Đề cương ôn tập Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác. 
b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 
(A+B) 2 = A2+2AB+B2
(A-B) 2 = A2-2AB+B2
A2-B2 = ( A-B)(A+B)
(A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
(A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3
A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường 
	a. Đặt nhân tử chung 
	b. Dùng hằng đẳng thức 
	c. Nhóm các hạng tử 
	d. Phối hợp các phương pháp trên 
d. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác 
	a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
	b. Thêm, bớt cùng một hạng tử 
	c. Đặt ẩn phụ 
	d. Dùng phương pháp hệ số bất định
	e. Nhẩm nghiệm 
e. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
f. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + ..... + a2x + a 
	Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a.
	Các ví dụ cụ thể 
1. Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
	Đây là phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước mới xuất hiện nhân tử chung. 
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
	a. x2- 3x 	b. 12x3- 6x2+3x 
	c. x2 + 5x3 + x2y	d. 14x2y-21xy2+28x2y2
	Giải 
	a. x2- 3x =x(x-3)
	b. 12x3- 6x2+3x =3x(4x2 -2x +3)
	c. x2 + 5x3 + x2y	= x2( + 5x + y)
	d. 14x2y-21xy2+28x2y2 = 7xy(2x -3y +4xy)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
	a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y)
	b. x(x+ y) +4x+4y
	Giải
 a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x2-15xy)
 = (x -2y)5x(x-3y)
 b. x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y)
	 = x(x + y)+(x + y)4
 = (x+ y)(x + 4)
	ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như ví dụ sau: 
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
	a. 10x(x-y)-8y(y-x)
	b. 5x(x-2000) - x + 2000
	Giải
	 a.10x(x-y)-8y(y-x) 
	= 10x(x-y)+8y(x-y)
	= (x-y)(10x+8y)
	=2(x-y)(5x+4y)
	b. 5x(x-2000) -x+2000
	=5x(x-2000) -(x-2000)
	=(x-2000)(5x -1)
	Việc phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng trong các bài tập khác như tìm x chứng minh, tính giá trị của biểu thức. 
Ví dụ 4
	Tính giá trị của biểu thức x(x-1)-y(1-x) tại x=2000, y=1999.
	Giải:
	Nếu theo cách làm thông thường ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị biểu thức.
	Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1)
 	 =(x-1)(x+y)
	Thay x=2001, y=1999 ta được
	(2001-1) (2001+1999)
	= 2000.4000
	= 8000000.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng 55n+1- 55n
 Ta sẽ biến đổi vế trái thành một tích trong đó có một thừa số chia hết cho 54
Ta có 55n+1-55n=55n.55 – 55n
 =55n(55 -1)
 =55n.54
Ví dụ 6: Tìm x biết 
	5x(x-1) = x-1
	5x(x-1) -(x-1) = 0
	(x-1)(5x-1) = 0
	x-1= 0 hoặc 5x-1= 0
	x=1 hoặc x=
2. Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 
	Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đắng nhớ 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
x2-6x +9 
x2-6 
1- 27x3
x3+
-x3+9x2-27x +27
	Giải
a. x2-6x +9 =(x-3)2
b. x2-6 =(x- ) (x+) 
c. 1- 27x3 = (1-3x)(1+3x+9x2)
d. x3+ = (x+)(x2-1+ )
e. -x3+9x2-27x +27 =-(x3-9x2+27x -27) =-(x-3)3
	ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 8x3+12x2y +6xy2+y3
 b. (xy+1)2-(x-y)2
	Giải
	a. 8x3+12x2y +6xy2+y3
	=(2x)3 +3.(2x)2y +3.2x.y2 +y3
	=(2x+y)3
	b.(xy+1)2-(x-y)2
	=[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)]
	=(xy-x-y+1)(xy+x-y+1)
3- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.
	Đối với phương pháp này cần lưy ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc.
Ví dụ 1:Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2
c. x2 -3x + xy - 3y d. 2xy +3z + 6y + xz
	Giải 
a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2
=( x2 - y2 ) - (x +y) =(x2 - 2xy + y2)- z2
= (x + y) (x - y)- (x +y) =(x-y)2-z2
=(x + y) (x- y -1) =(x-y-z)(x-y+z)
c, x2 -3x + xy - 3y d, 2xy +3z + 6y + xz
=(x2+xy) -(3x+3y) =(2xy+6y)+(3z+xz)
=x(x+y)-3(x+y) =2y(x+3)+z(3+x)
=(x+y)(x-3) =(x+3)(2y+z)
	ở ví dụ 1 khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức. 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
	b. a3(b2 -c 2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)
 	 Giải
	Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng thử ba. Ví dụ a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b)
=(b2c -ca2) +(bc2+c2a) -ab(a+b)
=c(b2-a2) +c2(b+a)- ab(a+b)
=c(b-a)(b+a)+c2(b+a) - ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca +c2)- ab(a+b)
=(a+b)(cb-ca +c2- ab)
=(a+b)[(cb+c2)-(ca+ba)
=(a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
=(a+b)(b+c)(c-a)
b.a3(b2 -c 2)+b3(c2-a2)+ c3(a2-b2)
=a3b2- a3c2 + b3c2 - b3a2+c3(a2-b2)
 =(a3b2 -b3a2 ) –(a3c2 -b3c2 ) +c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) – c2(a3-b3)+c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) –c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b)
= (a-b)(a2b2-c2a2-c2ab- c2b2 + c3a + c3b)
= (a-b)[( a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab) + (c3a -c2a2)]
=(a-b)[b2(a-c)(a+c) + c2b(c-a) + c2a(c-a)]
=(a-b)(a-c)(b2a+b2c -c2b –c2a)
=(a-b)(a-c)[(b2a -c2a) + (b2c -c2b )]
=(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)]
=(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc)
	Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ 
4- Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
	Phương pháp này cho các đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử. Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết. 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
	a. x2-7x+12
	b. 4x2-3x-1
	Giải
a. x2-7x+12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x
Ta có x2-7x+12 =x2-4x-3x +12
 =(x2-4x)-(3x -12)
 = x(x-4)-3(x-4)
 =(x-4)(x-3) 
Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- 9
x2-7x+12 =x2-7x +21-9
 =(x2-9) –(7x-21) 
 =(x-3) (x+3) -7(x-3)
 =(x-3) (x+3 -7)
 =(x-3) (x -4)
b. 4x2-3x-1 
Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2+3x2
Ta có 4x2-3x-1 
=x2+3x2-3x-1
=(x2-1) + (3x2-3x)
=(x-1)(x+1) +3x(x-1)
=(x-1)(x+1+3x)
=(x-1)( 4x +1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x +x
 4x2-3x-1 
= 4x2-4x +x -1
= 4x(x-1)+ (x -1)
= (x -1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3
 4x2-3x-1 
=4x2-3x -4 +3
=4(x-1)(x+1) -3 (x-1)
 =(x-1)(4x+4-3)
 =(x-1)(4x+1)
	Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhan tử có ba lời giải tương ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách. 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử 
	a. x3-2x -4
	b. x3+8x2+17x +10
	Giải
a. x3-2x -4
=.x3-2x -8+4
=(x3-8)-(2x-4)
=(x-2)(x2+2x +4)-2(x-2)
b. x3+8x2+17x +10
=x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10
=x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1)
=(x+1)(x2 +7x +10)
=(x+1)(x2 + 2x +5x+10)
=(x+1) [x(x+2) +5(x+2)]
=(x+1)(x+2)(x+5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử 
a. x3+3x2 +6x +4
b. x3-11x2+30x
 Giải
a. x3+3x2 +6x +4
=x3+x2 +2x2 +2x +4x +4
=x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1)
=x(x+1)(x2 +2x +4)
b. x3-11x2+30x
=x(x2-11x +30)
=x(x2 -5x-6x +30)
=x [x(x-5) -6(x-5)]
= x(x-5)(x-6) 
	Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay không ta dựa vào định lí sau:
	Một đa thức: axn + nn - 1xx - 1 + ....... + a1x + a
	Đa thức này có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a.
Ví dụ: Đa thức: x2 + 2x + 4 không phân tích được bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ước của 4. Ta thấy Ư(4) = {±1; ±2; ±4} thử các gía trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích được nữa.
5- Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử:
	Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	a3 + b3 + c3 - 3abc
	= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc
	= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc)
	= (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c)
	= (a + b + c) [(a+b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab]
	= (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab)
	= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
	Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a2b, 3ab2 để có thể nhóm vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) x5 + x4 + 1	b) x5 + x + 1	c) x8 + x7 + 1
	Giải:
	a) x5 + x4 + 1
	Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức được:
	x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1
	= (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
	= x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)
	b) x5 + x + 1	
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm như phần a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1	
	Có: x5 + x + 1	
	= x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x + 1	
	= (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1
	= x3(x2 + x + 1) - x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)
Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1
	Ta có:
	x5 + x + 1 	= x5 + x2 - x2 + x + 1
	= (x5 - x2) + (x2 + x + 1)
	= x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
	= x2(x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
	c) x8 + x7 + x	= x8 + x7 + 1 + x2 - x2 + x - x
	= (x8 - x2) + (x7 - x) + (x2 + x + 1)
	= x2 (x6 - 1) + x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
	= (x3 - 1)(x3 + 1)(x2 + x) + (x2 + x + 1)
	= (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + x)+ (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1)(x6 - x4 + x3 - x + 1)
	Chú ý: Các đa thức trên đều có dạng: x3k + 1 + x3k+2 + 1
Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số (x2 + x + 1)
6- Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
	Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng A(x). B(x) + C Trong  ...  (x2 + x - 2) (x2 + x + 5)
	= (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5)
	= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
	= (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
	= (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
	ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
	b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
	Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:
	4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
	= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
	= 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2
	Đặt: x2 + xy + xz = m
	Ta có: 4m(m + xz) + y2z2
	= 4m2 + 4mxz + y2z2
	= (2m + yz)2
	Thay m = x2 + xy + xz ta được:
	(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
	b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
	c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Giải:
	a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
	Đặt: x2 + x = y
	Ta có: y2 - 2y - 15	= y2 - 5y + 3y - 15
	= y(y - 5) + 3(y - 5)
	= (y - 5)(y + 3)
	Thay y = x2 + x ta được:
	(y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
	Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích được nữa.
	b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
	= (x + 2)(x+5)(x+3)(x + 4) - 24
	= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
	Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2
	y(y + 2) = 24	= y2 + 2y - 24
	= y2 - 16 + 2y - 8
	= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
	= (y - 4)(y + 4 + 2)
	= (y - 4)(y + 6)
	Thay y = x2 + 7x + 10 ta được:
	(y - 4)(y + 6) 	= (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6)
	= (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
	= (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16)
	= [x(x+1) + 6(x+1)] (x2 + 7x + 16)
	= (x+1)(x + 6) (x2 + 7x + 16)
	c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
	Đặt x2 + 8x + 7 = y => x2 + 8x + 15 = y + 8
	Ta có: y(y + 8) + 15	= y2 + 8y + 15
	= y2 + 5y + 3y + 15
	= y(y + 5) + 3(y + 5)
	= (y + 5)(y + 3)
	Thay y = x2 + 8x + 7 ta được:
	(y + 5)(y + 3)	= (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)
	= (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
	= (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10)
	= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
	= (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)
	ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
	3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 - 4x + 3 + 2x2
	Nếu theo cách làm	như các ví dụ trước thì với ví dụ này ta không thể phân tích được. Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0.
	Vậy ta có thể biến đổi đa thức như sau:
	x3 (3x2 - 4x2 + 2x - 8 - )
	= x3[3(x3 + ) - 4(x2 + ) + 2(x + ) - 8]
	Đặt x + = t => t2 = (x + )2 = x2 + 2 +
	 => x2 + 	 = t2 - 2
	t3 = (x + )3
	 = x3 + 3x + + 
	 = x3 + + 3(x + )
	=> x3 + = t3 - 3t
	Thay x + = t; x2 + = t2 - 2; x3 += t3 - 3t
	Ta có:
	x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8]
	= x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8)
	= x3(3t3 - 4t2 - 7t)
	= x3t (3t2 - 4t - 7)
	= x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)]
	= x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
	= x3t(t + 1)(3t - 3 - 4)
	= x3t(t + 1)(3t - 7)
	Thay t = x + ta được
	x3(x + ) (3x + - 7)(x + + 1)
	= x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x + + 1)
	= (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1)
	Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức mới đặt được ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trước.
7- Phương pháp 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc 2.
	x3 - 19x - 30
Giải:
Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
	Ta có: x3 - 19x - 30
	= x3 + 8 - 19x - 38
	= (x3 + 8) - 19(x + 2)
	= (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
	= (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
	= (x + 2) x2 - 2x - 15)
	Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán.
 Cách 2: Kết quả phải có dạng:
	x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
	 = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
	 = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
	Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
	a + b = 0
	c + ab = -19
	ac = -30
	Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
	Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
	Giải:
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là 1. Dễ dàng kiểm tra được 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ. Như vậy, nếu đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
	x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 	= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
	= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
	Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
	a + c = 6
	ac + b + d = 7
	ad + bc = 6
	bd = 1
	Từ hệ này ta tìm được: a = b = d = 1; c = 5
	Vậy: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	x3 + 4x2 + 5x + 2
	Giải:
Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + a)(x2 + bx + c)
	= x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
	Ta phải có:	a + b = 4
	ab + c = 5
	ac = 2
	Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2
	Vậy: x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + 1)(x3 + 3x + 2)
	= (x+ 1)[(x2 + x) + (2x + 2)]
	=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
	= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số tự do 2 có 1 là nghiệm. Vậy đa thức viết được dưới dạng:
	x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b)
	=> x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1)
	Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được:
	(x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2
	Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + 1)( x2 + 3x + 2)
	= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tích hạng tử
	Ta có: x2 + 4x2 + 5x + 2 	= x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
	= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
	= (x +1)(x2 + 3x + 2)
	= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
	= (x + 1)2(x + 2)
1. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*).
	Ví dụ 1. Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử.
	Lời giải.
	Đặt y = x2 có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 .
	Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19. Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10 ta có 6y2 + 19y +15 = 6y2 + 9y +10y +15 =3y (2y + 3) +5(2y + 3) =(2y + 3)(3y + 5).
	Từ đó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5) 
 	Ví dụ 2. Phân tích P(x) = 6x4 + x2 - 15 thành nhân tử.
	Lời giải.
	Đặt y = x2 có Q(y) = 6y2 + y - 15 .
	Tìm m, n sao cho m.n = -90 và m + n = 1. Chọn được m = 10, n = -9. Từ đó Q(y) = 6y2 + y - 15 = 6y2 + 10y – 9y - 15 = 2y (3y +5) - 3(3y +5) =(3y +5)(2y -3).
 	Từ đó P(x) = (3x2 +5)(2x2 -3)
	2. Đa thức dạng P(x) = (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) + e 
 với a+b = c+d
	Cách giải. Đặt biến phụ y = (x + a) (x + b) và áp dụng HĐT (*). Có thể đặt y = (x + a) (x + b) hoặc y = x2 + (a + b)x
	Ví dụ 3. Phân tích đa thức 
P(x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 15
thành nhân tử.
	Cách giải. 
	Với a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 thì a+b = c + d. Biến đổi
 P(x) = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 4) - 15 
 = ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = (x + 1) (x + 4) = x2 +5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y (y + 2) – 15 = y2 + 2y - 15.
	áp dụng HĐT (*) với m = 5, n = 3 có Q(y) = (y + 5) (y - 3). Từ đó P(x) = ( x2 + 5x + 9) ( x2 + 5x + 1) 
 	Tổng quát nếu đa thức dạng 
P(x) = (a1x + a2) (b1x + b2) (c1x + c2) (d1x + d2) + e
Thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 + c2d1 thì đặt y = (a1x + a2) (b1x + b2) rồi biến đổi như trên. Xét P(x) / a1b1c1d1
	3. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2) (b1x + b2) (c1x + c2) (d1x + d2) 
 với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 
	Cách giải. Đặt biến phụ y = (a1x + a2) (b1x + b2) và áp dụng HĐT (*).
Có thể đặt y = (c1x + c2) (d1x + d2)
	Ví dụ 4. Phân tích đa thức 
 P(x) = (3x + 2) (3x - 5) (x - 1) (9x + 10) + 24x2 
 thành nhân tử.
	Lời giải :
	Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2
P(x) = (9x2 - 9x - 10) (9x2 +x - 10) + 24x2 
Đặt y = (3x + 2) (3x - 5) = (9x2 - 9x - 10) thì Q(y) =y (y + 10) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2.
 Từ m.n =24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x và n = 4x. áp dụng HĐT (*) ta được 
Q(y) = (y + 6x) (y + 4x) , suy ra 
P(x) = (9x2 - 3x - 10) (9x2 - 5x - 10) .
4. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a 
với k = 1 hoặc k = -1 
	Cách giải : Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*)
	Ví dụ 5 . Phân tích đa thức 
 	 P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2
 thành nhân tử.
	Lời giải : Đặt y = x2 - 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1
	Biến đổi P(x) = 2 (x4 – 2x2 + 1) + 3x2 - 5x2 - 3x 
 = 2 (x2 – 1)2 + 3x (x2 -1) - 5x2 
	Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2 
Tìm m, n sao cho m.n = -10x2 và m + n = 3x.
Chọn m = 5x và n = -2x ta có 
	Q(y) = 2y2 + (5x – 2x)y - 5x2 = 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2 
	 = 2y (y - x) + 5x (y - x)
	 = (y - x) ( 2y+ 5x)
	Từ đó P(x) = (x2 - 1 - x) (2x2 - 2 + 5x)
5. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/ b2 
Cách giải : Đặt biến phụ và biến đổi P(x) về dạng chứa 
hạng tử y2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*)
	Ví dụ 6 . Phân tích đa thức 
 P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.
Lời giải : Dễ thấy b = -1 , d = 2 , e = 4 . 
Đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 1. Biến đổi
P(x) = x4 - 4x2 + 4 - x3 - 6x2 + 2x
 = (x2 - 2)2 - x (x2 - 2) – 6x2
Từ đó Q(y) = y2 - xy – 6x2.
Tìm m, n sao cho m.n = -6x2 và m + n = -x .
Chọn m = 2x và n = -3x ta có Q(y) = y2 + (2x - 3x)y – 6x2
 = y2 + 2xy - 3xy - 6x2 
 = y(y + 2x) - 3x(y +2x) - 6x2
 = (y + 2x) (y- 3x)
 Từ đó P(x) = (x2 - 2x + 2) (x2 - 2 – 3x) 
 Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức 
theo cách làm trên.
 6. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c
 Cách giải : Đặt biến phụ và biến đổi P(x) về 
dạng mx4 +nx2 + p
 Ví dụ 7. Phân tích P(x) = (x - 3)4 + (x - 1)4 - 16 ra thừa số.
	Lời giải : Đặt y = x - 2 .Lúc đó P(x) trở thành 
	Q(y) = (y - 1)4 + (y + 1)4 – 16
	 = 2y4 + 12y2 - 14 = 2 (y4 + 6y - 7) 
 = 2 (y2 + 7) (y2 - 1) = 2 (y2 + 7) (y - 1) (y + 1) 
 nhờ sử dụng HĐT (*) 
	Suy ra P(x) = 2 (x2 - 4x - 11) (x - 3) (x - 1)
Sau đây là một số bài tập ta có thể sử dụng các phương pháp trên để làm:
Bài tập : Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử 
	A(x) = (48x2 + 8x - 1) (3x2 + 5x + 2) - 4	 	
B(x) = (12x - 1) (6x - 1) (4x - 1) (3x - 1) - 330
	C(x) = 4(x2 + 11x + 30) (x2 + 22x + 120) – 3x2
D(x) = (7 - x)4 + (5 - x)4 - 2 
E(x) = x4 - 9x3 + 28x2 - 36x + 16
	F(x) = x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1