Bài tập Chuyên đề Toán Lớp 8 - Lê Hoàng Vân - Trường THCS Cẩm Sơn

Chuyên đề 
Phân tích đa thức thành nhân tử
Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thành công
 Phân tích thành nhân tử là một phần rất quan trọng .Rút gọn phân thức,quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ,..đều có thể cần Phân tích thành nhân tử .Đặc biệt Phân tích thành nhân tử chính là Viết thành tích đấy .
 Các em hãy chăm chỉ Viết thành tích nhé!Chúc các em thành công!
 -Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta Đặt nhân tử chung trước .Sau đó:
-Nếu đa thức có 2 hạng tử ta dùng HĐT3,6,7Thêm bớt
-Nếu đa thức có 3 hạng tử ta dùng HĐT1,2Tách,Thêm bớt
-Nếu đa thức có 4 hạng tử ta dùng HĐT4,5Nhóm
-Nếu đa thức có 5 hạng tử trở lên thị thường nhóm và tách
-Nếu đa thức 1 biến có bậc 3 trở lên thì có thể Nhẩm nghiệm
-Nếu đa thức Phức tạp thì nghĩ tới Đổi biến
Bài 1 Rút gọn các phân thức sau:
a) b) c) 	d) e) g) h*) k*) 
Bài 2 Thực hiện các phép tính sau:
a) + b) 
c) d) 
Bài 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - y2 - 2x + 2y 
c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 
e) a2 + 2ab + b2 - ac – bc
g) x2y - x3 - 9y + 9x 
k) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 
m) 9x2 + 6x - 575
p) 81x4 + 4 
s*) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x +15) + 15 u*) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - 4
i*) 
b)2x + 2y - x2 - xy 
d)x2 - 25 + y2 + 2xy 
f)x2 - 2x - 4y2 - 4y 
h)x2(x-1) + 16(1- x) 
l) 36(x-2)2 -49(2x+3)2 
n) x2 - x - 12 
r*) (x2 + x)2- 2(x2+ x) – 15 
t*) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 120
v*) (x2 -7x + 12 )(x2 -11x +30) + 1 
q*) 
Chuyên đề 
Một số ứng dụng của hằng đẳng thức
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
7 Hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng .Ngoài việc có thể dùng để tính tích, bình phương ,lập phương,phân tích thành nhân tử nó còn giúp ta tìm Max , min,tính giá trị của một đa thức đối xứng 2 biến khi biết tổng(hoặc hiệu) và tích của 2 biến,rút gọn những biểu thức phức tạp...
Các em hãy tích cực tìm hiểu để 7 HĐT thực sự là Những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ nhé !
Bài1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(nếu có) của 
A= E =(x+1) D= 
B=4x G =2(x-3) K =-x2+2x-9
C=-25x H =(2x-3) 
Bài2 Cho x+y = 5 ; xy=1 (Điều kiện x+y=5 có thể thành x=5-y) Tính 
a) g) n)x
b)x(x+3y)-y(5x-y) h) p)x
c)(x+7y)(y+7x) k) q)
d)(2x-3y)(2y-3x) l) r) 
e) m) s) 
Gợi ý :Biến đổi về dạng toàn x+y, xy.Nếu tính Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra.
Bài3Cho x ; x
a)Tìm min của A=x b)Tìm max của B=1-x
c)Tìm số p lớn nhất sao cho C=(x
d)Tìm số q nhỏ nhất sao cho D=(x
Gợi ý Bài 3 là kết hợp của bài 1 và bài 2 .Các em làm tương tự bài 2 để đưa biểu thức về biến là m rồi làm tương tự bài 1.Phần c chính là tìm giá trị nhỏ nhất ,phần d là Max
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: Gợi ý :Nhìn kỹ thì chỉ là HĐT 1,2,3 
(3x-1)2 + 2(3x-1)( 7-2x) +(2x-7)2 
(8x-5)2 -(16x-10)( 4x+3) +(4x+3)2 
3.5(24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1) (24+1)
1002-992+982-972+962-952+...+22-12
Bài 5: Cho : Tính
a) b) c) d) 
Gợi ý :Tương tự bài 2: vì x. = 1
Bài 6: Cho : Tính
a) b) c) d) 
Chuyên đề 
Biểu thức hửu tỷ
Khát vọng vươn lên phía trước là mục đích của cuộc sống
I-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Mẫu 0 , biểu thức chia 0
2)Rút gọn biểu thức 
 -Nếu biểu thức chứa các phân thức chưa rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trước
 -Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trước khi
 -Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu “-“ , 
 - Một số bài toán như : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức 
 -Cần rút gọn biểu thức trước.
 -Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
 -Cần rút gọn biểu thức trước
 -Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
II bài tập (Sau khi rút gọn các em có thể tự cho thêm yêu cầu khác)
Đề bài
kết quả
A=
C
F=
K = 
S = 
T=
A=
1
x-y+xy
-1
-1
2b
-8
-1
1
-5xy
K = 
Chuyên đề: bất đẳng thức
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
BT1: CMR với mọi a; b dương, ta có: . Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT2: CMR với mọi a; b; c; d dương , ta có: . Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT3 CMR với mọi a; b; c; d dương , ta có: 
BT4 CMR với mọi a; b; c dương , ta có: 
BT5 CMR với mọi a; b; c dương , ta có: 
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có: 
ab + bc + ca 
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1
 CMR: 
BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 
 CMR: 
BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 . CMR:
 a) b) c) 
BT10 Cho . CMR: 
Dạng 2: Sử dụng hằng BĐT để chứng minh BĐT
BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có: 
 (BĐT Cô-si)
BT2: CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có: 
 a) b) 
BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có: 
BT4 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có: 
 ( BĐT Nes – bit)
HD: áp dụng BĐT BT3, ta có:
BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có: 
 (BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d và c > 0, d > 0 ta có: 
BT7 Chứng minh rằng
 Với mọi số thực a + b và m, n nguyên dương, ta có:
HD: 
Do a, b có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử (1)
Theo bài: a + b a - b (2)
Từ (1) và (2): 
Ta suy ra: 
, BĐT được chứng minh.
BT8 Cho a + b . Chứng minh rằng:
 (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9) 
HD:
Theo bài: a + b , áp dụng BĐT BT7:
Ta có: 
 (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9) 
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:
BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
BT11: Chứng minh rằng: nếu ad – bc = 1 thì 
BT12: Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng 
BT13: Cho . Chứng minh rằng: 
BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: 
BT15: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 
BT16: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng: 
 a) b) 
BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
 a) b) 
BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dương, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc 
 b) Với mọi a, b, c ta có: 
BT20: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
 a) 	b) 	c)
BT21: a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng: 
 b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c 16abc
 c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng: 
Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số. 
* Phương pháp: 
- Ta đưa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trường hợp:
+ TH1: A2 + k k, (giá trị nhỏ nhất là k).
+ TH2: - A2 + k k, (giá trị lớn nhất là k).
- Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra.
BT1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 P = (x + 1)2 + (x - 3)2 
HD: Ta có: P = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) 
 = 2x2 – 4x + 10 
 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 
 = 2(x – 1)2 + 8
 Vì (x – 1)2 0 với mọi giá trị của x .
 P = 2(x – 1)2 + 8 8. Đẳng thức xảy ra x – 1 = 0 x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 x = 1.
BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 P = x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6zx – 4xy
HD: P 
 P 0 với mọi giá trị của x, y, z
Đẳng thức xảy ra x = y = z = 0. Vậy GTNN của P = 0 x = y = z = 0
BT3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Q = x2 + 2y2 + 3z2 – 2xy + 2zx – 2x – 2y – 8z + 2007
HD: 
Ta có: (x – y + z – 1)2 0, (y + z – 2)2 0, (z – 1)2 0 với mọi x, y, z.
 Q 2001. Đẳng thức xảy ra x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001 x = y = 1.
BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 P = (x + 2005)2 + (y + 2006)2 + (z + 2007)2 
BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Q = (x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2, với a, b, c là các hằng số.
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1.
 Tìm GTNN của biêu thức A = x3 + y3 + x2 + y2
BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3.
 Tìm GTNN của biêu thức B = x2 + 2y2
BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d .
 Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)
BT10: Tìm GTNN của biểu thức D = 
 biết = 2007 và là các hằng số.
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)2007 + (y + b)2007 + (z + c)2007
 biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số.
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G = , với x > 0.
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H = với x > 0, y > 0.
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất.
HD:
	Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S’, diện tích (ABC) = S. Ta cần tìm GTLN của S’. Ta kẻ AK BC, AK cắt EM ở H. Ta có: 
S’ = EM . HK, S = BC . AK, nên: 
Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có: (định lí Talet)
. áp dụng BĐT hay (a + b)2 4ab
. Vậy GTLN của S’ = S. Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó M là trung điểm của AC.
BT2: Cho hbh BEMF. Dựng đường thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
HD: Xét 
BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đường chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì ABE có diện tích lớn nhất.
HD:
Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S’. Đặt dt(CEB) = S1, dt(AED) = S2. Trước hết ta CM: . Thật vậy: (1)
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số theo x và y.
Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S.
Ta có: ACK đồng dạng với CEB và AED nên: 
 và (2)
Từ (1) và (2), ta có: 
Tiếp tục áp dụng BĐT , ta có: 
. Do đó: GTLN của S’ S. Đẳng thức xảy ra x = y
hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành.
BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi nào thì hai hình có diện tích bằng nhau?
BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? 
BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao?
BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền như nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT9: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
BT10: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 với mọi n N
BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 mọi n N
PHầN hìNH họC
Bài 1 Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đường cao AD và BE gặp nhau ở H.
a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH.
b.Tính độ dài HD, BH
c.Tính độ dài HE
Bài 2. Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên BC.Chứng minh rằng: 
a.BH.BD = BK.BC
b.CH.CE = CK.CB
Bài 3. Cho hình thang cân MNPQ (MN //PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đường cao NI = 12cm, QI = 16 cm.
a) Tính IP.
b) Chứng minh: QN ^ NP.
c) Tính diện tích hình thang MNPQ.
d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh: KN2 = KP . KQ
 Bài4. Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH.
a) Chứng minh: DHBA đồng dạng với DABC.
b) Tính BC, AH.
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
d) Tính AE.
e) Tính diện tích tứ giác ABCE.
Bài5.Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Từ B kẻ tia Bx ^ AB, tia Bx cắt tia AH tại K.
a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao?
b) Chứng minh: DABK đồng dạng với DCHA. Từ đó suy ra: AB . AC = AK . CH
c) Chứng minh: AH2 = HB . HC
d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH.
Bài6.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: DHAE đồng dạng với DHBF.
c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB
d) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
Bài7Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N sao cho gócAMN = gócACB.
a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DANM.
b) Tính NC.
c) Từ C kẻ một đường thẳng song song với AB cắt MN tại K. Tính tỉ số .
Bài8.Cho DABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm.
a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DCBD.
b) Tính CD.
c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD
Bài9.Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đường cao AH. 
Biết BH = 4cm, CH = 9cm.
a) Chứng minh: AB2 = BH . BC
b) Tính AB, AC.
c) Đường phân giác BD cắt AH tại E (D ẻ AC). Tính và chứng minh: .
Bài10.Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh:
a) DBEF đồng dạng với DDEA.
 DDGE đồng dạng với DBAE.
b) AE2 = EF . EG
c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
Bài11.Cho DABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE ở G.
a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DCEG.
b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE
c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC2 = HE . HA
Bài12.Cho DABC cân tại A (góc A < 90o). Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: DBEC đồng dạng với DBDA.
b) Chứng minh: DDHC đồng dạng với DDCA. Từ đó suy ra: DC2 = DH . DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC.