Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 8 - Chuyên đề Kỹ thuật điểm rơi điểm rơi của bất đẳng thức cô si - Lương Hiền An

 KỶ THUẬT ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
Bài 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x + y + z = 1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
Giải: 
a. Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x = y = z = 1/3. Nên ta có như sau:
 (dấu = xảy ra khi )
Như vậy ta áp dụng như sau: 
cộng dồn lại rồi suy ra.
b. Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra
 x = y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:
 (dấu = xảy ra khi )
 (dấu = xảy ra khi )
 (dấu = xảy ra khi )
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện
 x + y + z. Nên ta có 
 => (*)
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) ta sẽ tìm được các biệt số phụ 
c. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:
 (dấu = xảy ra tại )
 (dấu = xảy ra tại )
 (dấu = xảy ra tại )
Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x + y + z
Vậy ta suy ra dễ dàng: (*)
Đồng thời với dấu = xảy ra và đk (*) tacó thể tìm được biệt số.
d. Nếu khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó và mất thời gian nhiều. Ta làm như sau:
 như vậy ta chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.
Bài 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị lớn nhất:
 a.
 b. 
 c. 
 d. 
Giải:
Những bài này ta có chung một hương giải quyết :
a.1 = a + b, 1 = c + d, 2 = e + f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)
Ta có:
 dấu = xảy ra khi: 
Suy ra: 
Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy + yz + zx. 
Nên khi đó: 
Như vậy ta được hệ phương trình sau: 
Xét biểu thức:
Với 
Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây ta có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà không cần phải giải a,b,c,d,e,f. 
Bài 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: