Bồi dưỡng HSG Toán 8 tháng 9 chủ đề: Căn bậc hai – Căn bậc ba

Båi d­ìng HSG th¸ng 9
Chñ ®Ò:c¨n bËc hai –c¨n bËc ba
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức : P = 
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = 
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức 
	P = 
a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 
b) Chứng minh P ≤ 
Bài 5: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức 
	P = 
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
Bài 10: Cho biểu thức 
	P = 
a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
 Bài 11: Rút gọn P.
	P = 
Với | a | >| b | > 0 
Bài 12: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 
	P = 
 Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 
	P = 
 Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức 
	P = 
 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức 
	P = 
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức 
	P = 
a) Tìm x để P có nghĩa 
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
	P = 
Bài 19: Rút gọn biểu thức
	a) A = 
	b) B = 
	c) C = 
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
	P = 
 Với ≤ x ≤ 5. 
Bài 21: Chứng minh rằng:
	P = 
 	là một số nguyên.
Bài 22: 	Chứng minh đẳng thức: 
Bài 23: Cho x = 
 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24:	Cho E = 
	Tính giá trị của E biết:
	x = 
	y = 
Bài 25:	Tính P = 
Bài 26:	Rút gọn biểu thức sau:
	P = + + ... +
Bài 27:	Tính giá rẹi của biểu thức:
	P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng
	x = 
y = 
Bài 28:	Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + )(-)
Bài 29:	Cho biểu thức 
A = 
	a) x = ? thì A có nghĩa.
	b) Rút gọn A.
Bài 30:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) So sánh P với .
Bài 31:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. 
Bài 32:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) a = ? thì P < 1
	c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35:	Cho biểu thức 
P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.
	Tính giá trị của biểu thức:	P = 
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
	Tính giá trị biểu thức E = 
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
	CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
	2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
 Tính giá trị biểu thức:
	M = 
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
	P = 
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
	(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
	b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 .
	Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007
Bài 6:	Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
	P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
	a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
	Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
Bài 8: Cho và . Tính 
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
	P = 
Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
	a) bx2 = ay2;
	b) 
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
 	 = 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
	A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
	P = 
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng: 
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
Bài 18: Cho và 
	Tính giá trị biểu thức A = 
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và 
Tính giá trị của P = 
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
	 A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
	Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.
Tính giá trị biểu thức: A = 
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.
	Tính giá trị của phân thức A = 	
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
	Tính giá trị của biểu thức:	P = 
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
	P = 
Bài 27:	Cho 
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 .
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P = 
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2.
	Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
 Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
	Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 
Tính giá trị biểu thức: Q = 
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
	2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.
So sánh a và b + c.
So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
	 2) Tính A = 	(Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
Giải phương trình khi m = 2.
Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn 
điều kiện + 10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. 
	Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai 
nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình 
	(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
	(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu 
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: -= 
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
B = x12 + x22 - đạt GTNN.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 
	3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
	S = 
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
	A = 
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
 	 x12 + x22 = 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
	x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . 
 Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
 CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
 	x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình 
sau phải có nghiệm:
 	ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
 	 x12 + x22 10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
	 E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. 
	CMR: a2 + b2 là một hợp số.
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình: 
Bài 1: 	 x3 + 2x2 + 2x + 2.
Bài 2: 	 (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 	4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 	 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x 
Bài 5: 	(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6:	 (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: 	 a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8:	 	a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
	b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
	c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9: 	a) x4 = 24x + 32
	b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0
Bài 10: 	
Bài 11:	 
Bài 12: 	x2 + 
Bài 13:	20
Bài 14: 	a) 
	b) 
	c) 
Bài 15: 	a) x2 + 
	b) x2 + 
Bài 16: 	a) 
	b) 
	c) x.
Bài 17: 	 x2 + = 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18: 	
Bài 19: 	
Bài 20: 	
Bài 21: 	3x2 + 21x + 18 + 2
Bài 22: 	a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
	b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 
	c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 
Bài 23: 	(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: 	a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
	b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
Bài 25: 	a) x3 - 6x + 4 = 0
	b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 
Bài 26: 	a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 
	b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 
Bài 27: 	
Bài 28: 	 a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
	 b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5
	( Đề thi HSG 1998)
Bài 29: 	
Bài 30: 	x4 - 4x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31: 	 ( Đề thi HSG V2 2003)
Bài 32: 	a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 
	b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 
Bài 33: 	(x + 3 + 2)(x + 9 +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: 	a) x2 + 4x + 5 = 2
	b) 3 = 2x2 - 6x + 4
	c) 
Bài 35: 	
Bài 36: 	Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
	a) Giải phương trình khi m = 5.
	b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 37: 	Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm.
Bài 38: 	Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 
Bài 39: 	Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 40: 	 x2 + 9x + 20 = 2
Bài 41: 	x2 + 3x + 1 = (x + 3)
Bài 42: 	x2 + =2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: 
 (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: 
Bài 4) CM bất đẳng thức:
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: 
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) 
 a2 + b2 + c2 = 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biễu diễn trên trục số.
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. 
CMR: 2a2 + 3b2 5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. 
CM: a2 + 4b2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
Bài 11) Chứng minh: 	(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
	a) (ax + by)2 
	b) 
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: 
Bài 14) Cho . 
CMR: S không là số tự nhiên.
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: . Dấu bằng xảy ra khi nào?
 b) Tam giác ABC có chu vi . 
Cm: 
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 
 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: 
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
 CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì .
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b 10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 
CMR: . 
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 
Bài 24) CMR nếu:
	a) thì 
	b) a + b thì 
Bài 25) Cho biểu thức 
CMR: với .
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và 
 b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: 
< 2.
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
	Chứng minh rằng: 
	(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
	( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 	A = x + y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 
Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 
Bài 5)	 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Bài 6)	 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
Bài 7)	 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 
Bài 9)	 Tìm GTLN của P = với x, y, z > 0.
Bài 10) Tìm GTLN của P = 
Bài 11) Cho M = 
Tìm điều kiện của a để M được xác định.
Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
	. Tìm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tìm GTNN của P = 
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
	P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. 
	Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức 
	P = + + 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ.
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức
	A = 
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.
	Tìm GTNN của biểu thức P = 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
	E = 
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
	P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
	Tìm GTNN của P = 
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P = 
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
	P = 8(x4 + y4) + 
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
	Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y biết + = 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =