trả lại giá trị cụ thể của a và kết luận bài toán.
Ví dụ 1:
	Chứng minh rằng số A = là số chính phương.
Có thể nói rằng khi học sinh chưa được tiếp cận chuyên đề này thì đây thực sự là một bài toán khó vì với cấu trúc của số có quá nhiều chữ số thường làm cho học sinh mất bình tĩnh, thiếu tự tin do không hình dung, nhận dạng được cách biến đổi. Nhưng sau khi được tiếp xúc làm quen với chuyên đề, các em rất tự tin với việc tách, biển đổi số đã cho lí thuyết đã học.
	Lời giải chi tiết
Ta có: A = 
	 = + 25
	 = + 25
	 = + 25
	 = + 25
Đặt a = ta có
	A = 9a.100.(9a + 1) + 25
	 = (90a)2 + 2.90a. 5 + 52
	 = (90a + 5)2
	 = ( 90. + 5)2
	 = ( + 5)2
	 = 
Vậy: A là số chính phương.
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng 
B = + + + 7 là số chính phương.
	Đây là một bài toán khó với nhiều học sinh đặc biệt là trước khi các em làm quen với chuyên đề này. Với việc đã được tiếp cận lý thuyết, phương pháp phân tích, cách giải cơ bản thì nhiều em tự tin hơn vì có được những định hướng biến đổi khá tối ưu để giải quyết bài toán. Tất nhiên cũng có những em biến đổi từng thành phần khá thành thạo nhưng lại không thật linh hoạt trong kết hợp để hoàn thiện lời giải.
	Lời giải chi tiết
Ta có: B = + + + 7 
= + + + 2 + + 7
= + + + + 9
= + + + + 9
Đặt a = 
Suy ra: B = 4a(9a + 1) + 4a + 2a.10 + 8a +9
 = 36a2 + 4a + 4a + 20a + 8a + 9
 = 36a2 + 36a + 9
 = (6a + 3)2
 =(6. + 3)2
 =( + 3)2
 = 
Bài tập tương tự: Chứng minh các số sau là số chính phương
C = 
D = 
E = 
F = 
G = - 
H = 
Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phương không?
	Phương pháp:
+ Cần nắm chắc các đơn vị kiến thức trọng tâm có liên quan trực tiếp đến số chính phương ( đã trình bày trong phần lí thuyết).
	- Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.
	- Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 
	- Số chia cho 3 dư 2 không thể là số chính phương
	- Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
	- Số chia cho 4 dư 2 hoặc dư 3 không thể là số chính phương
	- Bình phương của một biểu thức có giá trị nguyên là một số chính phương. 
	- Dấu hiệu chia hết cho các số 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25, 125
+ Căn cứ vào cấu trúc của biểu thức số đã cho ta phân tích mối quan hệ giữa các thành phần trong biểu thức để biến đổi, tách số hoặc đánh giá đưa biểu thức về dạng mới sao cho thoả mãn một trong các điều kiện đã trình bày ở trên.
Ví dụ 1: Số sau có là số chính phương không?
	A = 
Bài toán này làm khó khăn cho khá nhiều học sinh vì các em phải phân tích rất nhiều do chưa nhận định được số đã cho là chính phương hay không, song với việc được tiếp cận lí thuyết và phương pháp như đã nêu thì đã có rất nhiều học sinh suy luận như sau
 Theo dạng 1 học sinh nhanh chóng biến đổi A = + 6
= 5.m.10 + 6 = 50m + 6 ( với m = )
 Bước đầu nhìn nhận A không là số chính phương
 Học sinh suy luận số A không là số chính phương
	+ Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định A không là số chính phương vì chữ số tận cùng của A là 6.
	+ Không thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phương với phép chia cho 4 vì A chia hết cho 4 hay A chia cho 4 dư 0.
	+ Như vậy chỉ có thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phương với phép chia cho 3 và để khẳng định A không là số chính phương thì phải làm sáng tỏ A chia cho 3 dư 2.
 Lúc này học sinh tính tổng các chữ số của A
	5 . 52 + 6 = 266 chia cho 3 dư 2
Lời giải chi tiết.
Xét số m Z bất kỳ với phép chia cho 3 và B = m2
Nhận thấy số m bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0, dư 1, dư 2
Ta có : Số chia cho 3 dư 0 luôn có dạng 3k trong đó k Z.
Suy ra: B = (3k)2 = 9k2 3	
Số chia cho 3 dư 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k Z.
Suy ra: B = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho 3 dư 1
Số chia cho 3 dư 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k Z.
Suy ra: B = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 dư 1
Lại có: Tổng các chữ số của số A bằng 52 . 5 + 6 = 266
Mà: 266 : 3 dư 2
Nên : Số A : 3 dư 2
Như vậy: A = không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Số B = có là số chính phương không?
Bài toán này không còn là vấn đề với nhiều học sinh nữa, bởi các em đã có công cụ giải quyết trong tay và bước đầu cách suy luận không có gì khác nhiều so với ví dụ 1.
	Nhiều em suy luận như sau
 Theo ví dụ 1 học sinh nhanh chóng biến đổi 
B = 
 = 4.m.100 = 400m = 202. m ( với m = )
 Bước đầu nhìn nhận B không là số chính phương
 Học sinh suy luận số B không là số chính phương
	+ Không thể dựa vào chữ số tận cùng  ... m của đường thẳng y = x – 1 và đường thẳng y = 3 – x là J ( 2; 1).
Như vậy: Đồ thị hàm số y = là đường gấp khúc PBCFJKQ ( có nhận các điểm B, D, C, E, F, H, J, K, N).
	Dựa vào đồ thị của hai hàm số y = và y = m ta có
+ Với m < 0 thì phương trình = m vô nghiệm.
+ Với m = 0 thì phương trình = m có 3 nghiệm x .
+ Với 0 < m < 1 thì phương trình = m có 6 nghiệm.
+ Với m = 1 thì phương trình = m có 4 nghiệm x .
+ Với m > 1 thì phương trình = m có 2 nghiệm.
Bài toán 2: Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
	 = k
	Bài toán này có thể học sinh cảm thấy đơn giản hơn bài toán 1 vì các em có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp lập bẳng một cách dễ dàng. Song bài toán vẫn là một trở ngại lớn với học sinh do các em chỉ quen với những bài toán ở dạng này mà hệ số của biến có chứa tham số. Nhưng sau khi có được phương pháp chung để giải và qua bài toán 1 thì bài toán 2 đẫ trở lên đơn giản thực sự với học sinh.
	Lời giải.
Theo bài toán 3 của dạng 1 ta có đồ thị hàm số y = và y = k trên cùng hệ trục toạ độ Oxy là.
Như vậy: Đồ thị hàm số y = là đường gấp khúc AGH ( nhận điểm G, không nhận điểm H) và tia QF ( không nhận gốc tia là điểm Q)
	Dựa vào đồ thị hàm số y = và y = k ta có.
+ Với k < - 1 thì phương trình = k có 2 nghiệm.
+ Với – 1 < k < 1 thì phương trình = k có 3 nghiệm.
+ Với k = 1 thì phương trình = k có 1 nghiệm x = 1.
+ Với k > 1 thì phương trình = k vô nghiệm.
Bài toán 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
	(*)
	Đây là một bài toán cũng làm cho học sinh lúng túng vì các em quen với việc giải và biện luận hệ phương trình chứa một ẩn số, song khi các em đã được tiếp cận lí thuyết và bài toán 4 của dạng 1 thì hầu hết học sinh từ trung bình khá trở lên đều không cảm thấy bỡ ngỡ do các em đã có trong tay công cụ để làm.
	Lời giải:
Gọi đồ thị hàm số y = x + a là (da), đồ thị hàm số y = - x + 2 là (d1), 
đồ thị hàm số y = là (d2).
Xét thấy:
Đồ thị hàm số y = - x + 2 là một đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và điểm B(1; 1)
Đồ thị hàm số y = là 1 đường thẳng đi qua điểm C(0;) và điểm B(1;1)
Đồ thị hàm số y = x + a là một đường thẳng song song với đường thẳng y = x hoặc trùng với đường thẳng y = x (đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất).
Giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) là B(1;1) thuộc đường thẳng y= x
Ta có đồ thị các hàm số trên mặt phẳng toạ độ Oxy là
	Biện luận:
+ Nếu a > 0 thì hệ phương trình (*) có hai nghiệm 
+ Nếu a = 0 thì hệ phương trình (*) có một nghiệm
+ Nếu a < 0 thì hệ phương trình (*) có hai nghiệm
Bài toán 3: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
Nếu không được học chuyên đề này thì đây thực sự là một bài toán khó với rất nhiều học sinh. Song khi đã được học chuyên đề này, bài toán trên có lẽ không gây bất ngờ cho học sinh. Khi học sinh làm bài tôi chỉ lưu ý các em xét đầy đủ các trường hợp của phương trình khi có giá trị tuyệt đối.
Lời giải:
Xét phương trình 	(*)
 hoặc hoặc hoặc 
Xét phương trình ( x – 2a)(y – a) = 0	(**)
 x = 2a hoặc y = a
Vẽ đồ thị của phương trình (*) và phương trình (**) trên cùng một hệ trục toạ độ
Đồ thị hàm số y = x + 2 là 1 đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và điểm B(4; 0)
Đồ thị hàm số y = x - 2 là 1 đường thẳng đi qua điểm C(0; - 2) và điểm D(4; 0)
Đồ thị hàm số y = x + 2 là 1 đường thẳng đi qua điểm E(0; 2) và điểm F(- 4; 0)
Đồ thị hàm số y =x - 2 là 1 đường thẳng đi qua điểm G(0; -2) và điểm H(-4; 0)
Như vậy: Đồ thị của phương trình (*) là đường gấp khúc ABCFA ( lấy cả các đirmt A, B, C, F) hay nghiệm của phương trình (*) là toạ độ của các điểm nằm trên đường gấp khúc ABCFA.
	 Đồ thị của phương trình (**) gồm 2 đường thẳng x = 2a và y = a hay nghiệm của phương trình (**) là các điểm nằm trên đường thẳng x =2a hoặc y = a
Ta có: Hệ phương trình có nghiệm khi các đường thẳng x = 2a, y = a và đường gấp khúc ABCFA đồng quy tại điểm (x0; y0)
Suy ra: 
Từ đó ta có:
	+ Nếu > 2 thì hệ phương trình vô nghiệm.
	+ Nếu = 2 thì hệ phương trình có 2 nghiệm.
	+ Nếu < 2 và 1 thì hệ phương trình có 4 nghiệm.
	+ Nếu = 1 thì hệ phương trình có 3 nghiệm.
Vậy: Với a > 2 thì hệ phương trình vô nghiệm.
	Với a < -2 thì hệ phương trình vô nghiệm.
	Với a = 2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm (x; y) = (4; 2).
	Với a = -2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm (x; y) = (- 4; - 2).
	Với – 2 < a < 2 và a 1, a - 1 thì hệ phương trình có 4 nghiệm.
	Với a = 1 thì hệ phương trình có 3 nghiệm.
	Với a = - 1 thì hệ phương trình có 3 nghiệm.
Bài tập tương tự:
Bài toán 1: Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
Bài toán 2: Cho hệ phương trình 
Biện luận theo n số nghiệm của hệ phương trình.
Bài toán 3: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
Bài toán 4: Biện luận theo a số nghiệm của hệ phương trình
Tiểu kết: 
	Qua việc trình bầy lý thuyết, phương pháp giải dạng toán và một số bài tập áp dụng tôi nhận thấy để giáo viên dạy tốt, học sinh học tập có hiệu quả cao thì yêu cầu
	+ Giáo cần linh hoạt trong việc tách ý, tách nội dung như phần tìm ra các hàm số, phần bỏ dấu GTTĐ, phần vẽ, phần xét các giao điểm, phần biện luận..
	+ Với bài có chứa GTTĐ tầng, hệ nhiều phương trình, hệ có chứa phương trình bậc hai,. Giáo viên cần phân tích thật sâu sắc từng chi tiết, từng nội dung một cách tự nhiên có thể hiện tính kế thừa giữa kiến thức học trước với các kiến thức học sau, không được áp đặt học sinh phải công nhận những đơn vị kiến thức “lạ” làm cho các em thấy “sợ” khi học tập về dạng toán này.
	+ Giáo viên cần tổng hợp tốt các phương pháp dạy học để truyền đạt các đơn vị kiến thức một cách nhẹ nhàng, đồng thời có những lúc cần cho các em kiểm nghiệm nội dung đó bằng phép thử lại hoặc vào thực tiễn cuộc sống.
	+ Học sinh cần tập trung cao trong quá trình học tập không để cảm giác “lo lắng quá” trong quá trình học để biết tích hợp, liên hệ các kiến thức cũ và mới, giữa câu trước và câu sau một cách linh hoạt.
IV. Kết quả
Qua việc chọn lọc, sắp xếp hệ thống và phân loại như trên đã trình bầy, tôi thấy khả năng phát hiện, tổng hợp kiến thức lí thuyết, phán đoán tìm lời giải của học sinh có tốt hơn.. Các em hào hứng, say mê học tập và chịu khó nghiên cứu, tư duy lôgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tương tự.
	Cụ thể qua kiểm tra học sinh lớp 9A năm học 2008 – 2009 (với 50 học sinh) trường THCS Phùng Hưng, tôi thu được kết quả như sau:	
Xếp loại
Trước khi dạy thực nghiệm
Sau khi dạy thực nghiệm
Số lượng
Phần trăm
Số lượng
Phần trăm
Giỏi
0
0%
10
20%
Khá
4
8%
14
28%
T.bình
7
14%
19
38%
Dưới TB
39
78%
7
14%
V. Vấn đề còn hạn chế 
	* Với học sinh 
	Do là trường thường nên tư duy học sinh chưa nhanh, khả năng phát hiện, vận dụng, suy luận và tư duy biến đổi chưa thật tốt, chưa thật linh hoạt.
	Chỉ áp dụng đối với học sinh trung bình, khá, giỏi
	* Với giáo viên
	+, Thời gian đầu tư còn chưa nhiều 	 
	+, Khả năng phân loại, tổng hợp có thể còn chưa thật phù hợp, chưa khoa học.
VI. Điều kiện áp dụng
	Chuyên đề này có thể tuỳ theo mức độ yêu cầu, đối tượng học sinh mà giáo viên có thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều.
	Còn đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ kiến thức cho các em chính là một số kỹ năng, phương pháp là cần thiết và rất có ích cho các em khi học phần hàm số bậc nhất ở lớp 7 cũng như ở lớp 9 sau này.
VII. Hướng đề xuất tiếp tục nghiên cứu.
	Khi chọn lọc, hệ thống, phân loại và dạy theo chuyên đề trên tôi thấy các em say mê hơn, hào hứng hơn. Loại toán trên giúp các em phát triển tư duy lôgíc cũng như khả năng phân tích tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt khi làm toán. Tuy nhiên vì thời gian hạn chế, kinh nghiệm của tôi còn chưa nhiều nên sự phân loại, hệ thống bài tập ( dạng, loại) chưa thật sâu..... Đó là vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong quá trình giảng dạy của tôi.
C. Kết luận
Qua thực tế giảng dạy môn toán ở cấp trung học cơ sở suốt một quá trình, được làm quen và tiếp xúc với học sinh, bản thân tôi rút ra được một số điều quan trọng khi nghiên cứu về mảng kiến thức “ Hàm số bậc nhất”. 
	Đây là một trong những bài toán phức tạp, cần có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết khá linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề được. Bởi thế trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh bản thân mỗi giáo viên phải trang bị thật chu đáo, tỷ mỉ, rõ ràng từng đơn vị kiến thức cơ bản, từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và vận dụng tốt để giải toán.
	Xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập. Trân trọng những suy nghĩ, những ý kiến phát biểu và những sáng tạo dù rằng rất nhỏ của các em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích hứng thú học tập và khả năng tự nghiên cứu tìm tòi của các em.
	Giáo viên thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em qua các kỳ, bổ sung những thiếu sót, những sai lầm, lệch lạc về kiến thức để các em rút kinh nghiệm. Phải có kế hoạch phân chia thành từng dạng loại cụ thể, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgíc giữa các dạng bài khác nhau.
	Nghiên cứu về giải toán “Hàm số bậc nhất” tôi hy vọng nó là cơ sở, là động lực giúp cho bản thân có thêm những hiểu biết mới. Đồng thời giúp các bạn đồng nghiệp, các em học sinh yêu thích và tự tin hơn khi gặp các bài toán có liên quan đến hàm số bậc nhất và có được nhiều kinh nghiệm, nhiều ứng dụng trong thực tế.
	Trên đây là những ý tưởng, kinh nghiệm của tôi về giải toán “Hàm số bậc nhất”. Trong quá trình thực hiện, không thể tránh khỏi những thiếu xót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về những kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của hội đồng xét duyệt sáng kiến, của bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm này của tôi được hoàn thiện hơn nữa.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mục lục
Nội dung
Trang
A.Lí do chọn đề tài
B.Nội dung và phương pháp
I.Tình hình chung
II.Những vấn đề được giải quyết
III.Phương pháp tiến hành
3.1.Lí thuyết cơ bản về hàm số bậc nhất
3.2.Lí thuyết bổ sung
3.3.Bài tập
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối thông qua vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Dạng 2: Một số bài tập về sự tương giao của hai hay nhiều đường thẳng
2.1.Bài tập về chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng.
2.2. Bài tập về tìm giá trị của tham số để các đường thẳng.
2.3. Bài tập về tính chu vi, diện tích, góc trong của tam giác tạo bởi các đồ thị hàm số với trục toạ độ.
Dạng 3: Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua	
Dạng 4: Tập hợp điểm 
Dạng 5: Thông qua đồ thị hàm số để biện luận nghiệm của phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
IV.Kết quả
V.Vấn đề còn hạn chế
VI.Điều kiện áp dụng.
VII.Hướng đề xuất tiếp tục nghiên cứu.
C.Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mục lục
1
2
2
2
2
2
4
5
5
12
12
15
19
23
25
31
39
39
40
40
41
42
43