Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Dựng tam giác đều trong các bài toán về tính số đo góc, so sánh độ dài đoạn thẳng (chứng minh các tam giác đặc biệt)

DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT)
A. Đặt vấn đề:
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác cân là các bài toán hay và khó; đặc biệt là các bài toán về tính số đo góc hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng là những bài toán rất hay, đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo nhanh nhẹn, óc quan sát thông minh, kỹ năng nhận dạng bài toán chính xác để từ đó tìm ra cách giải nhanh và gọn nhất
Bài 1:
Cho ABC cân tại A có = 600. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC
Tính số đo của , 
Giải
* Cách 1: 
Dựng tam giác đều BEC sao cho E nằm trong ABC 
Ta có: = = 200 và BE = CE = BC = AD 
AEB = AEC (c-c-c) = AE là tia phân giác của = = 100
ABE = CAD (c-g-c) = = 100
 = 1500
* Cách 2:
Dựng tam giác đều AFD sao cho F nằm trên nửa mp bờ AB không chứa điểm C ADC = FDC (c-c-c) CD là tia phân giác của góc ACF = (1) và = 200
 ACF = BAC (c-g-c) = = 200 (2)
Từ (1) và (2) suy ra = 100 = 1500
* Cách 3:
Dựng tam giác đều AKD sao cho K nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm D = 800
 AKD = CAB (c-g-c) = 200 
 = 400
 AKD = CAB (c-g-c) CKD cân tại K và có
 = 400 nên = 700 = 100 
 = 1500
Bài 2 (Đảo lại của bài 1):
Cho Cho ABC cân tại A có = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho = 100 
Tính độ dài AD biết BC = a
Hướng dẫn:
Dựng tam giác đều BEC (Như bài 1) ta chứng minh được ABE = CAD (c-g-c)
suy ra AD = BE = BC = a
Các cách khác giải tương tự
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ở miền trong hình vuông dựng AEB cân tại E sao cho = 1500
Chứng minh rằng: CDE là tam giác đều
Giải
Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong của tam giác AED
AEB cân tại E và có = 1500 nên suy ra
= 150 = 750 = 150 
 EAB = FAD (c-g-c) FAD cân tại F
 = = 150 và = = 1500
Ta có: = 3600 - ( + ) = 1500
FED = FAD (c-g-c) = 150
 và ED = AD = CD CED cân tại D (1)
Mặt khác = = 300 = 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra CDE là tam giác đều
Mở rộng bài toán: 
có thể thêm yêu cầu: Tính số đo của góc AED
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A có = 1000 . Qua B dựng tia Bx sao cho = 300
Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D
a) So sánh CD với CA
b) Tính số đo của góc BDA
Giải
a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng nằm trên nửa mp bờ BC
Ta suy ra EA là đường trung trực của BC
suy ra EA là tia phân giác của góc BEC 
suy ra = = 300
ABC cân tại A có = 1000 nên suy ra 
 = = 400 
 = 200
suy ra DBC = AEC (g-c-g) CD = CA
b) Ta có = 1800 - ( + ) (1)
Mà = 100 (2)
 = - = 1000 - = 200 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra = 1800 - ( + ) = 1800 - (100 + 200) = 1500
* Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC; BAD
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có = 400. Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm E sao cho = 300; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho = 300
a) Chứng minh : AE = AF
b) Tính số đo của 
Giải
a) Ta có : = 400 = BFA cân tại F FA = FB F thuộc đường trung trực của AB (1)
AH là phân giác của nên = 200
Dựng tam giác đều ABD sao cho D nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B thì D thuộc đường trung trực của AB (2) 
và = 200
Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung trực của AB DF là tia phân giác của góc ADB = 300
Suy ra FAD = EAB (g-c-g) AE = AF
b) Ta có = = 1300; = 800 nên suy ra = 200 , = 100
Trong BFE thì = 1800 - ( + ) = 1500 
Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B có = 800. Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho
 = 100; = 300
Tính số đo của 
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều AKC sao choK và B cùng nằm trên nửa mp bờ AC thì:
BAK = BCK (c-c-c)
 = 100 
và = 300 
BAK = IAC (g-c-g) AB = AI 
 BAI cân tại A có = 400 = 700 
* Cách 2:
Vẽ tia Ax hợp với AB sao cho = 100 , 
Ax cắt tia phân giác BH tại K KAH = 600
Trong AHK có = 900, = 600 nên suy ra = 300 AK = 2 AH 
 AK = AC BAK = IAC (g-c-g) AB = AI 
 BAI cân tại A có = 400 = 700 
(Đây chính là cách dựng nửa tam giác đều AHK)
* Mở rộng: Bài toán này có thể thay yêu cầu trên bằng : Chứng minh tam giác AIB cân hoặc tính số đo của góc BIC, góc IBC
Bài 7: 
Cho tam giác ABC cân tại A có = 200
Trên AB lấy điểm E sao cho = 500 
Trên AC lấy điểm D sao cho = 600
Tính số đo của 
Giải
Vẽ tamgiác đều ABF sao cho F nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B
Gọi giao điểm của BF và AC là K
Ta có = 200 ; = 400 
 = 1800 - ( + ) = 800
 CBK cân tại K BK = BC (1)
 = 1800 - ( + ) = 500
 CBE cân tại B BE = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = BK KBE cân tại B và = 600 KBE là tam giác đều BK = EK (3)
Ta có = 1800 - ( + ) = 400
BKD có = 400 nên BKD cân tại K BK = DK (4)
Từ (3) và (4) suy ra EK = DK EKD cân tại K và có
 = 1800 - ( + ) = 400 nên = 700 mà = 400 nên = 300
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại C có C = 1000 . Qua A và B lần lượt vẽ tia AL(L BC) và BK (K AC) sao cho= 300 ; = 200. Gọi M là giao điểm của AL và BK. Tính số đo của các góc ACM, BCM
Hướng dẫn: Dựng tam giác đều ADB sao cho D và C cùng thuộc nửa mp bờ AB
Chứng minh AMB = DCB để suy ra BMC cân tại B
Kết quả: = 200; = 800
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có = 800. Trên AC lấy điểm K sao cho = 100
Trên BK lấy điểm M sao cho = . Tính số đo của ;