Tài liệu ôn tập Toán 8 tổng hợp (Tập 1)

CHƯƠNG I: NHÂN, CHIA ĐA THỨC 
BÀI 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I, KHÁI NIỆM:
	+ Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích các đa thức có bậc nhỏ hơn.
VD: 
	+ là việc phân tích đa thức A thành hai nhân tử.
II, PHÂN TÍCH BẰNG PP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
	+ Nếu các hạng tử của đa thức đều có một nhân tử chung, thì ta có thể phân tích bằng PP này.
VD: Phân tích đa thức: .
	+ Thấy .
Chú ý:
	+ Đôi khi ta phải đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung:
	.
VD: Phân tích đa thức: .
	Thấy: hoặc ngược lại .
	Khi đó: .
III, PHÂN TÍCH BẰNG PP DÙNG HẲNG ĐẲNG THỨC:
	+ Nếu các hạng tử của đa thức là thành phần của một HĐT thì ta sử dụng PP này.
VD: Phân tích đa thức: .
	+ Ta thấy .
IV, PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ:
	+ Nếu đa thức có các hạng tử đơn lẻ khi kết hợp với nhau có thể tạo ra nhân tử chung thì ta sủ dụng 
	PP này.
VD: Phân tích đa thức: .
	+ Thấy .
Nhận xét: 
	+ Đối với 1 đa thức, ta có thể linh hoạt vận dụng các PP ở trên để phân tích thành nhân tử.
V. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
	6.a, .	b, .	c, .
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .
	2.a, .	b, .
	3.a, .	b, .
	4.a, .	b, .
	5.a, .	b, .
	6.a, . 	b, .
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .
	2.a, .	b, .
	3.a, .	b, .
	4.a, .	b, .
	5.a, .	b, .
	6.a, .	b, .
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
	6.a, .	b, .	c, .
	7.a, .	b, .	c, .
	8.a, .	b, .	c, .
	9.a, .	b, .	c, .
	10.a, .	b, .	c, .
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .
	2.a, .	b, .
	3.a, .	b, .
	4.a, .	b, .
	5.a, .	b, .
	6.a, .	b, .
	7.a, .	b, .
	8.a, .	b, .
	9.a, .	b, .
	10.a, .	b, .
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .
	2.a, .	b, .
	3.a, .	b, .
	4.a, .	b, .
	5.a, .	b, .
	6.a, .	b, .
	7.a, .	b, .
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
	6.a, .	b, .	c, .
	7.a, .	b, .	c, .
	8.a, .	b, .	c, .
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
	6.a, .	b, .	c, .
	7.a, .	b, .	c, .
Bài 10: Tìm x biết:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
	6.a, .	b, .	c, .
	7.a, .	b, .	c, .
Bài 11: Tìm x biết:
	1.a, .	b, 
	2.a, .	b, 
	3.a, .	b, 
	4.a, .	b, 
	5.a, .	b, 
	6.a, .	b, 
	7.a, .	b, 
	8.a, .	b, 
	9.a, .	b, 
	10.a, .	b, 
Bài 12: Tìm x biết:
	1.a, .	b, .	c, .
	2.a, .	b, .	c, .
	3.a, .	b, .	c, .
	4.a, .	b, .	c, .
	5.a, .	b, .	c, .
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức:
	a, tại .
	b, tại .
	c, tại .
	d, tại .
	e, tại .
	f, tại .
	g, tại .
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức: với .
Bài 15: Cho . Tính giá trị biểu thức .
BÀI 6: CHIA ĐA THỨC .
I, CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC:
Quy tắc: 	“ Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau:
	+ B1: Lấy hệ số chia cho hệ số.
	+ B2: Chia lũy thừa từng biến trong A cho lũy thừa từng biến trong B.
Chú ý: 
	 m và n là hai số nguyên sao cho khi đó:
	+ .
	+ .
VD: Làm phép tính:
	A, .	B, 	c, .	D, .
II, CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC:
Quy tắc: “ Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B”
VD: Làm phép tính:
	A, 
	A, 
III, CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP:
	+ Để chia đa thức một biến cho một đa thức một biến đẵ sắp xếp ta hạ phép chia bình thường:
 -
Chú ý:	+ Bậc của một đa thức dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Làm phép tính:
a, .	b, .	c, .
	2. a, .	b, .	c, .
	3. a, .	b, .	c, . 
Bài 2: Làm phép tính:
	1. a, .	b, .
	2. a, .	b, .
	3. a, .	b, .
	4. a, .	b, .
Bài 3: Làm phép tính:
	1. a, .	b, .
	2. a, .	b, .
	3. a, .	b, .
	4. a, .	b, .
	5. a, .	b, .
	6. a, .	b, .
	7. a, .	b, .
Bài 4: Làm phép tính:
	a, .
	b, .
	c, .
	d, .
	e, .
	f, .
	g, .
Bài 5: Thực hiện phép tính:
	1. a, .	b, .
	2. a, .	b, .
	3. a, .	b, .
	4. a, .	b, .
Bài 6: Thực hiện phép tính:
	1. a, .	b, .
	2. a, .	b, .
	3. a, .	b, .
	4. a, .	b, .
Bài 7: Tìm hệ số a để đa thức 
	1. a, .	b, 
	2. a, .	b, .
CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
 I, ĐỊNH NGHĨA:
	+ Các biểu thức có dạng với A, B là các đa thức ( B khác đa thức 0) gọi là các phân thức đại số.
	Khi đó: A gọi là tử thức, B gọi là mẫu thức.
VD: Các phân thức đại số
	; ; ; 6;  
Chú ý:
	+ Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.
	+ Các số cũng được coi là các phân thức đại số.
	+ Đa thức 0 là số 0.
II, HAI PHÂN SỐ BẰNG NHAU:
	+ Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu .
VD: Hai phân thức vì .
III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
	+ Nếu nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới, bằng phân thức 
	đã cho :
	.
	+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân 
	thức mới, bằng phân thức đã cho:
 	 (N là một nhân tử chung của A và B).
Chú ý:
	+ Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức bằng phan thức đã cho.
	 hoặc .
IV: BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Chứng minh rằng:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 2: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống: 
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 3: Ba phân thức sau có bằng nhau hay không?
	.	. 	. 
Bài 4: Các phân thức sau có bằng nhau hay không?
	a, và . 	b, và . 	c, và . 	
Bài 5: Hãy sửa lại lỗi sau trong các đẳng thức sau:
	a, .	b, . 	c, . 	 
BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC:
I, QUY TẮC:
	+ Các bước thực hiện rút gọn:
	B1: Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử.
	B2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
	B3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Chú ý:
	+ Có thể sử dụng tính chất đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Rút gọn các phân thức:
	a, .	b, .	c, .	d, .
	a, .	b, .	c, .	d, .
	a, .	b, .	c, .	d, .
	a, .	b, .	c, .	d, .
Bài 2: Rút gọn các phân thức:
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
Bài 3: Rút gọn các phân thức:
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
Bài 4: Rút gọn các phân thức:
a, .	b, .
Bài 5: Chứng minh các phân thức sau bằng nhau:
	a, và . 	b, và . 
	a, và . 	b, và . 
Bài 6: Rút gọn rồi tính giá trị:
	a, tại .
	a, tại .
	a, tại .
BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC:
I, KHÁI NIỆM:
	+ Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức bằng nó và có cùng 
	một mẫu: 
VD:
	 và , khi ta quy đồng thì: 
	+ .
	+ .
II, QUY TẮC:
	+ Các bước quy đồng mẫu thức các phân thức:
	B1: Phân tích mẫu thức các phân thức thành nhân tử.
	B2: Chọn MTC: là tích các nhân tử chung và riêng với lũy thừa cao nhất.
	B3: Nhẩm nhanh thừa số phụ ứng với mỗi phân thức, Nhân phân thức với thừa số phụ tương ứng.
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Quy đồng: 
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
	a, và .	b, và .	c, và .
Bài 2: Quy đồng mẫu ba phân thức sau:
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và 	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
Bài 3: Quy đồng mẫu ba phân thức sau:
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
	a, ; và .	b, ; và .
BÀI 5: PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I, CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC CÙNG MẪU:
Quy tắc :
	“ Khi Cộng ( Trừ) các phân thức cùng mẫu, ta Cộng ( Trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức ”. 
	 hoặc .
VD: Tính:
	+ .
	+ .
II, CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC KHÁC MẪU:
Quy tắc: 
	“ Khi Cộng ( Trừ) các phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính ”. 
VD: Tính:
	+ .
III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC:
	+ Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:
	+ Giao hoán: .
	 	+ Kết hợp: .
IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
 Bài 1: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
Bài 2: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 3: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 4: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
Bài 5: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .	c, .
Bài 6: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, 
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	
	a, .	
	a, .
Bài 7: Thực hiện phép tính:
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
	a, .
Bài 8: Thực hiện phép tính:
	a, .
	a, .
	a, .
BÀI 7: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
I, PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC:
Quy tắc: 	
	“ Khi nhân hai phân thức, ta nhân các tử với nhau, mẫu thức với nhau, rồi rút gọn “.
	+ .
VD: 
	.
II, PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC:
Quy tắc:
	“ Khi chia hai phân thức, ta chuyển thành phép nhân với số nghịch đảo “.
	+ .
VD:
	.
III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÉP NHÂN PHÂN THỨC:
	Phép nhân các phân thức có các tính chất sau:
	+ Giao hoán: .
	+ Kết hợp: .
	+ Phân phối: .
IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 2: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .	c, . 
Bài 3: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 4: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, . 
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 5: Thực hiện phép tính:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 6: Thực hiện phép tính:
	a, 
	a, 
	a, 
	a, 	.
Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
	a, .	b, .	c, .
Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
	a, .	b, .
	a, .	b, .
	a, .	b, .
Bài 9: Tìm các giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 0:
	a, .
a, . 	
	a, . 	
BÀI 8: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỈ.
I, BIỂU THỨC HỮU TỈ:
	+ Khi ta thực hiện các phép toán: Cộng, Trừ, Nhân , Chia, Lũy thừa, GTTĐ trên những phân thức
	Thì cho ta các biểu thức hữu tỉ.
	+ Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định khi cá ... 
Hình bài 8
Bài 8: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD.
	a, Chứng minh: AECK là hình bình hành.
	b, Chứng minh tại M.
	c, AK cắt DF tại N. Chứng minh N là trung điểm của DM.
	d, Chứng minh .
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, Qua A kẻ ( điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
	a, .
	b, Ba điểm B, I, D thẳng hàng.
Hình bài 9
Hình bài 10
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi DE, BK lần lượt là đường phân giác của .
	a, Chứng minh DE // BK.
	b, Cho . Chứng minh .
	c, Trong trường hợp . Tìm số đo để tứ giác DEBK là hình vuông.
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
	a, Chứng minh .
	b, Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
Hình bài 11
Hình bài 12
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có . M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy . Chứng minh:
	a, Tứ giác ABEC là hình thoi.
	b, D, E, C thẳng hàng.
	c, C là trung điểm của DE.
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
	a, Chứng minh .
	b, Chứng minh .
	c, Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.
Hình bài 13
Hình bài 14
Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD. Tia phân giác góc cắt tia phân giác góc tại F. Tia phân giác góc cắt tia phân giác góc tại E.
	a, Tính các góc của .
	b, Chứng minh .
	c, BE cắt CF tại H. Chứng minh .
Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD có . Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của DC. Chứng minh:
	a, và là hình vuông.
	b, và .
Hình bài 15
Hình bài 16
Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có . Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của DC.
	a, Chứng minh tứ giác AIKD và BIKC là hình vuông
	b, Chứng minh vuông cân.
	c, Gọi S và R lần lượt là tâm các hình vuông AIKD và BIKC. Chứng minh ISKR là hình vuông.
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
	a, Chứng minh tứ giác APCQ là hình bình hành.
	b, Chứng minh tứ giác APQD là hình thoi.
	c, Gọi E là giao điểm của AQ và DP, Gọi F là giao điểm của BQ và CP. Chứng minh tứ giác PEQF 
là hình chữ nhật.
	d, Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để PEQF là hình vuông.
Hình bài 17
Hình bài 18
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M và N là trung điểm của AB và CD.
	a, Tứ giác AMND là hình gì?
	b, Chứng minh AN // MC.
	c, E là giao điểm của AN và DM. F là giao điểm của MC với BN. Chứng minh EF // DC.
	d, Tứ giác MENF là hình gì?
	e, Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác MENF là hình vuông.
Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng AB, M là trung điểm của AD, F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến CE và MF cắt BC ở N.
	a, Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
	b, là tam giác gì? Vì sao?
	c, Chứng minh rằng: .
Hình bài 19
Hình bài 20
Bài 20: Cho hình thoi ABCD có . Kẻ , rồi kéo dài một đoạn . Nối E với A, E với D. Chứng minh:
	a, H là trung điểm của AD.
	b, Tứ giác ABDE là hình thoi.
	c, D là trung điểm của CE.
	d, .
Bài 21: Cho , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M là trung điểm của GB, N là trung điểm của GC.
	a, Tứ giác DEMN là hình gì? Vì sao?
	b, Để tứ giác DEMN là hình chữ nhật thì phải có thêm điều kiện gì?
	c, cần thêm điều kiện gì để DEMN là hình vuông?
Bài 22: Cho các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.
	a, Chứng minh tứ giác DEHK là hình bình hành.
	b, Nếu cân tại A. Chứng minh: và là hình chữ nhật.
	c, Nếu các đường trung tuyến . Khi đó tứ giác DEHK là hình gì? Vì sao?
Hình bài 21
Hình bài 22
Bài 23: Cho vuông cân tại B.
	a, Gọi D là điểm đối xứng với C qua B. Chứng minh vuông cân.
	b, Gọi BE và BF lần lượt là đường phân giác trong của và . 
Chứng minh BA là phân giác của .
	c, Chứng minh AEBF là hình vuông.
	d, So sánh với .
Hình bài 23
Hình bài 24
Bài 24: Cho vuông tại A. Từ một điểm M trên cạnh BC. Kẻ tại H. Kẻ tại K.
	a, Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật.
	b, Tìm vị trí của M trên cạnh BC để AHMK là hình vuông.
	c, Kẻ tại I. So sánh AM với AI rồi tìm vị trí của M để nhỏ nhất.
Bài 25: Cho vuông tại D có , DM là đường trung tuyến. Gọi MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE, MK là đường vuông góc kẻ từ M đến DF. Gọi H là điểm đối xứng với M qua N.
	a, Tứ giác DKMN là hình gì? Vì sao?
	b, Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng.
	c, cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông.
Bài 26: Cho hình thoi ABCD có . Gọi M, N lần lượt trên AB, BC sao cho .
	a, Chứng minh .
	b, Chứng minh là tam giác đều.
Hình bài 25
Hình bài 26
Bài 27: Cho hình thoi ABCD. Lấy E và F trên BC và CD sao cho . Gọi G và H lần lượt là giao điểm của AE, AF với BD. Chứng minh tứ giác AGCH là hình thoi.
Hình bài 27
Hình bài 28
Bài 28: Cho . Lấy các điểm D và E lần lượt trên AB và AC sao cho . Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chứng minh:
	a, .
	b, .
Bài 29: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hình bài 29
Hình bài 30
Bài 30: Cho hình thang ABCD ( AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, AB, BC, CD.
	a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
	b, Hình bình hành MNPQ là hình gì nếu hai đường chéo và .
Bài 31: Cho hình thoi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
	a, Chứng minh .
	b, Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hình bài 31
Hình bài 32
Bài 32: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H lần lượt là chân đường vuông góc tự O xuống AB, BC, CD, DA.
	a, Chứng minh E, O, G thẳng hàng và H, O, F thẳng hàng.
	b, Chứng minh .
	c, Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Bài 33: Cho hình thoi ABCD ( góc tù). Từ B hạ . Từ D hạ . Gọi H là giao điểm của MB và PD, K là giao điểm của BN và DQ. O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
	a, H là trực tâm .
	b, A, H, K, C thẳng hàng.
	c, .
	d, .
	e, Tứ giác BHDK là hình thoi.
Hình bài 33
Hình bài 34
Bài 34: Cho hình bình hành ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng m đi qua O cắt AB và CD lần lượt tại M và P. đường thẳng n đi qua O cắt cạnh BC và DA lần lượt tại N và Q. Biết .
	a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
	b, Chứng minh MNPQ là hình thoi.
Bài 35: Cho hình vuông ABCE. Hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau ở tâm O của hình vuông. Đường thẳng m cắt AB, CD lần lượt ở P và Q. đường thẳng n cắt BC và AD ở R và S.
	a, Chứng minh .
	b, Chứng minh .
	c, Tứ giác PRQS là hình vuông.
Bài 36: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E. Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AE tại A, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại F.
	a, Chứng minh .
	b, Từ E dựng đường thẳng song song với AF và từ F dựng đường thẳng song son với AE, hai đường 
thẳng này cắt nhau tại G. Chứng minh BD, AG, EF đồng quy.
Hình bài 35
Hình bài 36
Bài 37: Cho hình vuông ABCD. Vẽ . Tia Ax cắt BC ở M, Ay cắt đường thẳng CD tại N.
	a, Chứng minh vuông cân.
	b, Vẽ hình bình hành MANF có O là giao điểm của AF và MN. Chứng minh D, O, B thẳng hàng.
	c, Chứng minh .
Hình bài 37
Hình bài 38
Bài 38: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, Trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho . Vẽ hình bình hành MANF. Gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
	a, Tứ giác MANF là hình vuông.
	b, F thuộc tia phân giác góc .
	c, .
	d, Tứ giác BOFC là hình thang.
Bài 39: Cho hình vuông ABCD, Kéo dài BC lấy điểm E, Kéo dài CD lấy điểm F sao cho .
	a, Chứng minh .
	b, là tam giác gì? Vì sao?
	c, Kẻ tia Ex // AF và tia Fy // AE. Ex cắt Fy tại G. Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao?
Hình bài 39
Hình bài 40
Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của các tia AD, BA, CB, DC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’. sao cho . Chứng minh:
	a, .
	b, .
	c, Tứ giác là hình vuông.
Bài 41: Cho hình vuông ABCD. Từ điểm M thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng cắt CD ở K sao cho . Kẻ ở H. Chứng minh:
	a, và .
	b, .
	c, .
Hình bài 41
Hình bài 42
Bài 42: Cho hình vuông ABCD. M là điểm tùy ý trên cạnh DC. Tia phân giác của cắt CD tại I. Kẻ tại H và tia IH cắt BC tại K. Chứng minh:
	a, .
	b, .
	c, .
Bài 43: Cho hình vuông ABCD. Trong hình vuông vẽ đều. Bên ngoài hình vuông vẽ đều.
	a, Tính các góc của .
	b, Chứng minh vuông cân.
	c, Chứng minh A, E, F thẳng hàng.
Hình bài 43
Bài 44: Cho vuông tại A, . Gọi E là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC.
	a, Tính EM.
	b, Vẽ tia Bx // AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình vuông.
	c, Gọi I là giao điểm của BE và AD. Gọi K là giao điểm của BE với AM. 
Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình bình hành và .
Bài 45: Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD và . Có . Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.
	a, Chứng minh và tứ giác AECD là hình vuông.
	b, Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích bằng 
diện tích tứ giác .
	c, Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh .
Hình bài 45
Hình bài 46
Bài 46: Cho cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho .
	a, Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
	b, Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài 47: Cho cân tại A, có đường cao AH.
	a, Tính diện tích biết .
	b, Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh tứ giác AHBE là 
hình chữ nhật.
	c, Gọi F là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi.
	d, Kẻ , Gọi I, Q lần lượt là trung điểm của HK, KC. Chứng minh .
Hình bài 47
Bài 48: Cho hình vuông ABCD có O là giao của hai đường chéo. Lấy Q là điểm bất kì trên đường chéo BD ( Q khác B và D). Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q trên AB, AD.
	a, Chứng minh tứ giác AEQF là hình chữ nhật.
	b, Chứng minh và tính .
	c, Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB, OD. Tính .
Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R. Cắt CD tại Q và S.
	a, Chứng minh và là các tam giác cân.
	b, QR cắt PS tại H. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS. 
Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
	c, Chứng minh P là trực tâm .
	d, Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
	e. Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 50: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M thay đổi trên đoạn AB ( M không trùng với A và B) Vẽ các hình vuông AMCD và BMEF thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ AB.
	a, Chứng minh và .
b, Gọi G, I, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, CE, EB. Tứ giác GINK là hình gì? Vì sao?
	c, Chứng minh DF luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di chuyển trên AB.
	d, Chứng minh rằng trung điểm Q của IK luôn nằm trên một đường cố định khi M di chuyển trên 
AB.
Hình bài 49
Hình bài 50