Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 10: Biểu thức hữu tỉ

DẠNG 10: BIỂU THỨC HỮU TỈ
A. Bài minh họa
Bài 1: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của biểu thức tại 
Tìm giá trị của để 
Bài 2: Cho 
Chứng minh rằng 
Bài 3: Cho chứng minh rằng : 
Bài 4: Cho biểu thức: 
Rút gọn 
Tính giá trị của biết 
Có giá trị nào của để không ?
Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Tìm để 
Bài 6: Cho biểu thức 
Rút gọn 
Tính giá trị của biết 
Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
Bài 7: Cho biểu thức 
Rút gọn 
Tìm để 
Tìm giá trị của để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho và Tính 
Bài 10: Cho Tính 
Bài 11: Tìm số tự nhiên để: có giá trị là một số nguyên
Bài 12: Chứng minh rằng:
 biết 
Với thì 
Bài 13: Cho và . Chứng minh rằng: 
Bài 14: Cho phân thức 
Tìm điều kiện của để giá trị của phân thức được xác định
Tìm giá trị của để giá trị của phân thức bằng 1
Bài 15: Cho biểu thức
Rút gọn 
Tính giá trị của khi 
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Tìm để 
Bài 16: a) Rút gọn biểu thức : 
b) Cho Tính 
Bài 17: Thực hiện phép tính: 
Bài 18: Cho đôi một khác nhau và 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 19: Cho ba số khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện . Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng: 
Bài 21: Cho biểu thức 
a) Tìm giá trị của để biểu thức xác định
b) Tìm giá trị của để biểu thức có giá tri bằng 0
c) Tìm giá trị nguyên của dể biểu thức A có giá trị nguyên.
Bài 22:
a) Chứng minh : 
b) Tìm biết: và 
Bài 23: Cho biểu thức:
	với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:
Bài 24: Cho Chứng minh rằng: 
Bài 25: Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A, biết 
c) Tìm giá trị của để 
d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Bài 26: Cho dương và . Tính : 
Bài 27: Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức 
Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu thì 
Bài 30: Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình 
Bài 31: Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức 
c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 32: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên
c) Tìm để 
Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 34: 
a) Cho Hãy rút gọn phân thức : 
b) Tìm tích: 
c) Cho và .
CMR: 
d) Cho tính giá trị của biểu thức 
Bài 35: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi 
Bài 36: 
a) Rút gọn biểu thức sau: 
b) Chứng minh rằng:
Bài 37: 
a) Chứng minh rằng: Nếu thì 
b) Cho ba số khác thỏa mãn : 
Chứng minh rằng 
Bài 38: Rút gọn biểu thức 
Bài 39: Cho biểu thức 
a) Hãy tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến 
Bài 40: 
a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn: 
Tính giá trị của biểu thức 
b) Cho 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: 
Bài 41: 
	a) Tìm biết và 
	b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết: 
	c) Cho và Tính 
	d) Cho và 
Tính 
Bài 42: 
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
b) Tính giá trị biểu thức Biết 
Bài 43: Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện của để giá trị của A được xác định
b) Rút gọn 
c) Nếu là các số thực làm cho xác định và thỏa mãn:hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của 
Bài 44: Cho biểu thức : 
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên
Bài 45: Cho biểu thức : 
Rút gọn 
Tìm các giá trị của để 
Bài 46: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tính giá trị của biểu thức tại 
Tìm giá trị của để 
Bài 47: Cho biểu thức: 
Rút gọn A
Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 48: Cho biểu thức: 
Rút gọn 
Tính giá trị của biết 
Có giá trị nào của để không ?
Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.
Bài 49: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của A, biết 
Tìm giá trị của để 
Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên
Bài 50: Cho biểu thức 
Rút gọn M
Tính giá trị của M khi 
Bài 51: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của A biết 
Tìm các giá trị của để 
Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Bài 52: Cho 
Rút gọn P
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Bài 53: Cho biểu thức : 
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị của để 
Tính giá trị của A trong trường hợp 
Bài 54: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức 
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên
Bài 55. Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị biểu thức khi thỏa mãn ; \
Nếu là các số thực dương làm cho xác định và thỏa mãn: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 56. Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị của để 
Bài 57. Rút gọn biểu thức sau: 
Bài 58. Chứng minh rằng:
Bài 59 Biết với . Tính giá trị biểu thức: 
Bài 60. Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện xác định của rút gọn 
Tìm khi 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 61. Cho và Chứng minh rằng 
Bài 62. Rút gọn biểu thức :
Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 64. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 65. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 66. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 67. Cho 
Rút gọn M
Xác định a để 
Bài 68 Cho Tính 
Bài 69. Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ? Cho biểu thức: 
Bài 70: Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0. 
Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 71. Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện của để biểu thức M có nghĩa
Rút gọn biểu thức M
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên.
Bài 72. Cho Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài 73. Tính tổng 
Bài 74. Cho là 3 số thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
Bài 75: a) Cho thỏa mãn và Tính 
b) Tính 
Bài 76.
Tính giá trị của biểu thức tại 
Cho và Tính giá trị của biểu thức sau theo và b: 
Bài 77. Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của biểu thức tại 
 c) Tìm giá trị của để 
Bài 78. Cho ba số thỏa mãn 
Tính: 
Bài 79. Tính giá trị của biểu thức Biết 
Bài 80. Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức 
Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với 
b) Cho . Tìm giá trị của biểu thức 
Bài 82: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để 
Bài 83: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Bài 84: Cho phân thức 
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1
Bài 85: Cho biểu thức 
a) Rút gọn P
b) Tìm để P có giá trị nguyên
c) Tìm để 
Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức 
Bài 87: Cho biểu thức: 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
Bài 88: Cho biểu thức A = 
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm x để A có giá trị bằng 671
c. Tìm x Z để Z
Bài 89: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của Q biết .
c) Tìm x để Q > 0.
Bài 90: Cho biểu thức với .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để .
Bài 91: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .
Bài 92: Cho và . Tính tỉ số 
Bài 93: Cho và Chứng minh rằng : 
Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng 
Bài 95: Cho và . Chứng minh rằng: 
Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức
.
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .
Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0). 
Chứng minh rằng : .
Bài 98: Cho a +b +c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính N = 
Bài 99: Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x, để A < 0
c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – = 6
Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3. 
Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c
Bài 101: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tìm để .
c) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi .
Bài 102: Cho Chứng minh rằng: 
Bài 103: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tìm giá trị của , biết 
Tìm giá trị của để 
Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
Bài 104: Cho dương và 
Tính 
Bài 105: Cho biểu thức :
 với .
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: 
.
Bài 106: 
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi 
Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên
Tìm để 
Bài 107: Cho và Chứng minh rằng:	
Bài 108: Cho biểu thức : 
Rút gọn 
Tìm các giá trị của để 
Bài 109: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tính giá trị của biểu thức tại 
Tìm giá trị của để 
Bài 110: Cho biểu thức: 
Rút gọn A
Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 111: Cho biểu thức: 
Rút gọn 
Tính giá trị của biết 
Có giá trị nào của để không ? Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên
Bài 112: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của A, biết 
Tìm giá trị của để 
Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên
Bài 113: Cho: và (
Chứng minh 
Bài 114: Cho Tính 
Bài 115: Cho biểu thức 
Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi 
Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức 
Bài 117: Cho Chứng minh rằng: 
Bài 118: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của A biết 
Tìm các giá trị của để 
Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 
Tính giá trị của biểu thức : 
Bài 120: Chứng minh rằng nếu với 
Thì 
Bài 121: Cho ba số thỏa mãn . Tính 
Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức 
Bài 123: Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức 
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên
Bài 124: Cho biểu thức 
Rút  ... 
Lại có: 
Suy ra 
Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn:
 và . Chứng minh: BTHT
Lời giải
Từ giả thiết suy ra: 
Bài 260: Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính biết thỏa mãn 
Lời giải
a)
b) 
Thay vào biểu thức có 
Vậy 
Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ
Lời giải
Ta có: 
Vậy là bình phương của một số hữu tỉ
Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:
Lời giải
Để xác định thì 
Khi đó nguyên thì nguyên hay nguyên. Mà 
Với thỏa mãn (*) và 
Với thỏa mãn và 
Vậy thỏa mãn điều kiện bài ra. 
Bài 263: Cho biểu thức : BTHT
a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức 
c) Tìm để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên để A có giá tri là số nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ: 
b) Rút gọn được: 
c) Để thì 
hoặc 
Học sinh tự biểu diễn trên trục số
-5
-1
1
5

-1
3
5
9

Loại
Loại
Loại

Thử lại, chỉ có là thỏa mãn. Vậy 
Bài 264: Cho và Tính tỉ số 
Lời giải
Bài 265: Cho và . Tính: 
Lời giải
Ta có: = 
 = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x – 1 = - y) 
Bài 266: Cho 
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) = 
Nêu ĐKXĐ: 
Rút gọn 
b)
ta thấy nguyên khi là ước của 3, 
mà , từ đó tìm được 
Bài 267:
a) Cho Chứng minh rằng 
b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
a) 
b)Với 
Áp dụng kết quả câu ta có: 
Bài 268: Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức 
b) Tìm để 
c) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
ĐKXĐ: 
b)
c)
Vậy thì 
Bài 269: Cho biểu thức 
a) Rút gọn M
b) Tìm nguyên đểcó giá trị là số nguyên dương
c) Tìm để 
Lời giải
a) và 
xác định 
b) Với có giá trị nguyên dương có giá trị nguyên dương nguyên dương
là ước của 1(Thỏa mãn điều kiện)
Thử lại: Với ta có: có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)
Với ta có: có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn)
Vậy 
c) 
Ta có: hoặc Giải được hoặc 
Kết hợp với điều kiện ta có: hoặc 
Bài 270: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ: 
b) có giá trị nguyên khi là số nguyên thì có giá trị nguyên
 là Ư(2)
Đối chiếu ĐK thì có thỏa mãn
Bài 271: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) 
b) Với Ta có: 
Để thì phải là ước của 2
Xét từng trường hợp tìm đối chiếu điều kiện 
Bài 272: Cho biểu thức 
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Giá trị của được xác định 
Ta có:
 mà 
Vậy hoặc 
Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Có 
Do là hai số dương và 
Nên 
Với (loại) hoặc 
Với hoặc 
Bài 274: Cho và Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ 
Ta có:
Bài 275: Cho và Tính 
Lời giải
Biến đổi được:
Mà nên 
Ta có: 
Vậy và thì 
Bài 276: Cho Tính giá trị biểu thức 
Lời giải
Bài 277: Cho . Chứng minh : 
Lời giải
Ta có : 
Do đó, 
KL :
Bài 278: Cho biểu thức 
Rút gọn 
Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.
Lời giải
Rút gọn 
HD: ĐKXĐ: 
 và .
Ta có: 
Suy ra .
Tìm giá trị của để giá trị của biểu thức bằng 0.
Đề thì và ; 
Ta có :
 ( thỏa ĐKXĐ )
Vậy, 
 Bài 279: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 
Lời giải
ĐKXĐ: 
Ta có: 
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 
Lập bảng: 
2x +1
-4
-2
-1
1
2
4
2x
-5
-3
-2
0
1
3
 x


-1
0



Vậy, .
Bài 280: Cho biểu thức 
Tính theo biết rằng 
Lời giải
Ta có: 
Từ 
Thay vào ta được 
Bài 281: Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;
Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;
Tìm giá trị của để .
Lời giải
a) ĐKXĐ: .
b) Rút gọn: .
 Để 
c)Ta có: 
+ Với , ta có: , 
Giải pt ( không thỏa ĐKXĐ )
+ Với , ta có: , 
Giải pt ( vô lý )
Vậy không có giá trị nào của x để .
Bài 282: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .
 Tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Từ giả thiết, suy ra 
Xét hai trường hợp : 
+ Nếu 
+ Nếu 
KL :.....
Bài 283: Cho là 2018 số thực thoả mãn , với .
Tính 
Lời giải
Ta có : 
Do đó, 
Bài 284: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức 
 b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức 
Ta có: 
Vậy, khi và .
 b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức 
Ta có: 
Vậy, khi và 
Bài 285: Rút gọn:
 a) ; b) .
Lời giải
 a) ; 
 b) 
Bài 286: Tính giá trị của biểu thức , với.
Lời giải
Thay vào ta được: 
Vậy, khi .
Bài 287: a) So sánh hai số và 
 b) và 
Lời giải
Ta có: 
Vậy, 
Bài 288: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
 ( Vì )
Bài 289: Cho . Tính giá trị của biểu thức: 
 .
Lời giải
Ta có: . 
( Vì ). 
Vậy, khi .
Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018. 
Lời giải
Từ và suy ra 
 mà 
Do đó, trong ba số phải có một số bằng 2018.
Bài 291: Cho biểu 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .
 b) Tìm để .
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi 
Lời giải
a) ĐKXĐ: 
Ta có: 
Vậy, với .
 b) Để với suy ra với 
Vì nên chọn 
Vậy, 
 c) Ta có: 
Với nên và . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :
Dấu « = » với ( thỏa ĐKXĐ)
Vậy, 
Bài 292: Rút gọn các phân thức: 
 a) ; b) 
Lời giải
* Nhớ : 
Do đó, nếu hoặc thì . 
a)
b) 
 Ta có : 
Do đó, 
Ta lại có: 
Do đó, 
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến . 
Lời giải
Đặt , ta có: 
 Khi đó, với mọi giá trị của (Đpcm ) 
Bài 294: a) Rút gọn phân thức: 
 b) Rút gọn phân thức: 
Lời giải
a)
b)
Bài 295: Cho các số khác 0, thoả mãn .
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Từ 
Đặt 
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
Kết luận: Với điều kiện đã cho .
Bài 296: Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Vì nên 
KL:
Bài 297: Thực hiện phép tính:
 a) . 
 b) 
Lời giải
a) 
b) 
Vậy, 
Bài 298: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Nhân cả hai vế của với , ta được:
KL:...
Bài 299: Chứng minh rằng nếu và thì 
Lời giải
Bình phương hai vế , ta được 
Suy ra ( Vì ) hay 
KL: 
Bài 300: a) Xác định để là số tự nhiên
 b) Tính tổng 
Lời giải
a) Xác định để là số tự nhiên
Để là số tự nhiên
Lập bảng :

-21
-7
-3
-1
1
3
7
21

-8
6
10
12
14
16
20
34

-2


3

4
5

Vì nên chọn 
Thử lại:
+ Với , ta có: ( Loại )
+ Với , ta có: ( Nhận )
+ Với , ta có: ( Nhận )
KL : 
b) Tính tổng 
Ta có: 
Bài 301: Cho thỏa điều kiện và .
 Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
 ( Vì )
 Suy ra 
Vậy, khi và .
Bài 302: Cho 
Tìm ĐKXĐ của , rút gọn 
Tìm nguyên thỏa mãn phương trình 
 Lời giải
a) Tìm ĐKXĐ của , rút gọn 
+ ĐKXĐ : 
+ Rút gọn : 
Vậy, với .
b)Tìm nguyên thỏa mãn phương trình 
Ta có : 
 hoặc 
 hoặc ( thỏa ĐKXĐ )
Vậy, hoặc 
Bài 303: Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) 
Lời giải
 a) 
 b) 
Bài 304: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có : 
 (1)
Ta lại có : 
 Do đó, 
Bài 305: Cho phân thức 
Rút gọn A.
Tính để 
 Lời giải
Rút gọn A.
Ta có 
ĐKXĐ: và 
Ta lại có: 
Suy ra 
Vậy, với và 
Tính để 
 Ta có: 
 ( Vì )
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được và .
Bài 306: a) Cho, hãy tính 
b) Cho , hãy tính 
c) Cho thỏa mãn: . Tính 
Lời giải
a) Cho , hãy tính 
Ta có: suy ra với và .
Ta có: ( vì )
Vậy, với .
 b) Cho , hãy tính 
Đặt với 
Khi đó, 
Vậy, khi với .
 c) Cho thỏa mãn: . Tính 
Vì nên 
Xét 
Suy ra vì 
Vậy, với thỏa mãn: 
Bài 307: Cho biểu thức: 
Rút gọn ;
Với thì không nhận những giá trị nào?
c)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên. 
Lời giải
a) Rút gọn 
ĐKXĐ: .
Ta có: 
Vậy, .
b)Với thì không nhận những giá trị nào?
Ta có: 
Với 
Vậy, với thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là .
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên. 
Ta có: 
Suy ra .
Lập bảng : 

-6
-3
-2
-1
1
2
3
6

-3
0
1
2
4
5
6
9
Vậy, .
Bài 308: Cho . Tính ? 
Lời giải
ĐKXĐ : .
Ta có : 
Vậy, với .
Bài 309: Cho biểu thức: 
Rút gọn ;
Tìm các giá trị của để ;
Tìm các giá trị của để .
Lời giải
Rút gọn :
Ta có: 
ĐKXĐ: .
Suy ra 
Vậy, với .
Tìm các giá trị của để 
Ta có ( thỏa ĐKXĐ )
Ta có: ( không thỏa ĐKXĐ )
Vậy, tại thì và không tồn tại để .
Tìm các giá trị của để .
Ta có: 
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: và .
Bài 310: Cho phân thức: 
a)Rút gọn ;
b)Tìm để có giá trị nguyên.
Lời giải
Rút gọn :
Ta có: 
ĐKXĐ: .
Khi đó, với .
Tìm để có giá trị nguyên.
Để có giá trị nguyên với và thì (thỏa ĐKXĐ)
Vậy, hoặc thì nhận giá trị nguyên.
Bài 311: Cho . Tính theo .
Lời giải
Ta có: 
Thay vào , rút gọn ta được .
Bài 312: a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: . 
b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .
c) Tính: 
Lời giải
a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
Ta có: 
Khi đó, 
Vậy, với là ba số dương khác 0.
b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .
Ta có: 
Khi đó, ta có: 
Vậy, .
c) Ta có: 
Vậy, .
Bài 313: Cho và . Chứng minh: 
Lời giải
Với và , ta có:
 ( Vì và )
 ( Vì và )
 ( Vì )
Vậy, với và .
Bài 314: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.
Lời giải
Vì là một số tự nhiên chẵn nên .
Do đó 
Ta có: 
Ta cần c/m: . Thật vậy:
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
Mà 
Vậy, có giá trị nguyên với là một số tự nhiên chẵn.
Bài 315: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
 .
Vậy, với .
Bài 316: Cho . Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Do đó, 
Vậy, khi .
Bài 317: Cho biểu thức 
Rút gọn 
Tính giá trị của tại .
Lời giải
Rút gọn :
Ta có: với .
Do đó, 
Vậy, .
Tính giá trị của tại .
Tại ta có 
Vậy, tại .
Bài 318: Cho đa thức .
 Tính giá trị của E với là nghiệm của phương trình: .
Lời giải
 Ta có: 
*) 
*) (vô nghiệm).
Vậy với .
Bài 319: So sánh và , biết: 	; 
Lời giải
Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương
Lời giải
Bài 321: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức P
Tìm giá trị của để 
Giải phương trình 
Lời giải
ĐKXĐ: 
Vì với mọi 
Để . Vậy 
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 322: Cho và 
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số 
Lời giải
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số 
Bài 323: Cho 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị thực của để và có giá trị là số nguyên.
Lời giải
 Điều kiện xác định 
 nguyên thì nguyên nghĩa là 
Suy ra 
Vậy 
Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác đều. 	
	Lời giải
Xét hiệu 
Suy ra 
Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.