Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 năm học: 2010 - 2011

Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
Câu 1: Phân tích thành nhân tử
a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
x – 1 + xn + 3 – xn 
HD:
a). a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 – a2x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax – 1).
b). x – 1 + xn(x3 – 1) = (x – 1)[1 + xn(x2 + x + 1)] = (x – 1)(xn+2 + xn+1 + 1).
Câu 2: Thực hiện phép tính: 
HD:
+ Điều kiện xác định: ().
+
Câu 3:Rút gọn biểu thức: 
HD:
+ Điều kiện xác định: ().
+ Xét 4 trường hợp:
Câu 4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.
HD:
+ M có nghĩa khi x2 
Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng. 
Câu 1: Cho đa thức : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z.
HD:
a). P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x + 6
= (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
b). P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3) 
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) (Đfcm).
Câu 2:Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE AB, CF AD.
 Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2
Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c.
Chứng minh rằng: 
Câu 6: Cho 3 số dương a, b, c.
Giải phương trình: 
Câu 1: Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2 – 6x + 1)
Câu 2: Giải bất phương trình: 
Câu 3: Tính giá trị của biểu thức: 
 Biết 10a2 – 3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 0.	
Câu 4: Cho biểu thức: 
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
 Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC.
Câu 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G. 
Chứng minh EF + EG = 2AM.
Câu 1: Rút gọn biểu thức: 
Câu 2: Cho biểu thức 
a)Tìm a để B có nghĩa.
b)Rút gọn biểu thức B.
Câu 3: 1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 0.
2) Giải phương trình: 
Câu 4: Cho biểu thức: A = x2 + 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AD. Cho . Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đường chéo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M, cắt đường thẳng BC tại N.
Chứng minh a) ; b) ID2 = IM.IN.
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a +ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN = BD.
Câu 1: Cho a – b = 7. 
Tính giá trị của biểu thức: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất: 
Câu 3: Cho biểu thức B = 
a)Tìm x để B có nghĩa.
b)Rút gọn B.
Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ dài hai đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.
Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu 6: Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D. 
Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB
Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:
Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì : a2 + b2 chia hết cho 13.
Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý. 
Chứng minh rằng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13 0. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. DF và EG là hai đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6: 1)Chứng minh rằng phương trình x4 – x3 – x – 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phương trình: m2x + 1 = x + m (m là tham số)
Câu 1: Cho phân thức: 
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Tính x để A < 1.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC,
1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2.
Bài tập tương tự:
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC2.
2) Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD. 
Chứng minh : AD2 = AB.AC + BD.DC.
3) Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng 
Cho tam giác ABC. Biết đường phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE2 = EB.EC + AB.AC.
Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x + 6.
1)Trong trường hợp x là số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phương trình P(x) = 0.
Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p. 
Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a2 + b2 + c2 = 1.
Nếu . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c.
Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a2 + b2 + c2 = 1.
Nếu . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c.
Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
So sánh hai góc BAH và CAH.
So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.
Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
Câu 5: Giải phương trình: 
Câu 6: Giải phương trình: (Trong đó x là ẩn)
Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0
Câu 2: Rút gọn biểu thức: 
Câu 3: Chứng tỏ rằng bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 
Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE.
1)Chứng minh rằng .
2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân.
3)Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.
Câu 1: Chứng minh biểu thức P = không phụ thuộc vào biến x
Câu 2: Giải phương trình: x3 + 12 = 3x2 + 4x
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Cho ba phân thức:
 Trong đó x, y, z đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD.
Câu 6: Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.
1) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2) Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào của tam giác ABC? Giải thích vì sao?
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x – 3. 
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 = 0.
Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 ab + bc + ac a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc)
Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều
Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE.
Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J.
 Chứng minh rằng:.
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 
Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 .
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn ab, c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad.
Câu 5: Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết góc FAE = 450. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.
Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng .
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995)
Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lượt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = – 1 thì đa thức nhận giá trị là (– 18).
Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo của góc MCN?
Câu 2: Giải phương trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0.
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức: là số tự nhiên. 
Câu 2: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n3 + 6n2 – 19n – 24 chia hết cho 6.
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, CB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
IM.IN = ID2.
.
AB.AE + AD.AF = AC2.
Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đường cao AH = h. Từ một điểm M trên đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
Câu 5: Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON, NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đường chepos NQ hoặc đường chéo MP của tứ giác MNPQ ... thức: 
Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AD, và I là trung điểm của MN. Một đường thẳng bấ kỳ qua I cắt hai đáy AB, CD lần lượt tại E và F. CHứng minh rằng hai tứ giác AEFD và BEFC có diện tích bằng nhau.
Câu 1: Giải phương trình: (x2 – 9)(x2 + 4x) = 0.
Câu 2: Giải phương tình: 
Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để có giá trị là số nguyên.
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1). Chứng minh tứ giác BHCD la hình bình hành.
2). Chứng minh hai góc BDC và BAC bù nhau.
Câu 1: Cho biểu thức: .
1). Tìm x để A có nghĩa.
2). Rút gọn biểu thức A.
Câu 2: Rút gọn biểu thức: 
Câu 3:Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài 3 cm và 11 cm, góc của cạnh bên và đáy lớn bằng 450 . Tính diện tích hình thang đã cho.
Câu 5: Một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình nào lớn hơn? Giải thích vì sao?
Câu 1: Giải phương trình: 
Câu 2: Giải phương trình: 
Câu 3: Giải và biện luận phương trình (ẩn x): .
Câu 4: Giải và biện luận phương trình (ẩn x): 
Câu 5: Cho hình thang cân ABCD với AB//CD. Gọi I,J,K,L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
1).Chứng minh tứ giác IJKL là hình thoi.
2). Cho biết diện tích ABCD bằng 20 cm2. Tính diện tích tứ giác IJKL.
Câu 1: Giải các phương trình sau:
1). 2x3 + 5x2 = 7x.
2). 
3). 
Câu 2:1). Cho x, y thoả mãn x > y > 0 và x2 + 3y2 = 4xy. Tính: 
2). Cho a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và a2 + b2 = c2 + d2.
 Chứng minh rằng: a2002 + b2002 = c2002 + d2002
Câu 3: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900), D là một điểm di động trên BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D trên AB và AC.
1). Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
2). Xác định vị trí của điểm D để tổng 3.AD + 4.FE đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
1). HD.HB = HE.HC.
2). Hai tam giác HDE và HCB đồng dạng với nhau.
3). HB.BD + CH.CE = BC2.
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). a3 – b3 + c3 + 3abc. 2). (a + 2)(a + 3)(a2 + a + 6) + 4a2.
Câu 2: Giải phương trình:
1). x8 – 2x4 + x2 – 2x + 2 = 0.
2). 
Câu 3: 1). Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ab + ac + ad + ae.
2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + x.
3). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4:Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ đường phân giác AA1 của góc A và đường trung tuyền CC1 của tam giác ABC. Biết AA1 = 2CC1. Tính số đo góc ACB?.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết số đo góc AOB = 300. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Câu 6: Trên hai cạnh AB và BC của hình vuông ABCD lấy hai điểm P và Q theo thứ tự sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống CP. Chứng minh rằng số đo góc DHQ = 900.
Câu 1: Giải phương trình: .
Câu 2: Cho các biểu thức: 
1). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
2). Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x.
3). Tìm giá trị của x để A.B < 0.
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:
1). Tam giác ADI cân.
2). AD.BD = BI.DC.
3). Từ D kẻ DK vuông góc với BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? chứng minh?
Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AD là đường phân giác.
Chứng minh rằng: AD2 < AB.AC.
Câu 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.
Câu 2: Tìm giá trị của a, b để biểu thức B = a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Giải phương trình: 
Câu 5: Trên quãng đường AB dài 72 km, hai người khởi hành cùng một lúc đi từ A để đến B. Vận tốc của người thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của người thứ hai là 15 km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì người thứ nhất còn cách B một quãng đường gấp đôi quãng đường từ người thứ hai đến B.
Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC.
1). Tính diện tích của tứ giác AMND theo a.
2). Phân giác của góc CDM cắt BC tại P, chứng minh DM = AM + CP.
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm giữa A và C, qua C dựng CE vuông góc với đường thẳng BD tại E. Chứng minh:
1). Tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC.
2). AB.CE + AE.BC = AC.BE.
Câu 1: Cho và x2 – 2y2 = xy. Tính giá trị của biểu thức: .
Câu 2: Giải phương trình: , với m là tham số.
Câu 3: Cho a, b là hai số thoả mãn: . Chứng minh: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4: Cho các số Chứng minh rằng: .
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi D là điểm thuộc cạnh BC.
Chứng minh rằng: AB2 .CD + AC2.BD – AD2 .BC = CD.BD.BC (Hệ thức Stewart).
(+) Nếu D là trung điểm của BC, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa trung tuyến AD và các cạnh của tam giác.
(+) Nếu AD là phân giác, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa phân giác AD và các cạnh của tam giác.
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 10x + 16.
Câu 2:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.
Câu 3: Giải bất phương trình: m2x + 1 < m – x.
Câu 4:1). Tìm giá trị nhỏ nhất của: .
2). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và AD.
1). Chứng minh rằng: .
2). Trong trường hợp thì tứ giác ABCD là hình gì? Vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt MP tại O và cắt BC tại F. Chứng minh O là trung điểm của EF.
Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AM và CD.
Chứng minh rằng: 
Câu 1: Cho . Tính 
Câu 2: Giải phương trình: x3 + 2x2 – x – 2 = 0
Câu 3: Giải phương trình: 
Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc.
Câu 5: Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh: 
Câu 6: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, đường thẳng AM cắt DC tại P. Chứng minh rằng: 
Câu 7: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại O. Cho AC = b, BC = a. Tính diện tích hình vuông có cạnh là AB.
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). 4x2 – 9y2 + 4x – 6y.
2). x2 – x – 2001.2002.
Câu 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0.
 Chứng minh rằng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0.
Câu 3: Chứng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 0 với mọi giá trị của x.
Câu 4: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức với x = 2002.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AD và BC. 
1). Tìm điều kiện của tứ giác để 2EF = AB + CD.
2). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DF, EB, FA và EC.
 Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Câu 1: Giải phương trình: 
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 A = 3x2 + 2x + 1; B = x – x2.
Câu 3: 1). Chứng minh rằng: (a3 + 11a – 6a2 – 6) chia hết cho 6, với mọi a nguyên.
2). Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức:
1). Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: .
2). Cho a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác.
 Chứng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) abc.
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ phân giác AH. Gọi I là trung điểm của AB, đường vuông góc với AB tại I cắt AH tại O. Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm của AM.
1). Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông.
2). Gọi K là trung điểm của OM. Chứng minh tam giác IKB cân.
Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 1800.
Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ ba đường cao AD, BE và CF.
1). Chứng minh: Góc FEA = góc ABC.
2). Chứng minh EB là phân giác của góc FED.
Câu 1: Giải phương trình: 
Câu 2: Giải bất phương trình: .
Câu 3: Chứng minh rằng: x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z, với mọi x,y,z.
Câu 4: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: 
Câu 5:1).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2 + x + 3.
2). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 2 (đơn vị). Gọi AM, BN và CP là các trung tuyến của tam giác.
1). Tính: AM2 + BN2 + CP2.
2). Chứng minh: 4 < AM + BN + CP < 5.
Câu 7: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA và CA lấy hai điểm di động M và N sao cho BM = CN. Gọi I là trung điểm của MN. Hỏi điểm I di động trên đường nào?.
Bài 1:Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thoả mãn: abc = 1 và .
Chứng minh rằng một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 2: Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: . Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c =2.
 Chứng minh: 
Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là 32 (đơn vị), tổng AB + BD + CD = 16 (đơn vị). Tính BD.
Bài 5: Biết các cạnh của một tam giác là ba số tự nhiên liên tiếp. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó nếu: 3Â + 2= 1800.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong, M là trung điểm của BC. Tính số đo góc BIM.
Bài 7: Cho BE và CF là hai đường phân giác trong của tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của BE và CF.
 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2OB.OC = BE.CF.
Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là 5cm, 6cm, 7cm. Tính khoảng cách giữa giao điểm các đường phân giác và trọng tâm của tam giác.
Bài 9: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N theo thứ tự di động trên hai cạnh AB và AC sao cho BN = CM. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc BIC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 10: Trên hai cạnh góc vuông AC, BC của tam giác vuông ABC dựng ra bên ngoài tam giác lần lượt các hình vuông ACKL và BCMN. Gọi R, P lần lượt là giao điểm của BL với AN và AC. Gọi Q là giao điểm của BC và AN.
Chứng minh rằng diện tích tứ giác CPRQ và diện tích tam giác ABR bằng nhau.
Bài 11: Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trọng tâm của tam giác và M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M không trùng với trung điểm của BC). Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường vuông góc này lần lượt cắt OB, OC tại I và K.
1). Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành.
2). Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Bài 12: Tứ giác ABCD có trung điểm hai đương chéo M, N không trùng nhau. Đường thẳng MN cắt AD tại P và cắt BC ở Q. Chứng minh rằng: PA.QB = PD.QC.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC = 200. Kẻ phân giác trong BI và vẽ góc ACH = 300 về phía trong tam giác. Tính số đo góc CIH.
Bài 14: Gọi AA1, BB1, CC1 là các đường phân giác trong của tam giác ABC. L là giao điểm của AA1, và B1C1 ; K là giao điểm của CC1 và A1B1. 
Chứng minh rằng: BB1 là phân giác của góc LBK.