Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Trường THCS Mỹ Lộc

PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ KIỂM TRA HSG T8 – NĂM HỌC 2009 – 2010 
 TRƯỜNG THCSMỸ LỘC MÔN: TOÁN – LỚP 8
 -----c&d----- Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(5.0 điểm)
Cho thoả: và . 
Chứng minh rằng: chia hết cho 6
Tìm các số tự nhiên n sao cho: có giá trị là số nguyên tố.
Bài 2: (4.0 điểm)
Cho là các số khác 0 thoả mãn: 
 và . Chứng minh : 
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 3:	(5.0 điểm)
Tìm sao cho: là một số chính phương.
Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4: (3.0 điểm)
	Tam giác ABC có . Chứng minh rằng:
Bài 5: (3.0 điểm)
	Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Biết diện tích các tam giác AOB và COD là và . Tím giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
 TRƯỜNG THCSMỸ LỘC MÔN: TOÁN – LỚP 8
 -----c&d----- Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
CÂU
ĐÁP ÁN
B.Đ
1a
- Phân tích 
- 
- nên trong các số phải có ít nhất một số chẵn 
1.0đ
1.0đ
1b
*Đặt: 	
-Nếu không là số nguyên tố. Vậy 
-Biến đổi:
-Vì và nên là số nguyên tố thì :
. Vậy thì là số nguyên tố.
1.5đ
1.5đ
2a
* Đặt . Ta có: (1) và (2)
- Từ (2) suy ra:
- Kết hợp với (1) suy ra: . Do đó: 
1.0đ
1.0đ
2b
- Ta có:
- Vậy với mọi a;b;c. Đẳng thức xảy ra khi 
1.5đ
0.5đ
3a
- Ta có: với 
- Đặt . Giả sử: . Khi đó: và 
- Suy ra: 
- Lập luận được 
1.0đ
1.5đ
3b
 ( Vì )
1.0đ
1.0đ
0.5đ
4
* Chứng minh: 
- Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho: AD = AB = c. Khi đó:
 rCAB rCBD
 ABC = BDC
- Mà BAC = 2 BDC ( góc ngoài tam giác cân) A = 2B
* Chứng minh: 
- Vẽ phân giác AE. Ta có:
CAE = EAB = ABCrABC rEAC (1)
- Mặt khác: AE là phân giác nên: (2)
- Từ (1) và (2) suy ra:
1.5đ
1.5đ
5
- Ta có: 
2.0đ
1.0đ
Mọi cách giải khác nếu đúng; hợp lí; lô – gích đều đạt điểm tối đa.
Điểm toàn bài được làm tròn đến một chữ số thập phân.
TRƯỜNG THCS MỸ LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 -----c&d----- NĂM HỌC 2007 – 2008 
 Ngày thi: 17/04/2008 MÔN: TOÁN – LỚP 8
 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(4.0 điểm)
Với mọi số tự nhiên Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Bài 2: (4.0 điểm)
Cho số thực bất kì thoả: và 
 Chứng minh : 
Cho và . Chứng minh rằng: 
Bài 3:	(4.0 điểm)
Tìm thoả: 
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4: (4.0 điểm)
	Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; DA. Chứng minh rằng: 
Bài 5: (4.0 điểm)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AA’; BB’; CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
TRƯỜNG THCSMỸ LỘC ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
 -----c&d----- MÔN: TOÁN – LỚP 8
CÂU
ĐÁP ÁN
B.Đ
1a
- Biến đổi được: 
- Lập luận được:
1.0đ
1.0đ
1b
- Biến đổi được:
- Chứng minh được: 
1.0đ
1.0đ
2a
- Lập luận và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau kết luận được:
- Tính được: 
1.5đ
0.5đ
2b
- Aùp dụng BĐT Bunhia- Copxki:
 (1)
- Aùp dụng Cô-si: (2)
- Từ (1) và (2) ta có: 
1.0đ
1.0đ
3a
- Lập luận được:
 (1)
 Với (2)
- Từ (1) và (2) suy ra:
+ Với ta có: 
+ Với ta có: . Vậy 
0.5.đ
1.5đ
3b
- Biến đổi được:
- Chứng minh được: . Dấu xảy ra 
- Suy ra: 
0.75đ
0.75đ
0.5đ
4
- Chứng minh được: 
- Tương tự : 
- Từ đó suy ra: 
2.0đ
2.0đ
5
- Lập luận chứng minh được: 
 rBA’H rBB’C (1)
 rCAA’ rCBB’ (2)
- Nhân (1) và (2) ta có: 
0.75đ
0.75đ
 0.5đ
Mọi cách giải khác nếu đúng; hợp lí; lô – gích đều đạt điểm tối đa.
Điểm toàn bài được làm tròn đến một chữ số thập phân.