Chuyên đề Biến đổi đồng nhất Đại số Lớp 8 - Lê Gia Lợi - Trường THCS Triệu Trạch

Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT 
 Các ví dụ và phương pháp giải 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 a. ( ) ( )11 22 +−+ axxa 
 b. nn xxx −+− +31 . 
Giải: 
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ( ) ( )11 22 +−+ axxa
 = xxaaax −−+ 22 
( ) ( ) ( )( )1−−=−−−= axaxaxaxax
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 
nn xxx −+− +31 . ( ) ( )113 −+−= xxxn 
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )11
111111
12
22
+++−=
+++−=−+++−=
++ nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a. x8 + 3x4 + 4. 
b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 . 
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức 
x
8
 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 
 = (x4 + 2)2 - (x2)2 
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) 
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp 
để sử dụng hằng đẳng thức 
x
6
 - x
4
 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) [ ]221
11111
1212
222
2222222
2242
++−=
++−=−+−=
+−++−=
xxxx
xxxxxx
xxxxx
Ví dụ 3: 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. abcbccbaccaabba 42442 222222 −+−+−+ 
b. 200720062007 24 +++ xxx 
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: 
abcbccbaccaabba 42442 222222 −+−+−+
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )( )cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 
20072062007 24 +++ xxx
( )
( )( ) ( )
( )( )20071
1200711
200720072007
22
22
24
+−++=
+++++−=
+++−=
xxxx
xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abccba 3333 −++ 
b. ( ) 3333 cbacba −−−++ . 
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức 
( )( )abbababa −++=+ 2233
( ) ( )[ ]abbaba 32 −++=
( ) ( )baabba +−+= 33 .Do đó: 
=−++ abccba 3333 ( )[ ] ( ) abcbaabcba 3333 −+−++= 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )( )cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
22 3
b. ( ) ( )[ ] ( )3333333 cbacbacbacba +−−++=−−−++ 
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( )( ) ( )( )( )bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=
+−+−+++++++=
33333 2
2222
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. 
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc. 
Giải: Vì a + b + c = 0 
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
33333
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 224 ba
abP
−
=
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0 
 ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b. 
Do đó 3
1
34 2
2
22 ==
−
=
a
a
ba
abP
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 
1;0 =++=++
c
z
b
y
a
x
z
c
y
b
x
a
 thì 1; 2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải: 000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++⇒
=
++
+++=






++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
 Bài tập vận dụng - Tự luyện 
1. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. 122 −− xx 
 b. 1582 ++ xx 
 c. 1662 −− xx 
 d. 323 ++− xxx 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
( ) ( ) 152 222 −−−− xxxx . 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử 
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. 
4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 
5. Cho a +| b + c + d = 0. 
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : 
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 
 là số chính phương. 
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: 
( ) ( ) ( )1311 22 +−−+−−+ baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy 
tính giá trị biếu thức 
P = ( ) ( ) ( )1997917 111 −+−+− zyx . 
10. 
a.Tính 2222222 10110099...4321 +−++−+− . 
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. 
 Tính ab + bc + ca. 
11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện 
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. 
 Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + 
(z+1)2007 
12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : 
cbacba ++
=++
1111
. 
 Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008). 
==========o0o========== 
HƯỚNG DẪN: 
1. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. ( )( )34122 +−=−− xxxx 
 b. ( )( )531582 ++=++ xxxx 
 c. ( )( )821662 −+=−− xxxx 
 d. ( )( )3213 223 +−+=++− xxxxxx 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
( ) ( ) ( )( )35152 22222 +−−−=−−−− xxxxxxxx . 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử 
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 
( )( )( )( )ayxayaxyx ++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 
( )( )( )accbba +++=
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz 
( )( )( )xzzyyx +++
4. x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 
( ) ( ) ( )222 2|321 −+−+−⇔ zyx
5. Từ a + b + c + d = 0 ( ) ( )33 dcba +−=+⇒ Biến đổi tiếp ta 
được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 
6. Nếu x + y + z = 0 thì : 
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )222
222555
222555
222222333
333
2
*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Như
ng: ( ) ( ) 2222 20 zyxzxyzxyxyzzyx ++=++−⇒=++ (**) 
Thay (**) vào (*) ta được: 
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 
7. Với x,y nguyên thì : 
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 
( )222 55 yxyx ++=
8. Biến đổi 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11311 222 +−−=+−−+−−+ bababaababbbaa
9. Từ 



=++
=++
1
1
333 zyx
zyx
( ) ( )( )( )xzzyyxzyxzyx +++=−−−++⇒ 33333





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx
2−=⇒ P
10. 
a. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 
11. Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0 
12. Từ: 
cbacba ++
=++
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 
 Tính được Q = 0 
==========o0o==========