Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng một đẳng thức

Phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
	-Trong quá trình giảng dạy môn Toán tôi thấy việc nhận thức về hằng đẳng thức đáng nhớ của học sinh chỉ đơn thuần là 7 hằng đẳng thức mà chưa khai thức một cách triệt để những ứng dụng của hằng đắc thức trong dạy Toán và học Toán.
	-Đề tài này chỉ áp dụng cho học sinh đã học song và biết được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản trong SGK 8 tập 1.
	-Trong những tiết dạy phân tích đa thức thành nhân tử có bài toán phân tích đa thức a3 + b3 + c3 – 3abc thành nhân tử. Sau khi phân tích ta được kết quả a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 thì + (b – c)2 + (a – c2)] = 0
 *
	Từ nhận xét * ta có thể áp dụng vào giải các dạng Toán đối với học sinh lớp 8 và 9 ở THCS. Đặc biệt là học sinh giỏi, học sinh năng khiếu toán.
	Những dạng toán đó là:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình.
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
II. Cơ sở lý luận.
	-Trong quá trình giải toán việc ứng dụng một kết quả đã được biết, được chứng minh vào giải các bài toán cụ thể là vô cùng quan trọng.
	-Nhiều khi việc giải các bài toán này sẽ khó khăn hơn, phức tạp hơn vì lời giải các bài toán không vận dụng được những kiến thức Toán.
	-Việc vận dụng “nhận xét” trên vào giải toán giúp người dạy và người học cảm thấy nhẹ nhàng, đơn giản và hiệu quả hơn.
III. Cơ sở khoa học.
	-Để áp dụng được “nhận xét” trên học sinh chỉ cần nhận dạng bài toán và sau những biến đổi thông thường để có thể áp dụng “nhận xét *” sau đó áp dụng nó trong những trường hợp cụ thể.
IV. Cơ sở thực tiễn:
	-“Nhận xét *” được áp dụng chủ yếu trong các dạng toán.
	Dạng 1: phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình hệ phương trình.
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
	-áp dụng đề tài này nhằm mục đích giảng dạy cho đối tượng là học sinh THCS đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh năng khiếu Toán.
	-Đối với học sinh đại trà đề tài này là tài liệu giúp chơ các em học và tham khảo thêm, biết thêm về ứng dụng của hằng đẳng thức để giúp các em say mê học tập môn Toán.
Phần nội dung
Đề tài
ứng dụng một hằng đẳng thức
Bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
=[(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
=(a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) 
= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
	=> (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0
	=> => 
	áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
	Ta có:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành phân tử
	Bài tập 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
LG ta thấy x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
	Bài tập 2:Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
 LG:
 Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
	Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3= 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2)
	= 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
	Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
	LG: (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.
	= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3
	=x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.
	=3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
	Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
	LG: Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
	=>x+y+z = a+b+c
	=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
	Bài 1: Cho tính P = 
	LG: Từ => 
	=> P = 
	Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 
	LG: Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a+b+c = 0 thì A = 
	Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
	=> A có 2 giá trị: -1 và 8
	Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2.
	Tính P = 
	LG: Đặt a= xy, b = yz, c =zx.
	Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
P = 
	= 
	Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
	Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3
	LG: Ta biến đổi b-c = b-a+a-c
	Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).
	Vì a+b+c=0 -> A=0
	Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = 
	LG: vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B =
	Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức.
	M=
	LG: ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0
	=
	Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c
	=> M = 
	Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức
	A = ;	B=	
	LG: Ta có A = vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
	A = 
	B = 
	Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab
	TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac
	Nên B= ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc
	-> B = 
Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: 
A = 
LG: Đặt B = 
Ta có B . 
= 1 + 
Tương Tự . B .	B. 
	Bậy A = 
	Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +
Dạng 3: Giải phương trình và hệ phương trình
Bài tập 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3.
LG: (3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0
=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>
=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>
áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0
=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2
Vì x;y ẻZ ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1)
chỉ xảy ra trường hợp 	ô	
 Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm
 KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1
Bài 3:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 	 x3 +y3+z3- 3xyz=1
Bài giải : Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 
(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1
Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra
Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1	3
Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0	
Nên x2 +y2 + z2 = 1
giả sử x2 y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1
Nếu không t/m
NếuT/m phương trình
và TH: 	và 
Bài tập 4: Giải hệ phương trình.
BG: Từ a3+b3+c3 –3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac)
	1-3abc=1 (a2+b2+c2-ab-bc-ac)
1-3abc=1-ab-bc-ac
3abc=ab+bc+ac
Từ a+b+c=1 (a+b+c)2=1 2(ac+bc+ac)+a2+b2+c2 =1
2(ab+bc+ac) = 0
ab+bc+ac = 0
từ 1,2 =>3abc =0 
Nếu a=0 =>=> b2+c2+2bc=1+bc => (b+c)2 =1+bc
=> bc=0 =>	hoặc 
Nếu b=0 tương tự ta có 	hoặc 
Nếu c=0 ta có: 	 	hoặc 
Bài 5: Cho
	Tính giá trị của biểu thức P = a2005 + b2006 + c2007
BG: áp dụng bài tập 4 ta có P = 1 với 3 trường hợp.
Bài 6: 
Cho : Tính x3 + y3+ z3 theo a, b, c.
BG: Từ x3 + y3 +z3 – 3xyz = (x+y+z) (x2+y2+z2-xy-yz-xz)
x3+y3+z3 = 3xyz + a[b2 – (xy+yf + xf)]
Từ x+y+z= a => (x+y+z)2 =x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
=> a2 = b2 + 2(xy+yz + zx) => xy+yz+zx =
Từ 
Từ 1,2,3 =>x3 +y3 + z3 = 
=
Dạng 4: Chứng minh hằng đẳng thức
	Bài tập 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc.
	Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
	LG: Ta có a3 +b3+c3 = 3abc 
Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => Là tam giác đều.
	Bài tập 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)
	LG: Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3
	=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)
	= 3(c+d)(ab-cd)
	Bài tập 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
	LG: từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5.
	=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
	=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0
	=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0
	=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0
	=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0
	2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.
Phần kết luận
I. Đề tài này chỉ áp dụng cho đối tượng học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 8,9.
	-Đề tài này cung cấp thêm một phương pháp giúp người dạy và học toán hiểu thêm về những ứng dụng của hẳng đẳng thức và cách khai thác từ một bài toán cụ thể, giúp học toán có hiệu quả hơn.
II. Trong đề tài này tôi đã sử dụng những tài liệu.
1. Căn cứ vào văn bản:	
	Nội quy hướng dẫn về PP đổi mới sự nghiệp GD.
	-NQTW 4 khoá II.
	-NQTW 3 khoá III.
2. Sách nâng cao và PT toán 8 tập 1 TG: Vũ Hữu Bình.
3. Các chuyên đề đại số BDHSG THCS: tg. Nguyễn Thị Thanh Thuỷ.
4. 23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp.
	Tg: Nguyễn Đức Đồng- Nguyễn Vĩnh Cận.
5. Toán nâng cao ĐS8.
6. Phương trình và các bài toán nghiệm nguyên Vũ Hữu Bình. và các tài liệu tham khảo khác
III. Đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn.
	Tiến Thắng, tháng 12 năm 2006
	Người thực hiện
	 Vũ bá Tuấn
bài giảng
Ngày 22/12/2006
ứng dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức 
thành nhân tử- tính giá trị biểu thức
I.Mục tiêu: 
	Giúp học sinh biết áp dụng hằng đẳng thức và kết quả của 1 đẳng thức đã được chứng minh vào phân tích đa thức thành nhân tử và tính giá trị của biểu thức.
	-Qua bài giúp học sinh phân tích đa thức thành nhân tử tính giá trị của biểu thức nhanh hơn, gọn hơn.
	-Học sinh khắc sâu hơn các hằng đẳng thức đáng nhớ.
	-Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, một cách thành thạo, chính xác, khoa học, kỹ năng tư duy lô gíc.
	-Rèn luyện kỹ năng giải toán, tư duy toán học.
II. Phương tiện thực hiện:
	-Giáo viên: giáo án, bảng phụ, STK, thước thẳng phân màu, SGK
	-Học sinh: bảng nhóm phấn.
III. Cách thức tiến hành:
	 Đặt vấn đề – giảng giải vấn đề, tích cực các hoạt động của học sinh, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài dạy:
Hoạt động giáo viên
Hoạt động học sinh
A. Tổ chức
8b
B. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Nhắc lại 7 HĐT đáng nhớ đã học
HS2: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
HS: Nhận xét phát triển của bạn
=>giáo viên kết luận- cho điểm
C. Bài mới.
Hoạt động giáo viên
Hoạt động học sinh
Hoạt động 1: Bài toán 1
GV: Cho học sinh nhóm các hạng tử để xuất hiện hẳng đẳng thức
GV: (a+b)3 = ?
GV: a3 +b3 =?
GV: Hướng dẫn học sinh phân tích
GV: Nếu a3+b3+c3-3abc = 0 thì ta có điều gì?
=> Nhận xét:
GV: Từ nhận xét * trên ta có thể áp dụng vào giải một số bài tập.
Phân tích đa thức sau:
a3 +b3+c3-3abc thành nhân tử.
LG: (a3+b3)+c3-3abc=
=(a+b)3+c3-3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2- (a+b).c+c2-3ab]
=(a+b+c) (a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c) [(a-b)2+ (b-c)2+(a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3+b3+c3 –3abc=0
Thì (a+b+c) [(a-b)2+ (b-c)2+(a-c)2] = 0
=> *
Hoạt động 2: PT Đa Thức thàNh nhân tử
GV: đưa đề bài toán 2 ra bảng phụ
Bài tập 2: Nếu cho a=x-y
b=y-z; c=z-x thì ta có:
a+b+c=0 => bài toán.
Bài toán: PTĐT
GV: quan sát biểu thức trên ta có điều gì?
(x-y3 + (y-z)3 + (z-x)3 thành nhân tử
ta thấy x-y+y-z+ z-x = 0
áp dụng nhận xét * ta có:
=>(x-y)3 (y-z)3 + (z-x)3 = 3(x-y(y-z) (z-x)
GV: Đưa biểu thức trên về dạng.
a3+b3+c3
GV: Nhận xét gì biểu thức vừa biến đổi.
GV: HS phân tích tiếp z2-x2 đề ra kết quả cuối cùng
Bài tập 3: Phân tích đa thức.
(x2+y2)3 + (z2-x2)3-(y2 +z2)3 thành nhân tử
LG: Ta có (x2+y2)3 + (z2-x2)3-(y2 +z2)3
Ta thấy x2+y2+z2-x2-y2-z2= 0
áp dụng nhận xét ta có:
(x2+y2)3 + (z2-x2)3-(y2+z2)3= 3(x2+y2)(z2-x2)(-y2-z2)
Hoạt động 3 :tính giá trị biểu thức
Giáo viên đưa đề bài ra bảng phụ 
Học sinh đọc đề bài.
Bài toán 4: cho xyz 0; 
Tính giá trị của biểu thức
P=
GV: Nhận xét gì biểu thức P?
GV: hãy biến đổi về dạng tổng quát
(HD: nhân tử và mẫu các phân thức với z; x; y)
LG: Ta có áp dụng
Nhận xét => 
Ta có P=
= xyz
=
Vậy P = 3
GV: Đưa bảng phụ- học sinh đọc đề bài.
GV: a3+b3+c3-3abc=0 ta có điều gì?
GV: Để tính giá trị biểu thức A ta tính như thế nào?, tính bao nhiêu TH?
GV: Nếu a+b+c= 0 => A=?
GV: Từ a+b+c= 0 => điều gì?
GV: Nếu a=b=c => A =?
GV: Có bao nhiêu giá trị của A?
D. Củng cố:
GV: Nhấn mạnh nhận xét * 
NX: * giúp chúng ta giải toán nhanh hơn, gọn gàng hơn
NX: Trên giúp ta nhiều dạng toán khác
Bài 5: Cho abc 0; a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
Tính A = 
LG: Ta có a3 +b3+ c3-3abc=0 thì
=>
TH1: nếu a+b+c = 0 thì
A = 
Từ a+b+c = 0 => a+b = -c
TH2: Nếu a=b=c thì
A= (1+1) (1+1) (1=1) =8
Vậy có 2 giá trị của A:
a+b+c= 0 => A = = -1
a=b=c =? A= 8
Hoạt động 4: Hướng dẫn BTVN
E. Hướng dẫn về nhà:
GV: Hướng dẫn bài tập 1
GV: Đưa phương trình trên về dạng a3+b3+c3
Ta thấy 3x-2-x+3-2x-1=0
=> áp dụng nhận xét => phương trình tích
GV: giáo viên về nhà xem 1 số sách tham khảo khác đề có những dạng toán khác phong phú hơn.
1. Giải phương trình.
(3x-2)3 – (x-3)3= (2x+1)3
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
(x+y+z)3- x3-y3- z3
3. Cho a,b,c 0; a+b+c = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức
Phòng giáo dục huyện mê linh
Trường thcs tiến thắng
*************************
A3-B3= ?
đề tài
ứng dụng của hằng đẳng thức
Người thực hiện:vũ bá tuấN
 Năm học :2006-2007