Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Chuyên đề Số chính phương

 Chuyên đề : SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A/ MỤC TIÊU : 
- Kiến thức : HS nắm định nghĩa , tính chất về số chính phương
- Kĩ năng : Biết chứng minh một số không là số chính phương, chứng minh một số là số chính phương, tìm giá trị của biến để GT BT là một số chính phương, tìm số chính phương thoả mãn những ĐK cho trước, và các bài toán liên quan đến số chính phương.
- Thái độ : Cẩn thận , linh hoạt, chính xác khi áp dụng các phương pháp .
B/ NỘI DUNG BÀI DẠY :
TIẾT 01+ 02
I. ĐỊNH NGHĨA: Số nguyên A là số chính phương A = n2 ( với n Z )
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 .
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p2. 
VD :	Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
 	Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
 	Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
4. (a,b)=1và ab là số chính phương a, b là số chính phương.
5. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 (n N).
( Số chính phương chia cho 3 thì dư chỉ có thể 0 hoặc 1;
 tương tự chia cho 5, cho 6 ). 
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
 III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
*CÁCH NHẬN BIẾT MỘT SỐ A KHÔNG LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG :
	- a p mà a p2 ( p là số nguyên tố )
	- a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8.
	- b2 < a < (b + 1)2 , với b Z
	- Phương pháp mô đun , nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho một số nguyên nào đó.
* CÁC VÍ DỤ : 
1. Nhìn chữ số tận cùng 
Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương. 
Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 + 20032 + 20022 - 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương. 
Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa : 
Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2. 
Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương. 
Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. 
Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. 
2. Dùng tính chất của số dư 
Bài toán 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương. 
(Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9).Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải. 
Lời giải : Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (tự cm). 
Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. 
Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán : 
Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. 
Bài toán 6 : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 k0 là số ch phương. 
 Bài toán 7 : Chứng minh số :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương.
Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư 0 hoặc 1 (tự cm) Như vậy là giải xong bài toán 7. 
3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” 
Dễ thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương. 
Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. 
Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Vậy là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác. 
Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. 
Bài toán 9 : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. 
Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). 
Lời giải : Ta có : 
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. 
Mặt khác : 
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A. 
Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 A không là số chính phương. 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN : 
Bài tập 1 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2. 
Bài tập 2 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4. 
Bài tập 3 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương. 
Bài tập 4 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4. 
Bài tập 5 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho  một chục (?) 
Bài toán 6 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ? 
Chú ý : để chứng minh một số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào một trong các điều kiện cần để một số là số chính phương 
TIẾT 03+ 04
DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. 
Bài toán 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì 
an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. 
Lời giải : 
Ta có :	an 	= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, 
theo định nghĩa, an là số chính phương. 
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Lời giải : Ta có 	A 	= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 	= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 	A 	= (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài toán 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
 Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)
S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 ++ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài toán 4 : Chứng minh số : là số chính phương. 
Lời giải :
 Ta có : 
Vậy : là số chính phương. 
Bài toán 5: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; 
 Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 4448889 = 44488..8 + 1 = 444 . 10n + 8 . 111 + 1
 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
 = 4. . 10n + 8. + 1
2
 = = 
 = 
Ta thấy 2.10n +1=20001 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 
2
 n-1 chữ số 0 
 Z hay các số có dạng 4448889 là số chính phương.
Bài toán 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
 a. A = 22499910009
	n-2 chữ số 9 n chữ số 0
 b. B = 1115556
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5
A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 225.102n – 90.10n + 9
 = ( 15.10n – 3 ) 2
 A là số chính phương
b. B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 
 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
 = . 10n + 5. + 1 = 
2
 = = là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt. 
 “(a,b)=1và ab là số chính phương a, b là số chính phương”.
Bài toán 7 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 
3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n 
 4(m2 – n2) + (m - n) = m2 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) 
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d. 
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. 
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. 
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 
Bài tập 1: Chứng minh các số sau đây là số chính phương : 
	A
	 B	
Bài tập 2 : Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 
1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ? 
Bài tập 3 : Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là số chính phương. 
Bài tập 4 : Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương.
Bài tập 5 : Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương. 
Bài tập 6 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
 5.( n2+2) không là số chính phương h ... +1
 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
BT 1 : chứng minh rằng :
a) ;b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
GIẢI
a) Ta xét hiệu 
 =
 = 
 	=
 Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
 =
 Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh AB tho định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)
 Bước 3:Kết luận A ³ B
BT 2 :(chuyên Nga- Pháp 98-99)
 Chứng minh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
 Giải:
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài tập bổ xung
 BT 3 Chứng minh rằng 
a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta có 
 c) 
 Giải :
Xét hiệu H 	= 
= 
 H0 ta có điều phải chứng minh
 b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta có điều phải chứng minh
 c) vế trái có thể viết H = H 0 ta có điều phải chứng minh
BT 4 : Cho abc = 1 và . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
 Ta có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
 Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
TIẾT 03 +04
 ph­¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
L­u ý:
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau:
 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
 a) 
 b)
 c) 
 Giải: a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy 
 Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
BT 5:
 Chứng minh rằng: 
 Giải: 
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
BT6 : cho x.y =1 và x>y . Chứng minh 
Giải: 
 vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
BT 7: 	1)CM: P(x,y)= 
 	2)CM: (Gợi ý :bình phương 2 vế) 
BT 8: Choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 (đề thi Lam Sơn 96-97)
 Giải: 
 Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC
A/ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d)
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
B/ VÍ DỤ
 VÍ DỤ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
 Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 VÍ DỤ 2: (tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 
 ta có : (Bđt Cô sy) => 
 Lại có : (bđt Cô sy) 
 => (đpcm)
TIẾT 05 +06
BT 9 : Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có ; 
 Do abcd =1 nên cd = (dùng )
 Ta có (1)	 Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
 Vậy
BT 10 Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (
Ta có : ( = = 
= 8 (BĐT Cô sy) ( dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1/2 )
 BT 11 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 
Giải: Ta có = 
	 = = 
	= 
	= (Bđt cô sy)
 Vậy => (đpcm)
BT 12: Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y	
 Ta có : x,y , 
	=> 4x + y – 4 = 1 => 4x + y =1+4 
 Nên 5(x+y) 	= (4x + y ) + (x + 4y) = 1+4 + x + 4y
	= ( x+ 4+4y) + 1 = +1 1
 Vậy x + y (dấu = Không xảy ra) 
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẮC CẦU
LƯU Ý: A>B và B>C thì A>C
 0< x <1 thì x<x
VÍ DỤ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacó 
 (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd
 ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
VÍ DỤ 2:
 Cho a,b,c>0 thỏa mãn 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 
 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
VÍ DỤ 3
 Cho 0 1-a-b-c-d	
 Giải:
 Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nên ab>0
 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta có 
 (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
	=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
	(Điều phải chứng minh)
BT 13- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a < 1 và 
 Ta có 1 – a – b +ab > 0 => 1 +ab > a + b
 1+ > + b2 => 1+ a2b > a2 + b2 ( vì 0 b > b2)
 => 1+ a2b > a3 + b3 ( vì 0 a2>a3, b2> b3 )
 Hay : a3 + b3 < 1+ a2b. 
 Cminh tương tự ta được : b3 + c3 < 1+ b2c; c3 + a3 < 1+ c2a
 Cộng các bất đẳng thức ta có :
BT 14 : Chứng minh rằng : Nếu thì çac+bd ê=1998
 (Chuyên Anh –98 – 99)
 Giải:
Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
 rỏ ràng (ac+bd)2 
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤTCỦA TỶ SỐ
KIẾN THỨC
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì 
 b – Nếu thì 
 2)Nếu b,d >0 thì từ 
 VÍ DỤ :
 Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
	 < < (3)
 Tương tự ta có 
 	 (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
BT 15 :
 Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
TIẾT 07 +08
PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁPLÀM TRỘI
LƯU Ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
 P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
 = Khi đó P = 
 VÍ DỤ 1 :
 Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó:
 VÍ DỤ 2 : Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyên
 Giải :
Ta có 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 VÍ DỤ 3 :
 Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
PHƯƠNG PHÁP 7: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LƯU Ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
VÍ DỤ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 Þ 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0
 b > êa-c ï	Þ > 0
 c > êa-b ï	Þ 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
VÍ DỤ2: 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 	Chứng minh rằng 
 	 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 	Chứng minh rằng 
PHƯƠNG PHÁP 8: ĐỔI BIẾN SỐ
VÍ DỤ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 VÍ DỤ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1
Chứng minh rằng (1)
Giải: Đặt x = ; y = ; z = 
 	Ta có 
 	(1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 3. 
	3. .
 	 Mà x+y+z < 1
 	Vậy (đpcm)
VÍ DỤ3: Cho x , y thỏa mãn CMR 
 Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 
thay vào tính S min
 Bài tập 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR 
TIẾT 09 +10
PHƯƠNG PHÁP 10: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
KIẾN THỨC:
 Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k
	 (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
VÍ DỤ1: Chứng minh rằng 
 (1)
 Giải : Với n =2 ta có (đúng)
 Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
 BĐT (1) đúng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 	 k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .
	Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
VÍ DỤ2: Cho và a+b> 0. Chứng minh rằng (1)
Giải
Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có 
 (1) (2)
 Vế trái (2) 
 (3)
 Ta chứng minh (3)
 (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
PHƯƠNG PHÁP 11: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
 LƯU Ý:
 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K”
 phép toán mệnh đề cho ta :
 Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : 
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
 VÍ DỤ 1:
 Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
 Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 Giải :
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0
 Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 VÍ DỤ 2:
 Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
VÍ DỤ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
 =x + y + z – () vì xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1