Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Khối 8

HỌC MỘT BIẾT MƯỜI
Rèn luyện tính độc lập, sáng tạo là yêu cầu để phát huy phẩm chất của người lao động. Vì thế các bạn cần tập suy luận và sáng tạo, phát hiện những bài toán mới, những vấn đề mới, xuất phát từ những bài toán đã biết. 
Xét bài toán 19, trang 38, Hình học 8 : 
Cho một góc vuông xOy. Trên tia Ox ta lấy điểm A cố định sao cho OA = a, trên tia Oy ta lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. 
a) Tính khoảng cách từ D tới Ox. 
b) Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm D khi B di động. 
Lược giải : 
a) Kẻ DH vuông góc với Ox. Góc D1 = Đ A1 (phụ với Đ A2 ), DA = AB (cạnh hình vuông)
=> ΔDHA = ΔAOB (cạnh huyền, góc nhọn) => DH = AO = a. 
b) D cách Ox một khoảng bằng a không đổi nên D thuộc d//Ox, cách Ox một khoảng bằng a. 
Giới hạn : Khi B trùng với O thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’ => D trùng với D’ 
=> tập hợp D là tia đối của tia D’C’. 
* Khi D trùng với D’ thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’. Hình vuông này có diện tích nhỏ nhất và bằng a2. Do đó có thể thay bài toán quỹ tích bằng bài toán cực trị. 
Bài toán 1 : Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a, trên tia Oy lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Xác định vị trí của đỉnh D để hình vuông ABCD có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. 
* Nếu từ C và D kẻ các đường thẳng lần lượt song song với Ox và Oy thì hình tạo thành cũng là hình vuông ngoại tiếp hình vuông ABCD. Ta có bài toán khác. 
Bài toán 2 : Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B (tùy ý, khác O). Vẽ hình vuông ABCD. Qua C và D dựng các đường thẳng lần lượt song song với Ox và Oy, chúng cắt nhau tại P và lần lượt cắt Oy tại Q, Ox tại H. 
a) Chứng minh tứ giác OHPQ là hình vuông. 
b) Chứng minh tâm đối xứng của hai hình vuông ABCD và OHPQ trùng nhau. 
* Bài toán 2 là trường hợp riêng của bài toán 8, trang 54, SGK Hình học 8. Giải được bài 8, tức là bài toán 2 ở trên đã được giải quyết. 
Bài toán 8 Sách giáo khoa là : 
Cho hai hình bình hành, mỗi cạnh của hình thứ nhất chứa một đỉnh của hình thứ hai. Chứng minh rằng hai hình bình hành đó cùng có một tâm đối xứng. 
* Từ bài toán 1, thêm giả thiết : H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống Ox. Có thể cho phát hiện sự liên hệ giữa chu vi tam giác OAB và độ dài cạnh hình vuông ABCD. Từ đó ta có : 
Bài toán 3 : Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A cố định, điểm B di động trên tia Oy. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Gọi H là hình chiếu của D trên Ox. Chứng minh rằng chu vi tam giác OAB < 2m, với m là độ dài đoạn thẳng OH. 
Lược giải : 
ΔDHA = ΔAOB => OB = AH 
=> OA + OB = OH = m 
Trong ΔOAB : AB < OA + OB = m chu vi ΔOAB : OA + OB + AB < m + m = 2m. 
* Điều gì sẽ xảy ra nếu chu vi ΔOAB = 2m ? Ta có bài toán : 
Bài toán 4 : Cho hình vuông OHPQ có cạnh bằng m. A, B lần lượt là các điểm trên các cạnh OH, OQ sao cho chu vi ΔOAB = 2m. Chứng minh Đ APB = 45o khi A, B di động. 
Lược giải : Kẻ PE vuông góc với PA, với E nằm trên tia OQ. 
Ta có Đ P1 = Đ P2 (cùng phụ với góc APQ), PQ = PH ; 
=> Đ Q = Đ H = 90o => ΔPQE = ΔPHA (g.c.g) => QE = AH ; PE = PH. 
Chu vi ΔOAB : OA + OB + AB = 2m = OH + OQ => OA + OB + AB = (OA + AH) + (OB + BQ) 
=> AB = AH + BQ = QE + BQ = BE 
=> ΔBPA = ΔBPE (c.c.c) => Đ BPA = Đ BPE 
=> Đ BPA = 1/2 Đ APE => Đ APB = 1/2. 90o = 45o 
* Nếu Đ APB = 450 quay xung quanh P, nhưng luôn cắt hai cạnh OH và OQ của hình vuông thì chu vi ΔOAB có luôn luôn bằng 2m không ? Ta có bài toán ngược : 
Bài toán 5 : Cho hình vuông OHPQ. A, B là các điểm di động lần lượt trên các cạnh OH, OQ sao cho góc APB = 45o. Chứng minh chu vi ΔOAB không đổi. 
* Vì ΔPBA = ΔPBE nên các đường cao PQ và PI của hai tam giác bằng nhau. Thế thì PE bằng một giá trị không đổi. Ta có bài toán : 
Bài toán 6 : Cho A và B theo thứ tự di động trên các cạnh OH, OQ của hình vuông OHPQ, sao cho Đ APB = 45o. Tìm quỹ tích chân đường vuông góc hạ từ P xuống AB. 
* Xét A là trung điểm của OH. Hình vuông OHPQ có xác định được không, nếu biết A và P. Ta có bài toán : 
Bài toán 7 : Dựng hình vuông, biết một đỉnh A và trung điểm của một cạnh không chứa A. 
Từ bài toán 7, có thể dẫn đến bài toán : 
Bài toán 8 : Cho A là trung điểm cạnh OH của hình vuông OHPQ. Tia At qua A và vuông góc với PA, cắt OQ tại B. Chứng minh PA là tia phân giác góc BPH. 
Đảo một phần giả thiết thành kết luận và đưa kết luận thành giả thiết thì vẫn đúng. Ta có bài toán “ngược” : 
Bài toán 9 : Cho A là trung điểm cạnh OH của hình vuông OHPQ. Trên cạnh OQ lấy điểm B sao cho Đ BPA = Đ APH. Chứng minh AB vuông góc PA. 
Với tinh thần luôn đào sâu suy nghĩ thì các bạn sẽ thực hiện được mục tiêu : Học một, biết mười.