Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên Đại số Lớp 9 - Tô Thị Bình

Mục lục
	Trang
Phần I : Mở đầu 2 
Phần ii : nội dung 
Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 4
Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung đang quan tâm.
Biện pháp 1 : Các dạng phương trình cơ bản 5 
Biện pháp 2: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. Phương pháp 1 : Phương pháp tổng quát: 	14
II. Phương pháp 2 : Sử dụng tính chẵn lẻ	15
III. Phương pháp 3 : Phương pháp phân tích	15
IV. Phương pháp 4 : Dùng bất đẳng thức	17
V. Phương pháp 5 : Phương pháp loại trừ 	20
VI. Phương pháp 6 : áp dụng tính chia hết 	21
VII. Phương Phỏp 7 : Phương Phỏp Lựa Chọn Modulo 
( hay cũn gọi là xột số dư từng vế )	22
VIII. Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố	24
IX. Phương pháp 9 : Đưa về dạng tổng	25
X .Phương pháp 10: Lùi vô hạn( hay cũn gọi là phương phỏp xuống thang) 25
XI. Phương pháp 11: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 	28
XII. Phương Phỏp 12: Sử Dụng Một Mệnh Đề Cơ Bản Của Số Học	29
Biện pháp 3 : Bài tập luyện tập rèn tư duy sáng tạo	37
Phần III: Thực nghiệm sư phạm 	43
Phần IV : – Kết luận	51
Phần V: Tài liệu tham khảo	52
Phần I : mở đầu
1. lý do chọn đề tài
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy logic giải các bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng. 
Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp.
Các dạng toán về số học ở chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán về chia hết, phép chia có dư, số nguyên tố, số chính phương, phương trình nghiệm nguyên.
 Đây là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa phương trình nghiệm nguyên có rất nhiều trong các đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong các đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh .
Song khi giải các bài toán này không ít khó khăn phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay. 
Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên”
Trong quá trình viết đề tài do điều kiện và kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp, chỉ đạo của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu : 
- Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán .
- Biết cách định hướng và giải bài tập ngắn gọn.
- Phát huy trí lực của học sinh tìm hiểu cách giải hay, phát triển bài toán mới.
- Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử.
- Qua đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở bậc THCS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 
Căn cứ vào vai trò và tầm quan trọng của đề tài, về tình hình học tập của học sinh tôi thấy cần nghiên cứu ba nội dung lớn :
Các dạng phương trình cơ bản.
Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.
- Luyện tập và rèn tư duy sáng tạo cho học sinh khi giải bài tập về phương trình nghiệm nguyên
Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu.
Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của trường như sau:
Bài 1: ( 6 đ )
 	a)Tìm x, y є Z biết x – y + 2xy = 6
 	b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = 3
 Bài 2: (4 đ)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 + x + x2 + x3 = 2y
Kết quả thu được như sau: 
Dưới điểm 5
 Điểm 5 - 7
Điểm 8 - 10
Điểm 5 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
6
60
4
40
0
0
4
40
Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có biện pháp giải phương trình nghiệm nguyên đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận . Cũng với bài toán trên nếu học sinh được trang bị các phương pháp “Giải phương trình nghiệm nguyên” thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn.
4-Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- áp dụng vào việc giảng dạy các chuyên đề trong trường học hoặc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các lớp chọn, lớp chuyên PTTH.
- Cụ thể, tôi áp dụng vào việc ôn thi HSG cấp Huyện cho 10 em học sinh Trường THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định.
- Thời gian nghiên cứu có hạn mặc dù được sự góp ý chân thành của nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song vẫn còn nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác và đi sâu hết dạng toán này.
Phần II - Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu
- Căn cứ vào định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong Bộ luật giáo dục năm 2005, Điều 28 đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm tong lớp học, môn học. Bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
- Nội dung kiến thức có liên quan đến đề tài : Ngoài phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mêm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Trong chương trình cơ bản của SGK Toán THCS có đưa giải phương trình tìm nghiệm nguyên nhưng dưới dạng bài tập với số lượng không nhiều. Hơn nữa nhu cầu giải phương trình rất phong phú. Trong các kỳ thi HSG và thi vào 10 các trường chuyên, lớp chọn gần đây có đề cập đến nhiều dạng toán này.
- Xác định mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của vùng kiến thức cần nghiên cứu : Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiền ẩn, bậc nhất, bậc cao. Để giải phương trình đó, ta thường dựa vào cách giải một số phương trình cơ bản và một số phương pháp sẽ được trình bày ở phần sau
- Điều tra thực trạng việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương: Những năm học trước đây khi chưa thực hiện đề tài này,gặp dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên mặc dù thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi nhưng một số em vẫn còn lúng túng hoặc có em nắm được phương pháp nhưng không biết cách trình bày. Nhìn chung việc giải toán về phương trình nghiệm nguyên với các em chưa thật đồng đều, qua khảo sát ban đầu chỉ có :
+ 30% số học sinh giải được bài tập dễ và trung bình.
+ 5% số học sinh giải được bài khó.
+ Số còn lại các em chưa nắm được các phương pháp giải hoặc giải được nhưng chưa diễn đạt được lời giải.
Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung đang quan tâm.
Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Không có cách giải chung cho mọi phương trình, để giải các phương trình đó thường dựa vào cách giải một số phương trình cơ bản và một số phương pháp giải như sau:
Biện pháp 1 : Các dạng phương trình cơ bản
I-Phương trình nghiệm nguyên dạng:
ax + by = c (1) với a, b, c є Z
1.Các định lí:
 a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c.
 b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: 
 Với t є Z, d = (a,b)
2.Cách giải:
 a.Tiến hành qua 5 bước sau: (cách giải chung)
Bước 1: Tìm d = (a,b)
Khi đó ax + by = c Û a1x + b1y = c1
Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1
Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a1 và b1 
Giả sử : > Ta có
 	a1 = q0 + r1
	b1 = r1q1 + r2
	r1 = r2q2 +r3 
	rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1
Bước 3: Tính a0 + = 
Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) của phương trình a1x + b1y = 1
sao cho :
	x0’	= m 	x0’ 	= n
 hoặc 
 y0’ 	= n	y0’	 = m
Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp được (x0’, y0’)
Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ là nghiệm riêng của phương trình
 a1x + b1y = c1
ị nghiệm tổng quát của phương trình là:	x = x0 + b1 t
	y = y0 –a1t (với t є Z )
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên
 5x – 7y = 3
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = 1 . Vậy phương trình có nghiệm nguyên
Để giải ta tiến hành các bước:
- Viết thuật toán Ơclit cho 2 số 5 và 7
7 = 5.1 + 2 ị = 1 + = 
5 = 2.2 + 1
- Tìm nghiệm riêng của phương trình 	5x – 7y = 1
 (x0’, y0’) = (3, 2)
- Tìm nghiệm riêng của phương trình	5x – 7y = 3 
 là (x0, y0) = (9, 6)
ị nghiệm tổng quát của phương trình là:
 	 x = 9 – 7t	hay	x = 7t + 2
 	 y = 6 – 5t	y = 5t + 1 	(t є Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
 6x –14 y = 12
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 ị pt có nghiệm ta tiến hành giải như sau:
Bước 1: 6x –14 y = 12 Û 3x – 7y = 6
Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7 
7 = 3.2 + 1
Bước 3: Tính = q0 = 2 = 
Bước 4: Tìm nghiệm riêng của phương trình
3x – 7y = 1 là (x0’, y0’) = (-2; -1)
Bước 5: Xác định nghiệm riêng của pt 3x – 7y = 6 là (x0; y0) = (-12; -6)
ị Nghiệm tổng quát của phương trình 6x –14 y = 12 là 
	 x = -12 – 7t	hay 	x = 7t + 2
	 y = -6 – 3t	y = 3t 	(t є Z )
* Nhận xét: Trên đây là phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c
Tuy nhiên khi đi vào bài toán cụ thể bằng các kiến thức về chia hết biết khéo léo sử dụng sẽ cho lời giải ngắn gọn.
b.Cách giải thông thường khác (3 bước)
Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)
Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y 
Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên 
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2x + 5y =7 
Hướng dẫn:	Ta có 2x + 5y =7 Û x = 
Û x = 3 – 2y +
Do x, y nguyên ị nguyên. Đặt = t với (t є Z )
ị y = 1 – 2t ị x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
 x = 5t + 1
 y = -2t +1	(t є Z )
Ví dụ ... đo 3 cạnh
 a – c = 1 c = 24	 là 7, 25, 24 
Phần III: Thực nghiệm sư phạm 
I-Mục đích thực nghiệm:
Trong chuyên đề này tôi có soạn hai tiết dạy :"Luyện tập về giải phương trình nghiệm nguyên" và "Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải phương trình nghiệm nguyên"để tôi lên lớp giảng cho 10 em học sinh trong đội tuyển Toán của trường. Qua đó kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh sau khi học cong chuyên đề này.
II - Nội dung thực nghiệm
Tiết 1 : Luyện tập về giải phương trình nghiệm nguyên
1. Mục tiêu : - Rèn cho học sinh kĩ năng giải toán về phương trình tìm nghiệm nguyên thông qua một số bài tập cụ thể.
- Củng cố kiến thức về số chính phương, phép chia hết, phép chia có dư
- Phát huy trí lực của học sinh trong dạy toán
2. Đồ dùng dạy học: Phiếu học tập, bảng phụ
3. Các hoạt động dạy học trên lớp
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Gv ghi bài tập lên bảng
Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy = 6x - 5y - 8
? Để giải phương trình này em làm thế nào ?
? Gọi 1 hs lên bảng trình bày
Hs nhận xét và trình bày vào vở
Yêu cầu hs làm bài 2 :
Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 35x + 20y = 600 (1)
? Bài tập này có giống bài tập trên không?
? Nêu cách giải bài tập này ?
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
? Bài tập này sử dụng phương pháp nào ?
Hs theo dõi và nhận xét
Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy = 6x - 5y - 8
Hs trả lời một trong những cách đã được học. 1 hs lên bảng trình bày
x2 - xy = 6x - 5y - 8 
* x = 5: phương trình vô nghiệm.
* x 
Do nên là ước của 3
Ta có :
x-5
1
-1
3
-3
x
6
4
8
2
y
8
0
8
0
Vậy nghiệm của phương trình là :
(6; 8), (4; 0), (8; 8), (2; 0)
Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 35x + 20y = 600 (1)
Hs trả lời , sau đó lên bảng thực hiện giải
- Bài tập này giống với dạng bài tập giải theo phương pháp tổng quát.
- Ngoài cách trình bày theo cách giải tổng quát, ta có thể trình bày như sau:
Phương trình (1) tương đương với phương trình sau : 7x + 4y = 120 (2)
Vì (7, 4) = 1, 120 nên pt (2) có nghiệm nguyên.
Ta thấy 4y và 120 đều chia hết cho 4, nên 7x cũng phải chia hết cho 4, mà (7, 4) = 1. 
Đặt x = 4t (t) thì y = 30 - 7t.
Do đó phương trình có nghiẹm là :
với (t)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
	5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Sử dụng phương pháp bất đẳng thức ở dạng 2
? 1 hs lên bảng làm
Ta giả sử x ³ y ³ z ³ t ³ 1
Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Û 2 = + + + + Ê 
ị t 3 Ê 15 ị t = 1 hoặc t = 2
* Với t = 1 ta có 	5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz
Û 2 = + + + Ê
ị Ê 15 ị z = 
Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy
Û (2x – 5) (2y - 5) = 65
ị 	x = 35	hoặc 	 x = 9 
 	y = 3	y= 5	
Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng
Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên
* Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz
Û 4 = + + + Ê 
ị Ê Ê 9 ị z = 2 (vì z³ t³ 2)
ị (8x – 5) (8y – 5) = 265
Do x³ y³ z ³ 2 nên 8x – 5 ³ 8y – 5 ³ 11
ị (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm
vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)
= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1)và các hoán vị
Bài tập 4 : Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn sau :
? Bài tập này giải sử dụng phương pháp nào ?
Dựa vào nhận xét nào để giải bài tập này ?
Bài tập 4 : Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn sau :
- Phương Phỏp Lựa Chọn Modulo ( hay cũn gọi là xột số dư từng vế )
- Đối với cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn cú sự tham gia của cỏc số lập phương thỡ modulo thường dựng là vỡ 
Dựa vào nhận xột trờn : 
Cũn ( vụ lớ). 
Do đú phương trỡnh trờn vụ nghiệm .
- Gv củng cố bài học của tiết này và hướng dẫn về nhà
- Xem lại các bài tập đã chữa và làm các bài tập sau :
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a) 2x + 5y = 7	b) xy + x - 2y = 3
c) x2 - 4xy + 5y2 = 169	d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Tiết 2 :
Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải phương trình nghiệm nguyên
I. Mục tiêu dạy học:
1) Thông qua việc giải các bài tập hệ thống và khắc sâu thêm các kiến thức cơ bản về phương trình bậc 2, nghiệm của phương trình bậc hai.
2) Củng cố kiến thức về số chính phương, phép chia hết, phép chia có dư
3) Phát huy trí lực của học sinh trong dạy toán
II- Đồ dùng dạy học: 
Phiếu học tập, máy chiếu giấy trong hoặc bảng phụ
III-Các hoạt động trong giờ: 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ
Giáo viên nêu câu hỏi kiểm tra:
?1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 2 
 a x2 + bx + c = 0 (a ạ 0)?
?2. Sắp xếp phương trình bậc hai sau theo ẩn x; theo ẩn y
 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
?3.Nêu hệ quả của định lý Viet về phương trình bậc hai
Giáo viên nhận xét, đánh giá .
Ba em học sinh lên bảng trình bày.
HS1: Phương trình a x2 + bx + c = 0
 = b2 – 4 ac
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm
Nếu = 0 phương trình có 1 nghiệm kép x = 
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 x1, 2 = 
HS2:
- Đối với ẩn y:
y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0
- Đối với ẩn x:
 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0
HS3: Nếu phương trình a x2 + bx + c = 0 (a ạ 0 ) có hai nghiệm x1 và x2 thì : 
Học sinh đối chiếu kết quả với bài của mình, nhận xét
Hoạt động 2 : Ví dụ
Gviên đặt vấn đề: 
Giải phương trình nghiệm nguyên 
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1)
Gợi ý:
- Viết phương trình (1) thành phương trình bậc 2 ẩn y rồi tính ?
- Nếu pt bậc 2 có nghiệm thì nghiệm được tính bằng công thức nào?
- Do x, y nguyên có nhận xét gì ?
- Viết số 4 dưới dạng tích hai số nguyên?
- Em có nhận xét gì về x – k và x + k - Thay x và k vào (1) tìm y?
*Em hãy thực hiện tương tự với ẩn y?
Đã vận dụng kiến thức nào để giải phương trình đã cho. Yêu cầu HS kiểm tra các bước giải
Qua ví dụ trên em hãy nêu lại phương pháp giải?
( giáo viên đưa lên màn hình tóm tắt theo 6 bước )
Bước 1: Viết phương trình bậc hai theo ẩn x
Bước 2: Tính ị x1, 2 = 
Bước 3: Đặt = k2
Bước 4: Tìm y và k
Bước 5: Thay y và k vào phương trình để tìm x
Bước 6: Trả lời
Học sinh nghe và ghi chép
HS: Ví dụ 1: Giải pt nghiệm nguyên
 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1)
HS: Û y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0
 = x2 – 4
 y1,2 = -(2x + 1) ± (*)
Do x, y nguyên nguyên ị là số chính phương . Đặt = k2 
ị x2 – 4 = k2
Û (x- k)(x+ k) = 4
Ta có 4 = 1.4 = 2.2 = (-1).(-4) = (-2). (-2)
x – k; x + k cùng chẵn ị x – k = x + k = ± 2
 ị k = 0, x = ± 2 thay vào (1) tìm y .
Vậy nghiệm của phương trình:(x, y) = (2, -5);(-2, 3)
HS: Phương trình (1) tương đương với:
 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0
 = y2 + 2y – 11
Do x, y nguyên nguyên ị là số chính phương . Đặt = k2 
 ị (y +1- k)( y + 1 + k) = 12
Mà y +1- k và y + 1 +k cùng chẵn
12 = 2.6 = ( -2). (-6)
 hoặc 
y = 3 hoặc y = - 5 . Thay vào (1)
Vậy nghiệm của phương trình: (x, y)= (2, -5); (-2, 3)
HS: Học sinh suy nghĩ, trả lời
Ví dụ 2: Giải pt nghiệm nguyên 
 x2 –(y + 5)x + 5y + 2 = 0
-yêu cầu học sinh nêu lại phương pháp giải như ví dụ 1?
-Ngoài cách giải theo ví dụ 1 còn cách nào khác không?
-Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 và x2 theo định lí Viet ta có điều gì?
- Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 và x2
-Phân tích số 2 thành tích của hai số nguyên.
-Tìm x1 và x2 sau đó tìm tổng của chúng 
-Trả lời bài toán trên
Hãy nêu lại các bước làm
Bước 1: - Viết hệ quả định lý Viet.
Bước 2: Tìm biểu thức liên hệ gữa x1 và x2
Bước 3: Tìm x1 và x2 sau đó tìm y
Bước 4: Trả lời bài toán
Học sinh nghe và ghi chép
Học sinh trả lời miệng
Học sinh suy nghĩ trả lời.
HS: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 
 x2 -(y + 5)x + 5y + 2 = 0
 Theo định lý Viet:
Ta có: 5x1 + 5x2 – x1x2 = 23
 hay ( x1 – 5)( x2 – 5) = 2
 Nên:
 hoặc 
ị x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ị y = 8 hoặc y = 2
Vậy (x, y) = (7,8); (6,8); (4, 2); (3, 2) là nghiệm của phương trình.
HS: Học sinh trả lời miệng
Hoạt động 3: Luyện tập
Đối với giải nghiệm nguyên của phương trình bậc 2 gồm những phương pháp nào?
Giáo đưa đề bài lên màn hình:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
 x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2)
Gọi học sinh lên bảng trình bày
Tìm nghiệm cuả từng hệ(I,II,III,IV) thay vào phương trình (2) tìm x
Phương pháp1: Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Phương pháp2:Dùng hệ quả của định lý Viet
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
 x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2)
Giải:
Tính = y2 – 24
ị là số chính phương. Đặt y2 – 24 = k 
ị (y-k)(y+ k) = 24 lại có y – k; y + k cùng tính chẵn lẻ 
(I) Ngiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5)
(II) Ngiệm (x,y)= ( -7;-5) ; (-8;-5)
 (III) Ngiệm (x,y)= ( 8;7) ; (13;7)
 (IV) Ngiệm (x,y)= ( -8;-7) ; (-13;-7)
Vậy phương trình có nghiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) ; ( -7;-5) (-8;-5);( 8;7) ; (13;7) ( -8;-7) ; (-13;-7)
Hoạt động 4 Kiểm tra đánh giá
GV phát phiếu học tập yêu cầu HS giải sau đó GV thu phiếu nhận xét
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 a, x2 – 4x- y2 = 1
 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 5x + 7y = 56
Hoạt động 5:Hướng dẫn về nhà
Xem lại vở ghi.
1.Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
 x2 + y2 = x + y + 8
2. Tìm giá trị nguyên của m để 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung
 2x2 + (3m - 1)x – 3 = 0 (1)
 6x2 – (2m – 3) x – 1 = 0 (2)
D. Kết quả thực hiện.
1) Kết quả chung
Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh không những nắm vững cách giải phương trình nghiệm nguyên mà còn vận dụng linh hoạt trong các dạng toán khác.
2) kết quả cụ thể
Kiểm tra 10 học sinh lớp 9 theo các đợt khác nhau dưới dạng phiếu học tậpthu được kết quả sau:
Đề bài
 Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 a, x2 – 4x- y2 = 1
 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 5x + 7y = 56
Dưới điểm 5
 Điểm 5 - 7
Điểm 8 - 10
Điểm 5 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
20
4
40
5
40
8
90
Phần IV : – Kết luận
 Đề tài này đã nhận được thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh nắm được bài và rất hứng thú học tập. Tôi nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú hơn.
 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên là phương pháp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán dạng toán. Song vì thời gian eo hẹp nên đề tài này không thể tránh được những sai sót.
Giao Thuỷ, ngày 1 tháng 8 năm 2010
 Người viết
 Tô Thị Bình
ý kiến đánh giá của Tổ 
ý kiến đánh giá của BGH nhà trường
Phần V: Tài liệu tham khảo
STT
Tài liệu
Tên tác giả
1
Chuyên đề bồi dưỡng số học
Nguyễn Vũ Thanh
2
400 bài toán số học chọn lọc
Vũ Dương Thuỵ
Trương Công Thành
Nguyễn Ngọc Đạm
3
Tìm hiểu phương trình đại số
Vũ Hoàng Lâm
Nguyễn Đễ
4
351 bài toán số học chọn lọc
Nguyễn Đức Tấn
Đặng Anh Tuấn
Trần Chí Hiếu
5
Một số tạp chí toán học