270 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi và năng khiếu Toán THCS

270 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi và năng khiếu Toán THCS

1. Chứng minh là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.

4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .

 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số d¬ương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)

Giải Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a b)2(a + b) 0.

8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a

 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

Giai a) Xét hiệu : (a + 1)2 - 4a = a2 + 2a + 1 - 4a = a2 - 2a + 1

=(a - 1)2 0.

b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dư¬ơng, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8.

 

doc 53 trang Người đăng tuvy2007 Lượt xem 537Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "270 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi và năng khiếu Toán THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
Giải Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a b)2(a + b) 0.
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
Giai a) Xét hiệu : (a + 1)2 - 4a = a2 + 2a + 1 - 4a = a2 - 2a + 1 
=(a - 1)2 0.
b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8.
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
	a) (a + b)2 2(a2 + b2)	b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 
Giải a) Ta có : (a + b)2 + (a -b)2 = 2(a2 + b2). Do (a- b)2 0, nên
 (a + b) 2 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a -b)2 + (a -c)2 + (b -c)2. Khai triển và rút gọn, ta đợc : 
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
	a) | 2x 3 | = | 1 x |	b) x2 4x 5	c) 2x(2x 1) 2x 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
	x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
	a) 	b) 
	c) 	d) 
18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhng nhỏ hơn 
19. Giải phương trình : .
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
21. Cho .
 Hãy so sánh S và .
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ.
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :
a) 	
b) 
c) .
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : 
a) 	
b) với m, n là các số hữu tỉ, n 0.
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .
27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng : .
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 2(a2 + b2)	
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2.
31. Chứng minh rằng : .
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : 
a) ab và là số vô tỉ.	
b) a + b và là số hữu tỉ (a + b 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 
39. Chứng minh rằng bằng hoặc 
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu = ” xảy ra khi nào ?
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : .
 c) Giải phương trình : 
43. Giải phương trình : .
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
45. Giải phương trình : 
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
48. So sánh : a) ; b) 
	c) (n là số nguyên dương)
49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : .
50. Tính : 
 (n > 1)
51. Rút gọn biểu thức : .
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
54. Giải các phương trình sau :
55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: .
56. Rút gọn các biểu thức :
57. Chứng minh rằng .
58. Rút gọn các biểu thức :
.59. So sánh : 
60. Cho biểu thức : 
Tìm tập xác định của biểu thức A.
Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : 
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chứng minh đẳng thức : 
63. Giải bất phương trình : .
64. Tìm x sao cho : .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
	x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: .
67. Cho biểu thức : .
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - | + | y 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : 
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 
75. Hãy so sánh hai số : ; 
76. So sánh và số 0.
77. Rút gọn biểu thức : .
78. Cho . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : .
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : với a, b > 0 và a + b 1.
82. CMR trong các số có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : .
84. Cho , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n.
86. Chứng minh : (a, b 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác.
88. Rút gọn : a) b) 
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : . Khi nào có đẳng thức ?
90. Tính : bằng hai cách.
91. So sánh : a) 
92. Tính : .
93. Giải phương trình : .
94. Chứng minh rằng ta luôn có : ; "n Î Z+
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì .
96. Rút gọn biểu thức : A = .
97. Chứng minh các đẳng thức sau : 	(a, b > 0 ; a b)
 (a > 0).
98. Tính : .
	 .
99. So sánh : 
100. Cho hằng đẳng thức : 
 (a, b > 0 và a2 b > 0).
Áp dụng kết quả để rút gọn : 
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
với 	(a > 1 ; b > 1)
 với .
102. Cho biểu thức 
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức .
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
105. Rút gọn biểu thức : , bằng ba cách ?
106. Rút gọn các biểu thức sau : 
.
107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b 0 ; a 
a) b) 
108. Rút gọn biểu thức : 
109. Tìm x và y sao cho : 
110. Chứng minh bất đẳng thức : .
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : .
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :
.
113. CM : 
 với a, b, c, d > 0.
114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : .
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : .
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y 
biết 2x2 + 3y2 = 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + .
118. Giải phương trình : 
119. Giải phương trình : 
120. Giải phương trình : 
121. Giải phương trình : 
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 
123. Chứng minh .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
	 với a, b, c > 0.
125. Chứng minh với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập đợc thành một tam giác.
127. Chứng minh với a, b 0.
128. Chứng minh với a, b, c > 0.
129. Cho . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
131. Tìm GTNN, GTLN của .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
133. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
134. Tìm GTNN, GTLN của : 
135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn 
 (a và b là hằng số dương).
136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
137. Tìm GTNN của với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
138. Tìm GTNN của biết x, y, z > 0 , .
139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) với a, b > 0 , a + b 1
b) 
 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
141. Tìm GTNN của với b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0.
142. Giải các phương trình sau :
.
143. Rút gọn biểu thức : .
144. Chứng minh rằng, "n Î Z+ , ta luôn có : .
145. Trục căn thức ở mẫu : .
146. Tính : 147. Cho . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
148. Cho . b có phải là số tự nhiên không ?
149. Giải các phương trình sau :
150. Tính giá trị của biểu thức : 
151. Rút gọn : .
152. Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn P.	b) P có phải là số hữu tỉ không ?
153. Tính : .
154. Chứng minh : .
155. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000.
156. Chứng minh : (a 3)
157. Chứng minh : (x 0)
158. Tìm giá trị lớn nhất của , biết x + y = 4.
159. Tính giá trị của biểu thức sau với .
160. Chứng minh các đẳng thức sau :
161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
162. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra:
163. Trục căn thức ở mẫu : .
164. Cho . 
 Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chứng minh bất đẳng thức sau : .
166. Tính giá trị của biểu thức : với .
167. Giải phương trình : .
168. Giải bất các pt : a) .
169. Rút gọn các biểu thức sau :
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức .
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của với 0 < x < 1.
172. Tìm GTLN của : biết x + y = 4 ; b) 
173. Cho . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN, GTLN của : .
175. Tìm giá trị lớn nhất của .
176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y 0 ; x2 + y2 = 1.
178. Tìm GTNN, GTLN của biết .
179. Giải phương trình : .
180. Giải phương trình : .
181. CMR, "n Î Z+ , ta có : .
182. Cho . Hãy so sánh A và 1,999.
183. Cho 3 số x, y và là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số đều là số hữu tỉ
184. Cho . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
185. Rút gọn biểu thức : . 
 (a > 0 ; a 1)
186. Chứng minh : . (a > 0 ; a 1) 
187. Rút gọn : (0 < x < 2)
188. Rút gọn : 
 ... nhiên.
 có sáu nghiệm tự nhiên.
Tổng quát : có 2k nghiệm tự nhiên. Thật vậy, bất đẳng thức tơng đơng với : k2 k + < x < k2 + k + . Rõ ràng bất phơng trình này có 2k nghiệm tự nhiên là : k2 k + 1 ; k2 k + 2 ; ; k2 + k. Do đó :
.
223. Giải tơng tự bài 24.
a) 1 < an < 2. Vậy [ an ] = 1.	b) 2 an 3. Vậy [ an ] = 2.
c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116.
a1 = = 44 < a1 < 45.
Hãy chứng tỏ với n 2 thì 45 < an < 46. 
Nh vậy với n = 1 thì [ an ] = 44, với n 2 thì [ an ] = 45.
224. Cần tìm số tự nhiên B sao cho B A < B + 1. Làm giảm và làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp.
Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 Þ 4n + 1 < < 4n + 2
Þ 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4
Þ (2n + 1)2 < 4n2 + < (2n + 2)2.
Lấy căn bậc hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. Vậy [ A ] = 2n + 1.
225. Để chứng minh bài toán, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1).
x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2 (2).
Ta chọn y = . Ta có 0 < < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) đợc chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2. Ta có :
.
Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = 5 + 2 , b = 5 - 2.
Sn = (5 + 2)n = (5 - 2)n
A và b có tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X2 -10X + 1 = 0, tức là : a2 = 10a 1 (3) ; b2 = 10b 1 (4).
Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn.
Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn),
tức là Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10)
Do đó Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5)
Ta có S0 = (5 + 2)0 + (5 - 2)0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2) + (5 - 2) = 10.
Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 , , S100 có tận cùng bằng 2, tức là tổng x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
226. Biến đổi .
 Phần nguyên của nó có chữ số tận cùng bằng 9.
(Giải tương tự bài 36)
227. Ta có :
Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9 số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, các số thuộc nhóm 4 bằng 4.
Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70
228. a) Xét 0 x 3. Viết A dới dạng : A = 4.. .(3 x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm , , (3 x) ta đợc : ..(3 x) .
Do đó A 4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận :
.
229. a) Lập phơng hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc :
 Û x = - 1 ; x = 7 (thỏa)
b) Điều kiện : x - 1 (1). Đặt . Khi đó x 2 = y2 ; x + 1 = z2 
nên z2 y3 = 3. Phương trình đã cho được đa về hệ :
Rút z từ (2) : z = 3 y. Thay vào (3) : y3 y2 + 6y 6 = 0 Û (y 1)(y2 + 6) = 0 Û y = 1
Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đó x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3.
230. a) Có, chẳng hạn : .
b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dơng a, b mà . Bình phơng hai vế :
.
Bình phơng 2 vế : 4ab = 2 + (a + b)2 2(a + b) Þ 2(a + b) = 2 + (a + b)2 4ab
Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn. 
231. a) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy chứng minh rằng cả m lẫn n đều chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số tối giản.
b) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra :
Thay m = 2k (k Î Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 Þ 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia hết cho 2 Þ n3 chia hết cho 2 Þ n chia hết cho 2. Nh vậy m và n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản.
232. Cách 1 : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3. Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x3 + y3 + z3 3xyz 0. Ta có hằng đẳng thức :
x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2]. (bài tập sbt)
Do a, b, c 0 nên x, y, z 0, do đó x3 + y3 + z3 3xyz 0. Nh vậy : 
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c.
Cách 2 : Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm. Ta có :
Trong bất đẳng thức , đặt ta đợc :
.
Chia hai vế cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài toán được chứng minh) : . 
Xảy ra đẳng thức : a = b = c = Û a = b = c = 1
233. Từ giả thiết suy ra : . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương : . Tơng tự :
Nhân từ bốn bất đẳng thức : .
234. Gọi . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : (2)
Nhân từng vế (1) với (2) : 
235. Đặt thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hiệu b3 a3 , ta đợc :
b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 bởi 4(x3 + b3), ta có :
b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) =
= 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > 0 (vì x > y > 0).
Vậy b3 > a3 , do đó b > a.
236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n 2, theo khai triển Newton, ta có :
< 
Dễ dàng chứng minh : 
= 
Do đó 
b) Với n = 2, ta chứng minh (1). Thật vậy, (1) Û Û 32 > 22.
Với n 3, ta chứng minh (2). Thật vậy :
 (3)
Theo câu a ta có , mà 3 n nên (3) đợc chứng minh.
 Do đó (2) đợc chứng minh.
237. Cách 1 : . min A = 2 với x = 0.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
min A = 2 với x = 0.
238. Với x < 2 thì A 0 (1). Với 2 x 4, xét - A = x2(x 2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
- A 32 Þ A - 32. min A = - 32 với x = 4.
239. Điều kiện : x2 9.
max A = với x = .
240. a) Tìm giá trị lớn nhất :
Cách 1 : Với 0 x < thì A = x(x2 6) 0.
Với x . Ta có x 3 Þ 6 x2 9 Þ 0 x2 6 3.
Suy ra x(x2 6) 9. max A = 9 với x = 3.
Cách 2 : A = x(x2 9) + 3x. Ta có x 0, x2 9 0, 3x 9, nên A 9.
max A = 9 với x = 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất :
Cách 1 : A = x3 6x = x3 + (2)3 6x (2)3 =
= (x + 2)(x2 - 2x + 8) 6x - 16
= (x + 2)(x2 - 2x + 2) + (x + 2).6 6x - 16
= (x + 2)(x - )2 - 4 - 4.
min A = - 4 với x = .
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
x3 + 2 + 2 3. = 6x.
Suy ra x3 6x - 4. min A = - 4 với x = .
241. Gọi x là cạnh của hình vuông nhỏ, V là thể tích của hình hộp.
Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 2x)2.
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng :
4V = 4x(3 2x)(3 2x) = 8
max V = 2 Û 4x = 3 2x Û x = 
Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuông nhỏ bằng dm.
242. a) Đáp số : 24 ; - 11.	b) Đặt . Đáp số : 1 ; 2 ; 10.
c) Lập phơng hai vế. Đáp số : 0 ; 
d) Đặt = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
Û x = y. Đáp số : 1 ; .
e) Rút gọn vế trái đợc : . Đáp số : x = 4.
g) Đặt . Ta có : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, do đó vế phải của phương trình đã cho là . Phương trình đã cho trở thành : = .
Do a3 + b3 = 2 nên Þ (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3)
Do a + b 0 nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2).
Từ a = b ta đợc x = 6. Từ ab = 0 ta đợc x = 7 ; x = 5.
h) Đặt . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 b3 = 2 (2).
Từ (1) và (2) : a b = 2. Thay b = a 2 vào (1) ta đợc a = 1. Đáp số : x = 0.
i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 0, chia hai vế cho .
Đặt . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vô nghiệm.
Cách 2 : Đặt = y. Chuyển vế : . Lập phương hai vế ta được :
y3 1 + y3 + 1 + 3..(- y) = - y3 Û y3 = y. .
Với y = 0, có nghiệm x = - 2. Với y 0, có y2 = . Lập phơng : y6 = y6 1. Vô nghiệm.
Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x - 2, phơng trình vô nghiệm, xem bảng dưới đây :
x
Vế trái
x < - 2
x > - x
< - 1
> - 1
< 0
> 0
< 1
> 1
< 0
> 0
k) Đặt 1 + x = a , 1 x = b. Ta có : a + b = 2 (1), = 3 (2)
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
.
Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đó x = 0.
l) Đặt thì m4 + n4 = a + b 2x. 
Phương trình đã cho trở thành : m + n = . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, còn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0.
Do đó x = a , x = b. Ta phải có x a , x b để các căn thức có nghĩa.
Giả sử a b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a. 
243. Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 0 (a và b không đồng thời bằng 0).
Đặt , ta có : =
.
Vậy : (với a2 + b2 0).
244. Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
= . Đẳng thức xảy ra khi : .
Ta có A 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 Û x = 0.
Vì 1 + là nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 
Ta có :3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = 0.
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn :
(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = 0.
Vì a, b Î Z nên p = 4a + b + 42 Î Z và q = 2a + b + 18 Î Z. Ta phải tìm các số nguyên a, b
 sao cho p + q = 0.
Nếu q 0 thì = - , vô lí. Do đó q = 0 và từ p + q = 0 ta suy ra p = 0.
Vậy 1 + là một nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và chỉ khi :
 . Suy ra a = - 12 ; b = 6.
246. Giả sử là số hữu tỉ ( là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = . Hãy chứng minh cả p và q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối giản.
247. a) Ta có : .
Do đó : .
b) .
248. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 
Û a3 6a 40 = 0 Û (a 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 Þ a = 4.
249. Giải tơng tự bài 21.
250. A = 2 + .
251. Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). 
Từ x = . Suy ra x3 = 12 + 3.3x Û x3 9x 12 = 0.
252. Sử dụng hằng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B). Tính x3. Kết quả M = 0
253. a) x1 = - 2 ; x2 = 25.
b) Đặt , ta được : Û u = v = - 2 Þ x = 1.
c) Đặt : . Kết quả x = 7.
254. Đa biểu thức về dạng : . Áp dụng | A | + | B | = | A + B | min A = 2 Û -1 x 0.
255. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần.
256. Đặt 
258. Ta có : = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a < b).
Dấu đẳng thức xảy ra khi (x a)(x b) 0 Û a x b. Vậy min P = b a Û a x b.
259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương
Các vế của 3 bất dẳng thức trên đều dương. Nhân 3 bất đẳng thức này theo từng vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
a + b c = b + c a = c + a b Û a = b = c (tam giác đều).
260. .
261. 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2.
Ta có : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + 1 + - 1) = - 2.
Do đó : 2A = (+ 1)2 + ( - 1)2 + (-2)2 = 14. Suy ra A = 7.
262. Đa pt về dạng : .
263. Nếu 1 x 2 thì y = 2.
264. Đặt : .
265. Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y. Với mọi x, y ta có : x2 + y2 2xy. Nhng x2 + y2 = (8)2 = 128, nên xy 64. Do đó : max xy = 64 Û x = y = 8.
266. Với mọi a, b ta luôn có : a2 + b2 2ab. Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 2ab Û 2c2 a2 +b2 + 2ab Û 2c2 (a + b)2 Û c a + b Û c .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
267. Biến đổi ta được : 
268. 2 x - 1 ; 1 x 2.
---------------Hết---------------

Tài liệu đính kèm:

  • doctai lieu bdhs gioi thcs.doc