Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 9 - Chuyên đề: Phương pháp đại số trong giải bài tập hình học - Tạ Phạm Hải

Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 9 :
Phương pháp đại số trong giải bài tập hình học
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng Hà - Thái Bình
A.Các ví dụ hình thành phương pháp :
Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông có chu vi bằng 72 cm ; Hiệu giữa trung tuyến và đường cao tương ứng với cạnh huyền bằng 7 cm. Tính diện tích tam giác .
Giải :
Đặt AM = x ( cm ) , x > 7 ị BC = 2x và AH = x – 7 .
Ta có SABC = x( x – 7) . áp dụng định lí Pitago ta có : AB2 + AC2 = 4x2
Hay ( AB + AC )2 – 2.AB.AC = 4x2 (1)
 Ta có : AB + AC = 72 – 2x ; 2.AB.AC = 4SABC = 4x(x – 7) ,thay vào (1) ta được phương trình : ( 72 – 2x)2 – 4x( x – 7) = 4x2 
Û x2 + 65x – 1296 = 0 Û x2 – 16x + 81x – 1296 = 0 
Û x( x – 16) + 81( x – 16) = 0 Û ( x – 16)( x + 81) = 0
Û x = 16 hoặc x = – 81 ( loại ).
từ đó AH = 16 – 7 = 9 và BC = 16.2 = 32 và SABC = 9.16 = 144 cm2
Nhận xét : Bài tập trên là bài tập hình học hay bài tập đại số ? Rõ ràng hàm lượng biến đổi đại số trong lời giải lấn át yếu tố hình học nên cũng có thể gọi là bài tập đại số . Nhưng , dù là bài tập loại gì thì cũng gợi cho ta một cách nhìn khác về lời giải các bài tập hình : Lời giải kiểu đại số ! Ta hãy xét thêm các ví dụ sau
Ví dụ 2 : Chứng minh công thức Hê rông trong tính diện tích S của tam giác : Cho a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác , Đặt a + b + c = 2P thì ta có .
Giải :
Đặt HC = x thì BH = a – x .
áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông phù hợp ta có : h2 = b2 – x2 = c2 – ( a – x)2 
Û b2 – x2 = c2 – a2 + 2ax – x2 Û .
Thay x vào tính h ta được h2 = b2 – 
h2 = 
Û h2 = 
Û h2 = [( c + a – b)( c – a + b)( c + a + b)( a + b – c) ] : 4a2 , thay a + b + c = 2P vào ta có :
Û h2 = [( 2P – 2b)(2P – 2a)(2P – 2c).2P ] : 4a2 = [16P( P – a)( P – b)( P – c) ] : 4a2 
Û Û đpcm.
Ví dụ 3 : Cho ∆ABC vuông tại A , Các phân giác BD và AE cắt nhau ở I . Cho biết BI = 10 cm , DI = 5 cm . Tính diện tích S của tam giác đã cho .
 	Giải :
Đặt AD = x , DC = y , áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ADB , phân giác AI , suy ra AB = 2x và ∆ABC , phân giác BD ta có :
 . Vậy BC = 2y.
áp dụng định lí Pitago cho ∆VABD và ∆VABC , ta có :
Ta tính được thay vào tính y ta tính được . Khi đó 
 cm2
Ví dụ 4 : Cho ngũ giác đều ABCDE các đường chéo của ngũ giác này cắt nhau tạo thành ngũ giác đều MNHIK . Chứng minh rằng tỷ số diện tích của ngũ giác MNHIK và ABCDE là một hằng số 
Giải :
Nội tiếp ngũ giác đều ABCDE vào trong đường tròn tâm O ta dễ dàng chứng minh được ∆ABN và ∆BMN là các tam giác cân đồng dạng .Trong đó BN = BM ; AB = AN.
Đặt AB = a ; MN = x , ta có 
Û ax = a2 – 2ax + x2 Û x2 – 3ax + a2 = 0 , ∆ = 5a2 > 0 phương trình có hai nghiệm là :
 , vì x < a nên chỉ chọn x1.
Khi đó : ị đpcm.
Ví dụ 5 : Tìm cạnh thứ 3 của một tam giác biết hai cạnh kia là a và b và các trung tuyến ứng với hai cạnh a và b cắt nhau dưới một góc vuông . Với điều kiện nào của tỷ số a / b thì loại tam giác như trên tồn tại ?
Giải :
Giải :
1)Đặt GN = x ị BG = 2x ; GM = y ịAG = 2y Xét ∆VAGN : 4y2 + x2 = b2/ 4 ( Pitago)
Xét ∆VBGM : 4x2 + y2 = a2/ 4 ( Pitago )
ị 5x2 + 5y2 = ( a2 + b2 ) / 4 ị x2 + y2 = ( a2 + b2) / 20 . Xét ∆VAGB : 4x2 + 4y2 = c2 nên x2 + y2 = c2 / 4 . Vậy c2/ 4 = ( a2 + b2) / 20. từ đó c2 = ( a2 + b2) / 5 . Từ đó khai phương ta được 
Điều kiện tồn tại của loại tam giác này là 
Vì 4( a2 + b2) + 10ab > 0 luôn đúng nên chỉ cần xét 4( a2 + b2 ) – 10 ab < 0 (*) .
(*) Û 2a2 + 2b2 – 5ab < 0 Û . Đặt a / b = k ta có bất phương trình 
2k2 – 5k + 2 < 0 Û 
Û từ đó ta có kết quả của bài tập.
Ví dụ 6 : Tính các góc B và C của ∆ABC vuông tại A biết tỷ số giữa bán kính của đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác này bằng 
Giải tóm tắt : 
Theo đinh lí Pitago ta có : b2 + c2 = a2 Û . Mặt khác dễ c/m được b + c – a = 2r Û 
Đặt : và , Ta có hệ phương trình :
Khi dó x , y là các nghiệm của phương trình bậc hai : 
Giải phương trình này ta được các nghiệm là suy ra hệ trên có hai nghiệm , và từ đó tính được hoặc .
Ví dụ 7 : Cho ∆ABC và một hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB , AC và hai đỉnh còn lại nằm trên đáy BC . Trong tất cả những hình chữ nhật như vậy , hãy tìm hình chữ nhất có diện tích lớn nhất .
Giải tóm tắt :
Giả sử hình chữ nhật đó là MNPQ ( xem hình ). Ta đặt MQ = x ; MN = y , AH = h ; BC = a ị h và a là các hằng số
Ta có : SABC = SAMN + SBMQ + SCNP + SMNPQ
Û ah = y( h – x) + x( a – y) + 2xy
Û ah = yh – xy + ax – xy + 2xy = yh + ax Û yh = ah – ax 
Û .Khi đó SMNPQ= xy
. Dấu bằng xảy ra khi x = h/2
Vậy MaxSMNPQ = ah/4 khi MN là đường trung bình của ∆ABC .
Ví dụ 8 : Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho AB = 14 cm , BC = 28 cm . Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ AC các nửa đường tròn tâm I , K , O có đường kính thứ tự là AB , BC , AC . Tính bán kính đường tròn tâm M Tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn (I) ; (K) và tiếp xúc trong với nửa đường tròn (O).
Giải tóm tắt:
....
Đặt bán kính (M) là x , HI = y ta có : 
MK = 14 + x , MI = 7 + x ; MO = 21 – x ; IK = 21
OH = 21 – ( 7 + y) ; KH = 21 – y 
Gọi H là hình chiếu của M trên AC , áp dụng định lí Pitago ta có : 
Û ( 21 – x )2 – [ 21 – ( 7 + y)]2 = ( 14 + x)2 – ( 21 – y)2
 ( 14 + x)2 – ( 21 – y)2 = ( 7 + x)2 – y2 
Û 245 – 70x = 14y – 245 Û x = 6 
	14x + 147 = 441 – 42y 
	Đáp số bán kính đường tròn (M) bằng 6 cm
Ví dụ 8 : Cho ∆ABC có diện tích bằng S .
1.Chứng minh rằng nếu có điểm M trong tam giác sao cho MA = 1 , MB = MC = 6 thì S2 Ê 500 .
2.Điểm M có đặc điểm gì khi S2 = 500 ?
Giải tóm tắt :
Gọi K là trung điểm của BC và vẽ đường cao AH của ∆ABC , thì M thuộc trung trực của BC . Gọi I là hình chiếu của M trên AH và trên tia đối của tia MK lấy điểm D sao cho MD = MA .Ta có :
MD ³ AI nên SDBC ³ S ( vì tứ giác MIHK là hình chữ nhật ) .Đặt HI = MK = x ta có : 
BK = và DK = x + 1 . Khi đó 
SDBC = DK.BK = (x + 1) với x < 6
Đặt SDBC = S1 thì : 
S12 = ( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) . Ta chứng minh ( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) Ê 500 với mọi x < 6 là bài toán xong . Thật vậy :
( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) Ê 500
Û – x4 – 2x3 + 35x2 + 72x – 464 Ê 0
Û – x4 + 4x3 – 6x3+ 24x2 + 11x2 – 44x + 116x – 464 Ê 0
Û – x3( x – 4) – 6x2( x – 4) + 11x( x – 4) + 116( x – 4) Ê 0
Û – ( x – 4)( x3 + 6x2 – 11x – 116) Ê 0
Û – ( x – 4)( x3 – 4x2 + 10x2 – 40x + 29x – 116) Ê 0
Û – ( x – 4)[x2( x – 4) + 10x( x – 4) + 29( x – 4)] Ê 0
Û – ( x – 4)2( x2 – 10x + 25 + 4 ) Ê 0 
Û – ( x – 4)2[ ( x – 5)2 + 4 ] Ê 0 đúng 
Vậy S Ê S1 Ê 500 đúng đpcm. 
Từ câu 1 , dấu bằng xảy ra khi AD = AM = AH = 1 và MK = IH = 4Û A trùng D hay ∆ABC cân tại A và M nằm trên đường cao AH sao cho MA = 1 ; MH = 4 ị AH = 5 , MB = MC = 6 . Khi đó BK = BH = .
S2 = ( BH.AH )2 = đúng.
Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N , ta có ị . Khi đó MN2 = MH2 + NH2 = 42 + ; MC2 = 62 ị MN2 + MC2 = 16 + 36 + = 
Lại có : CN2 = ( NH + HC )2 = . Vậy MN2 + MC2 = NC2 nên tam giác MNC vuông tại M Û CM ^ MN Û CM ^ AB Û M là trực tâm của ∆ABC .
Vài lời bàn về cách giải các ví dụ trên :
 Từ cách giải trên ta thấy việc tính toán , chứng minh của bài tập hình học được đưa về việc giải quyết bài tập đại số và cho ta lời giải đẹp , bất ngờ .
	Để giải bài tập hình theo phương pháp đại số này ta cũng cần các bước như sau :
Chọn ẩn số ( có thể 1 hoặc 2 ẩn số )
Dùng ẩn số và những yếu tố hình học đã cho biểu diễn các đại lượng hình học chưa biết khác 
Dựa vào các mối quan hệ hình học để lập phương trình hoặc hệ phương trình
Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập từ đó dễ dàng giải quyết phần còn lại của bài toán .
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Cho ∆ABC vuông tại A , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Nếu AB = 5 cm ; IC = 6cm , thì BC = ?
Nếu IB2 = 5 cm , IC2 = 10 cm , thì chu vi của ∆ABC bằng bao nhiêu ?
Bài 2 : Cho ∆ABC cân tại A ; I là tâm đường tròn nội tiếp. Biết . Tính AB 
Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại C và góc A nhỏ hơn góc B . Gọi I ; O thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác và cho biết ∆BIO cũng là tam giác vuông .
	Chứng minh : BC : AC : AB = 3 : 4 : 5 
	( Trích đề thi HSG toán 9 toàn quốc 1993 – 1994 )
Bài 4 : Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Kẻ 3 tiếp tuyến tương ứng song song với 3 cạnh của tam giác tạo thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1 , S2 , S3 . Gọi diện tích của ∆ABC là S . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 5 : Cho ∆ABC , I là giao điểm các phân giác trong AD và BE của am giác . Cho biết :
	. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?