Chuyên đề Chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn Hình học 9

Chuyeõn ủeà :
TOAÙN CHệÙNG MINH NHIEÀU ẹIEÅM THUOÄC MOÄT ẹệễỉNG TROỉN
I-MUẽC TIEÂU:
HS:Naộm vửừng caực phửụng phaựp chửựng minh nhieàu ủieồm thuoọc moọt ủửụứng troứn.
HS:Coự kyừ naờng vaọn duùng caực phửụng phaựp vaứo baứi taọp moõùt caựch linh hoaùt
HS:Reứn luyeọn kyỷ naờng veừ theõm ủửụứng phuù ,choùn phửụng aựn giaỷi quyeỏt phuứ hụùp vụựi ủeà baứi ,reứn luyeọn tớnh linh hoaùt saựng taùo.
 II-THễỉI LệễẽNG:(8Tieỏt)
Tieỏt 1,2,3
CAÙC PHệễNG PHAÙP CHệÙNG MINH:
1-Chổ ra caực ủieồm cuứng caựch ủeàu moọt ủieồm
2-Chửựng minh hai goực ủoỏi cuỷa tửự giaực buứ nhau
3-Chửựng minh hai ủổnh lieõn tieỏp cuỷa tửự giaực cuứng nhỡn xuoõng moọt ủoaùn dửụựi nhửừng goực baống nhau.(Dửùa vaứo cung chửựa goực)
	Caực caựch khaực ủeồ chửựng minh tửự giaực noọi tieỏp .
-Chửựng minh tửự giaực laứ hỡnh thang caõn
-Chửựng minh moọt goực cuỷa tửự giaực baống moọt goực ngoaứi cuỷa goực ủoỏi dieọn
Vớ du1ù:
Cho tam giaực ABC noọi tieỏp (O) M laứ moọt ủieồm baỏt kyứ thuoọc AC.Goùi H,I,K theo thửự tửù laứ chaõn caực ủửụứng vuoõng goực keỷ tửứ M ủeỏn caực ủửụứng thaỳng AB,AC,BC .Chửựng minh raống:
A
M
B
C
K
I
OŸ
H
a)caực ủieồm A,M,H,I cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn .
b)Caực ủieồm M,I,K,C cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn.
c)Caực ủieồm I,H,K thaỳng haứng.
Giaỷi:Giaỷ sửỷ H naốm ngoaứi caùnh AB ,ủieồm K naốm treõn caùnh BC 
Tửự giaực AHMI coự AHM + AIM = 900+900 = 1800 
=> AHMI laứ tửự giaực noọi tieỏp 
=> A,H,M,I cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn .
b) MIC = MKC = 900 => I vaứ K thuoọc ủửụứng troứn coự ủửụứng kớnh MC => M,I,K,C cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn .
c) Tửứ caõu a) => MIH = MAH (Hai goực noọi tieỏp cuứng chaộn cung HM)
Tửứ caõu b) => MIK+ MCK = 1800 (Tớnh chaỏt cuỷa tửự giaực ). 
Ta laùi coự MAH = MCK (cuứng buứ BAM) 
=> MIH + MIK = 1800 .Vaọy H,I,K thaỳng haứng .
M
E
N
B
C
A
L
D
I
P
H
 Ÿ Q
F
Ÿ
Vớ duù 2:
 Cho tam giaực ABC, caực ủửụứng cao AM,BN ,CP caột nhau taùi H .
Goùi D,E,F theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa BC,AC,AB .Goùi (Q) laứ 
ủửụứng troứn ủi qua D,E,F.Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa HA 
a) C/M tửự giaực DEIF laứ tửự giaực noọi tieỏp 
b) Goùi K,L theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa HB,HC .C/m K,L thuoọc ủửụứng troứn (Q)
c) C/m:M,N,P thuoọc ủửụứng troứn (Q).
Baứi giaỷi 
Theo tớnh chaỏt ủửụứng trung bỡnh cuỷa tam giaực ,FI //BH,
FD //AC ,maứ BH AC neõn FI FD
IFD = 900 .Tửụng tửù 
DEI = 900 .Vaọy DEIF laứ tửự giaực noọi tieỏp ủửụứng troứn coự ủửụứng kớnh DI .ẹửụứng troứn naứy ủi qua D,E,F neõn laứ ủửụứng troứn (Q).
Theo caõu a) ủửụứng troứn (Q) ủi qua trung ủieồm cuỷa 
AH ,do ủoự tửụng tửù ủửụứng troứn (Q) cuừng ủi qua trung
 ủieồm cuỷa HB,HC tửực laứ K,L cuừng thuoọc ủửụứng troứn (Q)
Ta coự IMD = 900 = > M thuoọc ủửụứng troứn ủửụứng kớnh ID tửực laứ ủửụứng troứn (Q). Tửụng tửù N,P cuừng thuoọc ủửụứng troứn (Q).
Vớ duù 3:
Cho ủửụứng troứn taõm (O) vaứ ủửụứng thaỳng xy ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn ủoự .Tửứ O veừ OA vuoõng goực vụựi xy ; Tửứ A veừ moọt caựt tuyeỏn baỏt kyứ caột ủửụứng troứn taùi B vaứ C caột xy taùi D vaứ E .Chửựng minh AD = AE .
x
D
A
B
 Ÿ O
y
C
E
HD:
Chuựng minh :OAD = OBD = 1v 
=> B,D thuoọc ủửụng troứn ủửụứng kớnh OD hay tửự giaực OBAD 
noọi tieỏp moọt ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OD
Chửựng minh:OCE =1v;OAE =1v 
=> OCE + OAE =1v+1v= 2v 
=> OCEA noọi tieỏp 
D
C
A
B
E
F
OŸ
Chửựng minh rOBD = rOCE (g-c-g) => OD =OE
=> DA = AE
Vớ duù 4:Cho ủửụứng troứn taõm O AB laứ ủửụứng kớnh ta keừ hai ủửụứng thaỳng caột tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taùi B ụỷ E vaứ F vaứ caột ủửụứng troứn taùi C vaứ D .c/m tửự giaực ECDF noọi tieỏp .
HD: Chuựng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v 
=> CEFD noọi tieỏp moọt ủửụứng troứn
Vớ duù5:
M
OŸ
B
A
C
D
H
E
I
Treõn ủửụứng troứn (O;R) ủửụứng kớnh AB , laỏy hai ủieồm M,E theo thửự tửù A,M,E,B (hai ủieồm M,E khaực hai ủieồm A,B).AM caột BE taùi C ;AE caột BM taùi D.
Chửựng minh MCED laứ moọt tửự giaực noọi tieỏp vaứ 
Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa CD vaứ AB .Chuựng minh BE.BC = BH.BA .
c)Chửựng minh caực tieỏp tuyeỏn taùi Mvaứ E cuỷa (O) caột nhau taùitrung ủieồm I cuỷa CD 
d)Cho bieỏt BAM = 450 vaứ BAE = 300 .
Tớnh dieọn tớch tam giaực ABC theo R.
H.Daón:
Caõu a:Chửựng minh tửự giaực MCED noõi tieỏp 
Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v 
	Chửựng minh:CD (Tớnh chaỏt caực ủửụứng cao trong tam giaực) 
Caõu b: Chửựng minh hai tam giaực BEA vaứ BHC ủoàng daùng 
=> BE.BC = BH.BA 
Caõu c: Chửựng minh IM laứ tieỏp tueỏn cuỷa (O) 
Ta chuựng minh:IMD =MAB => MI laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O) 
Tửụng tửù chuựng minh treõn ta cuừng C/m ủửụùc IE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O) 
Caõu d:Tớnh dieọn tớch tam giaực ABC theo R 
Tớnh CH = Tửứ ủoự (ủvdt)
B
E
C
I
A
H
K
Ÿ O
Vớ duù 6:Cho tam giaực ABC caõn taùi A,noọi tieỏp tong (O) ủửụứng kớnh AI Goùi E laứ trung ủieồm cuỷa AB vaứ K laứ trung ủieồm cuỷa OI .C/mR:AEKC laứ tửự giaực noọi tieỏp.
Baứi giaỷi:
Goùi H laứ trung ủieồm cuỷa BE thỡ KH laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang vuoõng OEBI ,suy ra HK//OE//BI,maứ OE Tửứ ủoự Tam giaực KBE caõn taùi K,suy ra KEB=KBE,Maởt khaực KBE=KCA .Vaọy KEB=KCA.Do ủoự Tửự giaực AEKC noọi tieỏp 
Vớ duù 7:
Cho ủoaùn thaỳng AB = 2a coi trung ủieồm laứ O .treõn cuứng nửỷa mp bụứ AB dửùng nửỷa (O) ủửụứng kớnh AB vaứ nửỷa (O’) ủửụứng kớnh AO .Treõn (O’) laỏy moọt ủieồm M (khaực A vaứ O) ,tia OM caột (O) taùi C ,goùi D laứ giao ủieồm thửự hai cuỷa CA vụựi (O’)
a)Chửựng minh tam giaực ADM caõn 
b) Tieỏp tuyeỏn taùi C cuỷa (O) caột tia OD taùi H ,ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực COH caột (O) taùi ủieồm thửự hai laứ N ,chửựng minh ba ủieồm A,N vaứ M thaỳng haứng .
c)Taùi vũ trớ cuỷa M sao cho ME//AB ,haừy tớnh OM theo a.
Hửoựng daón:
1)TacoựOAC caõn taùi O coự OD AC ,MOD=DOA caõn taùi D
2)Deó thaỏy EAO=ECO =900 hay EAAB noựi caựch khaực EA laứ tieỏp tuyeỏn chung cuỷa (O) vaứ (O’)
N’
K
A
B
Ÿ O
E
C
M
O’Ÿ
D
3)Giaỷ sửỷ AM caột (O) taùi N’ ,AOC=2AN’C COH=CN’H Daón ủeỏn tửự giaực CHON’ noọi tieỏp trong moọt ủửụứng troứn ,tửứ ủoự ta coự Thaỳng haứng .
4)Veừ MK Tửứ GT :EM//AB ,ta suy ra MEO caõn taùi M vaứ tửự giaực AEMK laứ hỡnh chửừ nhaọt .ẹaởt ME=MO=x . Ta coự MO2=AO2-AM2=AO2-AO.AK=AO2-AO.ME.
 Vaọy x2=a2-ax.Giaỷi ta ủửụùc:x = 
Tieỏt 5,6,7, 
LUYEÄN TAÄP:
Baứi 1: Cho tam giaực ABC caõn taùi A noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O .Treõn caùnh AB laỏ ủieồm E vaứ treõn caùnh AC keựo daứi veà phớa C laỏy F sao cho BE = CF .Veừ ủửụứng kớnh AA’ cuỷa (O).
Chửựng minh tam giaực A’EF caõn vaứ tửự giaực AEA’F noõi tieỏp 
Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa EF vaứ BC .Chuựng minh IE =IF 
Baứi 2: Cho tam giaực ABC nhoùn noọi tieỏp (O;R) H laứ trửùc taõm BD vaứ CE laứ hai ủửụứng cao 
a) Chửựng minh tửự giaực ADEH noọi tieỏp 
b) Goùi H’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H qua BC .Chửựng minh raống tửự giaực ABH’Cnoọi tieỏp (O)
c) Chuựng minh raống :OA vuoõng goực DE
 Baứi 3: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A laỏy D treõn AB . veừ ủửụứng troứn dửụứng kớnh BD caột BC taùi E vaứ CD caột ủửụứng troứn taùi F AE caột (O) Taùi G 
a) Chửựng minh tửự giaực ADEC vaứ AFBC noọi tieỏp
b) Chuựng minh :FG//AC
c) Chuựng minh 3 ủửụứng ED,CA,BF ủoàng quy taùi moọt ủieồm.
Baứi 4: Cho tam giaực ABC caõn taùi A .Veừ (O) tieỏp xuực AB taùi B vaứ tieỏp xuực AC taùi C.Treõn cung nhoỷ BC ụỷ beõn trong tam giaực ABC laỏy M veừ MD,ME vaứ MF laàn lửụùt vuoõng goực vụựi BC ,ABvaứAC.
a) Chửựng minh raống :Caực tửự giaực :MDBE vaứ MDCF noọi tieỏp 
b) Chửựng minh raống :MD2 = ME.MF
c) Chửựng minh raống :M laứ taõm ủửụứng troứn noọi tieỏp tam giaực DEF
d) Goùi P vaứ Q laà lửụùt laứ giao ủieồm cuỷa BM vụựi DE vaứ MC vụựi DF.Chửựng minh raống :Tửự giaực MPDQ noọi tieỏp
Baứi 5: Cho (O;R),ủửụứng kớnh AB .Keừ tieỏp tuyeỏn Bx . Mlaứ moọt ủieồm di ủoọng treõn Bx (M khaực B).AM caột (O) taùiN.Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa AN.
	a) C/m: Tửự giaực BOIM noọi tieỏp 
	b) C/m:Tam giaực IBN ủoàng daùng vụựi tam giaực OMB
	c) Tỡm vũ trớ cuỷa M treõn tia Bx ủeồ dieọn tớch tam giaực AIO coự giaự trũ lụựn nhaỏt.
Baứi 6: Cho hỡnh vuoõng ABCD .laỏy M thuoọc AB vaứ N thuoọc CB sao cho MB= CN .goùi o laứ giao ủieồm cuỷa hai ủửụứng cheựo .AN caột DC keựo daứi taùiP, BP caột ON taùi Q.
a) Chuựng minh raống :Tửự giaực BMON noõi tieỏp 
b) Chuựng minh raống :MN//BP
c) Chửựng minh raống :CQ vuoõng goực vụựi PB
-----š¯›----