Sáng kiến kinh nghiệm Một vài kinh nghiệm giảng dạy dạng toán chứng minh bất đẳng thức Đại số Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Lê Thị Kim Oanh

Nội dung đề tài	 Trang
Đặt vấn đề
Cùng với sự phát triển của đất nước ta, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các em học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi người giáo viên phải biết chắt lọc ra những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dung kiến thức chính trong bài học giúp học sinh có thể nắm được cái quan trọng, nội dung chính trong bài học đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã học một cách nhanh nhất.
 Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phát triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả. Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống.
 Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thức và không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác.
 	 Do vậy việc tìm tòi biện pháp giải quyết một số hạn chế học sinh thường mắc phải khi giảng dạy học sinh giải toán chứng minh bất đẳng thức là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán.
	Xuất phát từ những vấn đề thực tế, hiểu được những khó khăn của học sinh nên để giúp học sinh phần nào đỡ lúng túng khi làm các bài toán chứng minh bất đẳng thức thì bằng những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm : “ Một vài kinh nghiệm giảng dạy dạng toán chứng minh bất đẳng thức lớp 8” để cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi, học hỏi lẫn nhau trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8.
Giải quyết vấn đề
. Cơ sở lí luận của vấn đề
Bài toán chứng minh bất đẳng thức là một trong những lĩnh vực mà theo tôi là tương đối khó. Bởi vậy phải luyện cho học sinh nhiều để cho học sinh nắm được các dạng toán này nhờ đó có thể giải được nhiều bài tập hơn. Cho nên với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, thông qua các bước tư duy, bước giải sẽ dẫn học sinh có những câu hỏi rồi lại yêu cầu học sinh tự trả lời. Chính vì thế mà giải toán chứng minh bất đẳng thức yêu cầu học sinh phải biết tự đặt vấn đề và tự giải quyết vấn đề trước một điều kiện nhất định của bài toán, góp phần rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và áp dụng vào thực tế cuộc sống, loại bỏ những khả năng không thể xảy ra hay tạo ra một điều kiện phù hợp 1 yếu tố mới có lợi cho bài toán đang giải, làm như vậy cũng chính là giáo dục học sinh theo quan điểm “học đi đôi với hành” “Lí thuyết phải gắn liền với thực tế” 
	Vì vậy việc giải toán chứng minh bất đẳng thức góp phần phát triển khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo bởi khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức, các em phải chú ý vào điều kiện mà bài toán đòi hỏi, xác định mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cần phải chứng minh, từ đó phải huy động tất cả các kiến thức về bất đẳng thức đã học để giải. Như vậy lại một lần nữa học sinh được khắc sâu kiến thức đã có giúp học sinh tự đưa ra những lập luận dựa trên những cơ sở có sẵn để trình bày một lời giải chặt chẽ, lôgic và từ đó học sinh thầy rằng những kết quả mình đã có thật là vững vàng.
2.2. Thực trạng của vấn đề 
	Qua điều tra khảo sát học sinh lớp 8A năm học 2008 – 2009 về giải toán chứng minh bất đẳng thức, kết quả thu được
	Tổng số 33 em, Nam 10, Nữ 23, Dân tộc 2
	Trong đó: 	Giỏi 8 em = 24,2%
	Khá20 em = 60,6 %
	TB 5 em = 15,2 %
 (kết quả khảo sát chất lượng đầu năm)
 * Thực trạng chung:
	Khi chuẩn bị thực hiện đề tài, năng lực giải cỏc bài toỏn chứng minh bất đẳng thức của học sinh là rất yếu. Đa số học sinh cho rằng loại này quỏ khú, cỏc em tỏ ra rất mệt mỏi khi phải làm bài tập loại này. Vỡ thế họ rất thụ động trong cỏc buổi học bồi dưỡng và khụng cú hứng thỳ học tập. Qua quá trình trực tiếp giảng dạy Toán, từ các tiết luyện tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dưỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng, không tìm ra hướng giải quyết hoặc đã tìm ra nhưng không biết làm như thế nào, làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng như các bài kiểm tra 1 tiết thường là không chặt chẽ, không có tính logic nhiều làm cho lời giải một cách rời rạc để nhiều chỗ không hợp lý, đặc biệt là những bài toán khó, những tình huống toán học mang tính thức tiễn 
Mặt khỏc, rất ớt học sinh cú sỏch tham khảo về loại bài tập này. Nếu cú cũng chỉ là một quyển sỏch “học tốt” hoặc một quyển sỏch “nõng cao’’ mà nội dung viết về vấn đề này quỏ ớt ỏi. Lý do chủ yếu là do điều kiện kinh tế gia đỡnh cũn khú khăn hoặc khụng biết tỡm mua một sỏch hay.
	* Chuẩn bị thực hiện sỏng kiến kinh nghiệm:
	Để ỏp dụng SKKN vào trong cụng tỏc bồi dưỡng HS giỏi tụi đó thực hiện một số khõu quan trọng như sau:
	a) Điều tra trỡnh độ HS, tỡnh cảm thỏi độ của HS về nội dung của SKKN; điều kiện học tập của HS. Đặt ra yờu cầu về bộ mụn, hướng dẫn cỏch sử dụng sỏch tham khảo và giới thiệu một số sỏch hay của cỏc tỏc giả để những HS cú điều kiện tỡm mua; cỏc HS khú khăn sẽ mượn sỏch bạn để học tập.
	b) Xỏc định mục tiờu, chọn lọc và nhúm cỏc bài toỏn theo dạng, xõy dựng nguyờn tắc ỏp dụng cho mỗi dạng, biờn soạn bài tập mẫu và cỏc bài tập vận dụng và nõng cao. Ngoài ra phải dự đoỏn những tỡnh huống cú thể xảy ra khi bồi dưỡng mỗi chủ đề.
	c) Chuẩn bị đề cương bồi dưỡng, lờn kế hoạch về thời lượng cho mỗi dạng toỏn.
	d) Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm cựng cỏc đồng nghiệp; nghiờn cứu cỏc đề thi HS giỏi của tỉnh ta và một số tỉnh, thành phố khỏc.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh.
	Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động, giải quyết vấn đề hầu như dựa vào cảm tính. Nắm được sự phát triển tâm lí này, giáo viên cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh tính kỉ luật, khoa họcđồng thời kích thích sự hướng thú say mê học tập của học sinh trong quá trình học tập môn toán. Để làm được điều này là một người giáo viên cần có nhiều biện pháp như: cho học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập dưới hình thức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu những bài toán lí thú, Đặc biệt là phải phân rõ các dạng toán một cách rõ ràng để học sinh dễ hình dung và dễ tiếp thu nó
2.3.2. Phân loại và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập.
Được chia làm 2 phần
+ Giới thiệu kiến thức cơ bản
+ Các bài tập áp dụng
(ở phần này được chia làm các dạng toán để học sinh có hệ thống trong quá trình làm các bài tập)
2.3.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua các dạng bài tập
* Giới thiêu kiến thức cơ bản
a). Định nghĩa
a > b nếu a – b > 0
b). Tính chất (Có 3 tính chất)
- Tính chất 1: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
a > b a + c > b + c
- Tính chất 2: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số dương
 a.c > b.c
- Tính chất 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số âm
 a.c < b.c
Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức cơ bản nhất, là tiền đề để làm các bài tập áp dụng. Trong từng dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã dùng tính chất gì, hướng phân tích bài toán, tìm ra lời giải thì phải hướng dẫn mẫu và cách trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng trong cách trình bày lời giải.
* Các bài toán áp dụng
 1. Khi nào một biểu thức có giá trị âm hoặc dương
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, sao cho:
a). Biểu thức A = 2x – 1 > 0 có giá trị dương
b). Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm
Giải
a). 2x – 1 > 0 2x > 1 x > . Với mọi x > thì A > 0
b). 8 – 2x 4. Với mọi x > 4 thì B < 0
Nhận xét:- ở đây đã dùng chiều ngược lại của tính chất 1 (a – b > 0 a > b)
Dạng 2: Biểu thức đưa về dạng tích
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm
Giải
A < 0 (x - 1) và (x + 3) trái dấu.
Do x – 1 < x + 3 -3 < x < 1
Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trong trường hợp này
-3
1
x < 1 để trắng, x 1 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
x > -3 để trắng, x -3 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
Phần còn lại trên trục số không bị gạch bỏ chính là phần nghiệm chung.
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm trên trục số)
Nhận xét: Tập cho học sinh khả năng viết gọn tập nghiệm bằng cách dùng trục số
Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x2 – 3x có giá trị dương?
Giải
Biến đổi B = x(x - 3).
Cách 1: B > 0 khi các thừa số x, x – 3 cùng dấu. Do x – 3 < x nên
TH1: Cùng dương 0 < x – 3 < x x < 3
TH2: Cùng âm x – 3 < x < 0 x < 0
Cách 2: chú ý: x = 0 hoặc x = 3 làm cho các thừa số x và x – 3 bằng 0, do đó ta xét 3 khoảng giá trị của x
a). Với x 0
b). Với 0 < x < 3 thì hai thừa số trái dấu nhau B < 0
c). x > 3 thì hai thừa số cùng dường B > 0
Kết luận: Vậy B > 0 x > 3 hoặc x < 0
Có thể tổng hợp các kết quả trên vào 1 bảng xét dấu như sau:
x
0
3
x
-
0
+
+
x - 3
-
-
0
+
x(x - 3)
-
0
+
0
+
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm bằng cách dùng bảng)
Nhận xét: - Rèn cho học sinh thêm một cách giải khác bằng cách dùng bảng xét dấu. 
	- Một bài toán không chỉ có 1 cách giải mà có thể có nhiều cách, tuỳ vào từng bài toán mà chúng ta có thể chọn 1 trong những cách đơn giãn để trình bày.
	- Một số bài toán muốn đơn giản thì cần phải quan sát bài toán, có thuộc vào các bài toán giải bằng phương pháp đặc biệt không. Có những bài toán thì cần phải phân tích từ bên trong những cũng có những bài toán cần phải phân tích từ phía ngoài mới tìm ra được lời giải hay.
Dạng 3: Biểu thức đưa về dạng thương
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = có giá trị âm.
Giải
A < 0 x + 3 và x – 1 trái dấu. Do x – 1 < x + 3
 -3 < x < 1
Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu hoặc bảng xét dấu để thu gọn tập nghiệm, học sinh có thể thấy được việc dùng trục xét dấu nó đơn giả ... ạn biểu thức x2. Biểu thức này có giá trị dương khi x 0. Có giá trị bằng 0 khi x = 0. Như vậy biểu thức x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất. Thật vậy, giả sử x2 có giá trị lớn nhất là m tại x1 thì x2 cũng bằng m tại x2 là số đối của x1. Giả sử x1 > 0, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một giá trị x3 mà . Ta chọn x3 > x1 > 0 khi đó . Mà nên > m , trái với điều giả sử m là giá trị lớn nhất của biểu thức.
	Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) , ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra .
	Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức f(x) , ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra .
	Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chẳng hạn ta có 0. Muốn dấu “=” xảy ra ta phải có x2 + 3 = 0, điều này không thể xảy ra vì x2 + 3 3 với mọi x. Như vậy mặc dù (x2 + 3) 0 nhưng 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x2 + 3)2, GTNN của biểu thức này là 9 khi x = 0.
	Một số ví dụ khác: xét biểu thức x2 + (x - 2)2. Ta cũng có x2 + (x - 2)2 0 nhưng dấu đẳng thức không xảy ra. GTNN của biểu thức này là 2 khi x = 1.
Phương pháp:
	Để chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức:
x2 0 ; |x| 0
	Để chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức:
-x2 0 ; -|x| 0
	Sau đây là một số ví dụ về việc sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)2 – 5
Giải
Ta có: (x + 3)2 0 x R. 2(x + 3) 0 2(x - 5) – 5 -5 (Sử dụng tính chất 1) .
TGNN của A = 5 x = x + 3 = 0 x = -3
Chú ý: Có những biểu thức không có GTLN và GTNN
Chẳng hạn A = 4x ; B = . Tuy nhiên nếu xét các giá trị của biến trong một tập hợp hẹp hơn, biểu thức là có thể có GTLN hoặc GTNN. Chẳng hạn, xét x R; x Q; x Z thì biểu thức x + 5 không có GTNN những nếu xét x N thì biểu thức đó có GTNN bằng 5 với x = 0.
Ví dụ 8: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó.
Giải
Biến đổi D = = 
D lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
TH1: x > 4 < 0	(1)
TH2: x > 0 > 0. Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mộu 4 – x nguyên dương, nhỏ nhất khi 4 – x = 1 x = 3. Khi đó
	(2)
Từ (1) và (2) 10. Vậy D lớn nhất bằng 11 tại x = 3.
Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu đều có biến bậc nhất thì phương pháp chung là phải là sao mất biến ở tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt,.. ) còn biến ở mẫu số.
- Dựa vào điều kiện của đề bài để đưa ra kết quả.
 Ví dụ 9 :
 Tìm giá trị lớn nhất của 
 S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
 Giải : 
 Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
 x+ y + z 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
 Vậy S 
 Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
 Ví dụ 10 : Cho xy+yz+zx = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 Giải : 
 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 Ta có 
 (1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
 4) Phát triển bài toán
Bài 1: Tính tổng ( n là số tự nhiên, n > 0 )
a, 
Gải
*Ta có thể tìm ra nhiều bài toán mới dưới đây
Bài 2: Nhận xét từ đó ta có bài toán 2 này như sau
Chứng minh rằng
Bài 3: Ta để ý thấy 
( với n > 1) 
 ( với n > 1) 
Nên A > C. Mà A < 1 từ đó ta có bài toán 3 như sau
Chứng minh rằng
 ( với n > 1)
Bài 4: Ta đặt vấn đề: liệu nửa dãy của C với n lẻ có nhỏ hơn hay không?
 có nhỏ hơn hay không? 
Vậy ta có bài toán 4 như sau
Chứng minh rằng
 ( với n ≥ 1)
Bài 5: Ta có nhận xét
Từ đó ta có bài toán mạnh hơn bài toán 4
Chứng minh rằng
 (với n ≥1)
Bài 6: 
Suy nghĩ tương tự như bài toán 4 với n chẵn, ta có bài toán 6.
Chứng minh rằng
 (với n ≥1)
Vì 
( xem bài 2)
Bài 7: Xem lại bài 3 
 ( với n > 1)
 Ta nghĩ liệu có bài toán nào mạnh hơn hay không?
Xuất phát từ:
Như vậy ta có bài toán 7
Chứng minh rằng
 ( với n>1) 
Bài 8: 
ở bài toán 7 ta mới chỉ xét n > 1, nếu xét thêm
 n = 1 ( cộng thêm hai vế với 1 ). Ta có bài toán 8: Chứng minh rằng
 ( với n ≥1 )
Bài 9: Bài toán 7 các số hạng ở mẫu có dạng bình phương, nếu các số hạng ở mẫu có dạng lập phương thì sao?
 có nhỏ hơn không?
Nhận xét:
Ta có bài toán 9, Chứng minh rằng
 với n ≥ 2
Bài 10: 
Các bài toán ở trên đều có dạng tổng. Vậy biểu thức ở dạng tích thì sao?
Ta thử xét biểu thức
Mà theo bài toán 5 ta có:
. Vậy ta có bài toán 10.
Cho biểu thức
 Với n ≥ 1. Chứng minh rằng 
5) Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 1 :
 Giải phương trình sau 
 Giải :
 Ta có 
 Vậy 
 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 Vậy khi x = -1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
 Ví dụ 2 :
 Giải phương trình 
 Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1
 Mặt khác 
 Dấu (=) xảy ra khi y = -
 Vậy khi x =1 và y =-
 Vậy nghiệm của phương trình là 
 Ví dụ 3 :
 Giải hệ phương trình sau:
 Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có 
Vì x+y+z = 1)
 Nên 
 Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
 Vậy có nghiệm x = y = z =
 Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau
 Từ phương trình (1) hay 
 Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 2
 Nếu x = - thì y = -2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
6) Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
 Giải :
 Vì x,y,z là các số nguyên nên
 (*)
 Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
 Ví dụ 2: 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
 Giải :
 Không mất tính tổng quát ta giả sử 
 Ta có 
 Mà z nguyên dương vậy z = 1
Thay z = 1 vào phương trình ta được 
 Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương
 Nên y = 1 hoặc y = 2
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có x = 2
 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình
 Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình
 là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)
 Ví dụ 3 :
 Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình 
 (*)
 Giải :
 (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa
 (*) Với x > 0 , y > 0 
 Ta có 
 Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương )
 Ta có 
 Nhưng 
 Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả
 Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Những kinh nghiệm nờu ở trờn đó phỏt huy rất tốt năng lực tư duy, độc lập suy nghĩ cho đối tượng HS giỏi. Cỏc em đó tớch cực hơn trong việc tham gia cỏc hoạt động xỏc định hướng giải và tỡm kiếm hướng giải cho cỏc bài tập.Qua đề tài này, kiến thức, kỹ năng của HS được củng cố một cỏch vững chắc, sõu sắc; kết quả học tập của HS luụn được nõng cao. Từ chỗ rất lỳng tỳng khi gặp cỏc bài toỏn biện luận, thỡ nay phần lớn cỏc em đó tự tin hơn , biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giải thành thạo cỏc bài tập chứng minh mang tớnh phức tạp.
3. Kết luận
Việc phõn dạng cỏc bài toỏn chứng minh bất đẳng thức đó nờu ở trờn nhằm mục đớch bồi dưỡng và phỏt triển kiến thức kỹ năng cho HS vừa bền vững, vừa sõu sắc; phỏt huy tối đa sự tham gia tớch cực của người học. Học sinh cú khả năng tự tỡm ra kiến thức,tự mỡnh tham gia cỏc hoạt động để củng cố vững chắc kiến thức,rốn luyện được kỹ năng. Sỏng kiến kinh nghiệm cũn tỏc động rất lớn đến việc phỏt triển tiềm lực trớ tuệ, nõng cao năng lực tư duy độc lập và khả năng tỡm tũi sỏng tạo cho học sinh giỏi. Tuy nhiờn cần biết vận dụng cỏc kỹ năng một cỏch hợp lý và biết kết hợp cỏc kiến thức cơ bản hoỏ học, toỏn học cho từng bài tập cụ thể thỡ mới đạt được kết quả cao.
Trong quỏ trỡnh giảng dạy tụi đó vận dụng đề tài này và rỳt ra một số kinh nghiệm thực hiện như sau:
	- Giỏo viờn phải chuẩn bị thật kỹ nội dung cho mỗi dạng bài tập cần bồi dưỡng cho HS. Xõy dựng được nguyờn tắc và phương phỏp giải cỏc dạng bài toỏn đú.
	- Tiến trỡnh bồi dưỡng kỹ năng được thực hiện theo hướng đảm bảo tớnh kế thừa và phỏt triển vững chắc. Tụi thường bắt đầu từ một bài tập mẫu, hướng dẫn phõn tớch đầu bài cặn kẽ để học sinh xỏc định hướng giải và tự giải, từ đú cỏc em cú thể rỳt ra phương phỏp chung để giải cỏc bài toỏn cựng loại. Sau đú tụi tổ chức cho HS giải bài tập tương tự mẫu; phỏt triển vượt mẫu và cuối cựng nờu ra cỏc bài tập tổng hợp.
	- Mỗi dạng bài toỏn tụi đều đưa ra nguyờn tắc nhằm giỳp cỏc em dễ nhận dạng loại bài tập và dễ vận dụng cỏc kiến thức, kỹ năng một cỏch chớnh xỏc; hạn chế được những nhầm lẫn cú thể xảy ra trong cỏch nghĩ và cỏch làm của HS.
	- Sau mỗi dạng tụi luụn chỳ trọng đến việc kiểm tra, đỏnh giỏ kết quả, sửa chữa rỳt kinh nghiệm và nhấn mạnh những sai sút mà HS thường mắc. 
Qua bài kiểm tra khảo sát cuối tháng 4 năm học 2008 – 2009 về giải toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh lớp 8A, kết quả thu được
	Tổng số 33 em, Nam 10, Nữ 23, Dân tộc 2
	Trong đó: 	Giỏi 16 em = 48,5%
	Khá14 em = 42,4 %
TB 3 em = 9,1 % 
Với kết quả đó đạt được. tụi cú nguyện vọng tiếp tục nghiờn cứu cỏc dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức ngay từ lớp 8 ở nhiều dạng khỏc nhau hơn nữa để học sinh cú được kĩ năng thành thạo linh hoạt khi giải dạng toỏn này, để sang lớp 9 học sinh cú thể giải bài tập dạng này ở mức độ cao và đa dạng hơn.
 Bản thân tôi ít nhiều qua ba năm cũng đã cố gắng thể hiện chuyên đề này tại trường dù sao vẫn còn nhiều điều phải học tập và phấn đấu để đạt kết quả cao hơn. Nhưng tôi vẫn mạnh dạn áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này áp dụng vào việc giảng dạy, ít nhiều có kết quả với đối tượng học sinh tôi được phân công giảng dạy.
	Trong thực tế việc soạn bài rất cần cú thời gian và tài liệu tham khảo mà tài liệu thỡ chưa cú nhiều, thời gian thỡ cú hạn, vỡ vậy bản thõn tụi rất mong được sự quan tõm, tạo điều kiện của cỏc cấp lónh đạo để chỳng tụi cú đủ điều kiện và khả năng đỏp ứng được nhu cầu đề ra.
 Trong khi viết đề tài này chắc chắn tụi chưa thấy hết được những ưu điểm và tồn tại trong tiến trỡnh ỏp dụng, tụi rất mong muốn được sự gúp ý phờ bỡnh của cỏc đồng nghiệp để tôi hoàn thành sáng kiên kinh nghiệm một cách tốt hơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Bất đẳng thức chọn lọc - Nguyến Vũ Thanh – NXB Gi ỏo d ục – 1995.
2. Bài tập nõng cao và một số chuyờn đề toỏn 8 - Bựi Văn Tuyờn – NXBGD- 2006.
3. N õng cao v à ph ỏt triển toỏn 8 - V ũ Hữu Bỡnh – NXBGD - 2006
4. Toỏn nõng cao và cỏc chuyờn đề đại số 8 - V ũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm- NXBGD- 2004
5. 500 bài toỏn chọn lọc 8 - Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngụ Long Hậu – NXB Đại học sư phạm – 2004
 Mai Sơn, ngày 30 tháng 5 năm 2009
Xác nhận của nhà trường Người viết
 Lê Thị Kim Oanh