Các bài toán Phương trình nghiệm nguyên Đại số Lớp 8

Chuyên đề 2:
phương trình nghiệm nguyên
1. Tìm nghiệm nguyên của Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Tuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau.
VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11 	(1)
Cách 1: Phương pháp tổng quát:
Ta có: 2x + 3y = 11
Để phương trình có nghiệm nguyên nguyên
Đặt 	y = 2t + 1
x = -3t + 4
Cách 2 : Dùng tính chất chia hết
Vì 11 lẻ 2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn 3y lẻ y lẻ
Do đó :	y = 2t + 1 	với
x = -3t + 4
Cách 3 : Ta nhân thấy phương trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là 
x0 = 4 ; y0 = 1
Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 	(2)
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có :
2(x - 4) + 3(y - 1) = 0
2(x -4) = -3(y -1)	(3)
Từ (3) 3(y - 1) 2 mà (2 ; 3) = 1 y - 1 2
 y = 2t + 1 với 
Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4
Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phương trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn.
Các bài tập tương tự : Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
a) 	3x + 5y = 10
b) 	4x + 5y = 65
c) 	5x + 7y = 112
VD2 : Hệ phương trình.
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau :
3x + y + z = 14	(1)
5x + 3y + z = 28 	(2)
Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*)
Thay (*) vào (1) ta được z = 14 - y - 3x = 2y -7
Vì x > 0 nên 7 - y > 0 y 0 nên 2y - 7 > 0 y > 
Vậy < y < 7 và 
Giải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5)
Bài tập tương tự: 
a) Tìm nghiệm nguyên của hệ
2x -5y = 5
2y - 3z = 1
b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ – trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm số trâu mỗi loại.
c) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 1000 dư 1 và chia cho 761 dư 8.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình bậc cao.
Phương pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình.
VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình
6x2 + 5y2 = 74	(1)
Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) 	(2)
Từ (2) 6(x2 - 4) 5 và (6 ; 5) = 1 x2 - 4 5
 x2 = 5t + 4 với
Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 – 6t
Vì x2 > 0 và y2 > 0 	5t + 4 > 0
10 - 6t > 0 
 với 
 t = 0 hoặc t = 1
Với t = 0 y2 = 10	 (loại)
Với t = 1 	x2 = 9	x = 
 	y2 = 4	y = 
Vậy các cặp nghiệm nguyên là :........................
Cách 2 : Từ (1) ta có	 x2 + 1 5	
	0 < x2 12	 x2 = 4 hoặc x2 = 9
Với x2 = 4 y2 = 10 	(loại)
Với x2 = 9 y2 = 4 	(thoả mãn)
Vậy.....................
Cách 3 : Ta có :
(1) y2 chẵn
	 0 < y2 14 	 y2 = 4 x2 = 9
Vậy...............
VD2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên 
a) x5 + 29x = 10(3y + 1)
b) 7x = 2y - 3z - 1
Giải : x5 - x + 30x = 10(3y+1)
VP 30 còn VT 30 phương trình vô nghiệm
Phương pháp 2: Phân tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyên
VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) xy + 3x - 5y = -3
b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0
c) x2 + x = y2 - 19
Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18
(x – 5) (y + 3) = -18...
Cách 2 : 
b) Tương tự.
c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76
 (2x + 1)2 - (2y)2 = -75... 
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết)
VD2 : Tìm nghiệm nguyên.
x3 - 2y3 - 4z3 = 0
Giải : x3 = 2(y3 + 2z3)
VP 2 x3 2 x 2 đặt x = 2k
8k3 = 2(y3 + 2z3) 4k3 = y3 + 2z3
 y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3)
 y chẵn. Đặt y = 2t ta có :
8t3 = 2(2k3 - z3) 4t3 = 2k3 - z3
 z3 = 2k3 - 4t3 z chẵn z = 2m
 8m3 = 2(k3 - 2t3) ......k chẵn.......
Phương pháp 4 : Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của.
a) x2 - 4xy + 5y2 = 169
b) x2 - 6xy + 13y2 = 100
Giải :
a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144...
b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ...
Phương pháp 5 :  Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0
b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010)
c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2)
Phương pháp 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ
VD: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 	(1)
Đặt y = x2 + 2x + 2 (y Z)
(1) 5y2 – 7y – 6 = 0
 	(loại)	; y2 = 2 	(thoả mãn)	 x1 = 0; x2 = -2
Các bài tập tương tự: 
a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3
b) 
* Một số phương pháp khác.
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
2x2 + 4x = 19 -3y2
Giải : 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
(2x + 2)2 = 6 (7 - y2)
Vì (2x + 2)2 0 7 - y2 0 
Mà y y = 0 ;  ; Từ đây ta tìm được giá trị tương ứng của x