Bài soạn môn Đại số lớp 8 - Một số cách tính tổng nhiều số hạng

MỘT SỐ CÁCH TÍNH TỔNG NHIỀU SỐ HẠNG
===*===
Bài toán 1: Tính các tổng sau
a)S1= 1.2+2.3+3.4+4.5+.+n(n+1)
b)S2=1.2.3+2.3.4+3.4.5+.+n(n+1)(n+2)
Giải:
a) S1= ?
Xét S1’= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+..+n(n+1)(n+2) suy ra:
S1’-3S1=1.2.3+2.3.4+..+(n-1)n(n+1)= S1’-n(n+1)(n+2) như vậy ta có:
 3S1= n(n+1)(n+2) 
b) S2=?
Xét S2’=1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+..+n(n+1)(n+2)(n+3) suy ra :
 S2’-4S2= 1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6++(n-1)n(n+1)(n+2)=S2’-n(n+1)(n+2)(n+3) như vậy ta có :
 4S2= n(n+1)(n+2)(n+3)
*Nhận xét:
-Nối dài thêm một thừa số liên tiếp của tích được tổng mới
-Nhân số lần bằng đúng số thừa số của tích của tổng mới vừa lập được vào tổng đã cho
-Trừ tổng mới với tổng đã cho đã nhân số lần thì tổng mới bị hụt đi một số hạng từ đó suy ra tổng đã cho
Từ đó ta đi đến bài toán tổng quát hơn như sau:
Bài toán 2: Tính tổng
 S= 1.2.3(n-2)(n-1)+2.3.4(n-1)n +3.4.5n(n+1)+..+n(n+1)(n+2).(n+n-3)(n+n-2) 
Xét S’=1.2.3..(n-1)n+ 2.3.4n(n+1) +3.4.5(n+1)(n+2)+.+n(n+1)(n+2)(2n-2)(2n-1)
Suy ra:
 S’-nS= S’-n(n+1)(n+2)(2n-2)(2n-1) 
Bài toán 3:	Tính tổng
a) S0=1+2+3++(n-1)+n
b) S1= 12+22+32+.+(n-1)2+n2
c)S2= 13+23+33+.+(n-1)3+ n3
d) S3=14+24+34+.+(n-1)4+n4
Giải:
a) S0=
b) xét S’=S1+S0= 1.2+2.3+3.4+..+n(n+1)=(câu a BT1)
Suy ra : S1=-=
c) Xét S’=S2-S0= 1.2.3+2.3.4+.+(n-1)n(n+1)=
Suy ra : S2=+=
d) Xét S’= S3-S0= 2.3.3+3.4.7+4.5.13+.+n(n+1)(n2-n+1)
Ta xét :
 n(n+1)(n2-n+1)=n(n+1)n2-(n-1)n(n+1)=(n-2)n(n+1)(n+2) +4n(n+1) -(n-1)n(n+1)
=(n-1)n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n+2) +4n(n+1) -(n-1)n(n+1)
Như vậy:
S3-S0=
+