Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9
I. Khái niệm phương trình vô tỉ 
1. Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .
2. Các ví dụ : 
a) 
b) 
c) =3
d) 
3.Phương pháp chung : 
Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phương trình .
 	 - Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. 
 	 - Giải phương trình vừa tìm được .
 - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
3.3. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản:
a. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình ):
a.1. Các ví dụ : 
* Giải phương trình dạng : 
Ví dụ 1: Giải phương trình : (1) 
 ĐKXĐ : x+10 x-1
 Với x -1 thì vế trái của phương trình không âm .Để phương trình có nghiệm thì x-10 x1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình :
 x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0 
 x(x-3) = 0 Û 
 Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x1
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
(1)
 ĐKXĐ : (2)
 Bình phương hai vế của (1) ta được : 
 Phương trình này có nghiệm và.Chỉ có thoã mãn (2) .
 Vậy nghiệm của phương trình là 
* Giải phương trình dạng : 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
 (1)
 ĐKXĐ: 
 Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được :
 Phương trình này có nghiệm thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 4: Giải phương trình: (1)
 Lập phương trình hai vế của (1) ta được: 
 (x-1) (7- x) = 0
 x =-1
 x =7 (đều thoả mãn (1 )).
Vậy là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng : 
Ví dụ5: Giải phương trình -= 
 =+ (1)
 ĐKXĐ: 
Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được :
 (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
 5x2 - 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x1 = và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x1 = và x2 = 8 là nghiệm của phương trình.
* Giải phương trình dạng : + 
Ví dụ 6: Giải phương trình : + = + (1)
 ĐKXĐ : Û Û x ≥ -1 (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2 = x+2 + x+ 5 + 2
 2+ = (3)
Với x -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được
 = 1- x
Điều kiện ở đây là x -1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
 Û x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).
a.2. Nhận xét : 
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn 
Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3.....) 
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau .
a.3. Bài tập áp dụng: 
1. = x- 2
2. = x+ 1
3. + =3
4. - =1
5. = - 
6. + = 
7. + = + 
b. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1. Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: (1) 
 ĐKXĐ:	 	 Û x ≤ 4
Phương trình (1) = -x + 4
 Û 
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x 4 ).
Ví dụ 2 : Giải phương trình : + = 5
 ĐKXĐ: R
Phương trình tương đương : + = 5
 Lập bảng xét dấu :
	 x	2	4
	 x- 2	 -	0	 +	 +
	 x- 4	 -	 -	0 +
 Ta xét các khoảng :
 + Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5
 x = 0,5(thoả mãn x 2)
+ Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm
 + Khi x > 4 ta có (2) 2x – 6 =5
 x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phương trình: + = 1
 ĐKXĐ: x 1
Phương trình được viết lại là :
 + = 1
 Û + = 1
 + =1 (1)
 - Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- + 3 - = 1
 =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét
 - Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm
 - Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phương trinh vô nghiệm
 Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5 x 10
b.2. Nhận xét :
Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức = 
- Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm .
b.3. Bài tập áp dụng : 
1. + = 8
2. + = 
3. + = 5
4. + = 2
c.Phương pháp đặt ẩn phụ:
c..1. Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + =33
 	 ĐKXĐ : x R
 Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + - 42= 0 (1)
 Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0
 y1 = 6 , y2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
 Từ đó ta có =6 2x2 + 3x -27 = 0
 Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 = -
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình: + = 12
 ĐKXĐ : x o
 Đặt = y 0 = y2 ta có phương trình mới
y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
 ị = 3 x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình: + - = 2 (1) 
 ĐKXĐ : Û Û -1 ≤ x ≤ 3
 Đặt + = t 0 t2 = 4 + 2
 = (2) .thay vào (2) ta được
 t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0 Û 
 + Với t = 0 phương trình vô nghiệm.
 +Với t = 2 thay vào (2) ta có :	 = 0 x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4: Giải phương trình : 5 = 2( x2 + 2) 
Ta có = 
Đặt = a 0 ; = b 0 và a2 + b2 = x2 + 2
 Phương trình đã cho được viết là
 5ab = 2(a2 + b2)
 (2a- b)( a -2b) = 0
 Û 
 + Trường hợp: 2a = b
 2 = 
 4x + 4 = x2 – x +1
 x2 – 5x -3 = 0
 Phương trình có nghiệm x1 = ; x2 = 
 + Trường hợp: a = 2b
 = 2
 x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
 4x2 -5x + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= và x= 
Ví dụ 5: Giải phương trình: + 2 (x+1) = x- 1 + + 3 (1) 
 Đặt = u 0 và = t 0
 ĐKXĐ: -1 x 1 thì phương trình (1) trở thành.
 u + 2u2 = -t2 + t +3ut
 (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
 (u-t)(2u – t +1 ) = 0
 Û Û 
thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phương trình: + = 
 ĐKXĐ : x 1
Đặt = t 0 x = t2 + 1 phương trình đã cho trở thành
+ = 
 + = 
 (t 1) 	 Û Û ĐkXĐ: x≥ 1
 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2. Nhận xét : 
Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết cách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp như : 
Đặt ẩn phụ để được phương trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đưa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) 
c.3. Bài tập áp dụng: 
1/ x2 – 5 + = 7 
2/ x - 2x = 20
3/ - 3 =20 
4/ = 2x2 – 6x +4
5/ + = 
d. Phương pháp đưa về phương trình tích :
d.1.Các ví dụ : 
Ví dụ 1: Giải phương trình: = 3 + 2 - 6 (1)
 ĐKXĐ : x -3
Phương trình (1) có dạng :
- 3 + 2 +6 = 0
 (-2() =3
 (() =0
 Û Û	 ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình: + =1
 ĐKXĐ : x -2
 Đặt = t 0 Khi dó = 
Phương trình (1) + t = 1
 = 1- t
 3- t3 = (1-t) 3
 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
 (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ3: Giải phương trình: (4x-1) = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) 
Đặt =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x = là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ4: Giải phương trình: ()() = 2x
 ĐKXĐ: -1 x 1 (1)
đặt = u (0 u )
suy ra x = u2 -1 phương trình (1) trở thành :
(u -1 ) ( = 2 ( u2 -1)
 (u -1 ){ ( - 2 (u+1)} = 0
 (u-1) ( = 0 
 Û 
 (+) u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
 (+) = 0 = 2u + 1 (thoả mãn vì u 0 ) Û 5u2 + 4u - 1 = 0
ị nên có x = u22 -1 = ()2 – 1 = thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = .
d.2.Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau .
+ Tìm tập xác định của phương trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi là phương trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;.. là những phương trình quen thuộc. 
+ Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0 
g( x) = 0 ;.. thuộc tập xác định .
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
d.3.Bài tập áp dụng:
1. = 0
2. - 2 = 
3. x(x+5) = 2
4. 2( x2 + 2x + 3) = 5
e. Phương pháp đưa về hệ phương trình :
e.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: - =2 
 ĐKXĐ: 0 x2 15
 Đặt: = a (a 0) (* )
 = b ( b 0) ( ** )
Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình :
 Û Û 
Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 = 	 x2 = x = (ĐkXĐ ) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
Ví dụ 2: Giải phương trình: = 2 (1) 
 ĐKXĐ : 3 x 5
 Đặt 
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
 ị ut = 0 Û 
 Û (thõa mãn điều kiện )
 	 Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ3: Giải phương trình: + = 1
 ĐKXĐ: x 1
 Đặt 
Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1
Phương trình đã cho đợc đa về hệ: 
Từ phương trình (1) u = 1 – t .Thay vào phương trình (2) ta có :
( 1 – t )3 + t2 = 1
 t( t2 - 4t + 3 = 0
 Û 
 Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x 1 ) là nghiệm của phơng trình đã cho .
Ví dụ 4: Giải phương trình: + + = 1 
 Đặt: = a ; = b nên ta có: 
a2 = 
 b2 = 
ab = . Ta được phương trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
Ta được phương trình : a3 – b3 = 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
e.2.Nhận xét : 
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
 	+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình 
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
e.3.Bài tập áp dụng: 
Giải các phơng trình sau : 
1. + = 2
2. 2 = x3+ 1
3. + =1
4. + = 
5. = x
g. Phương pháp bất đẳng thức :
g.1. Phương pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phương trình vô nghiệm .
g.1.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình: - = (1)
 ĐKXĐ: Û 	 Với x 1 thì x < 5x do đó < 
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
 Vậy phương trình vô nghiệm .
Ví dụ2: Giải phương trình:
 	 + + = 3 + 
 + + = 3 + (*)
 Mà + + + + 1 = 3 + 
 Vế phải của phương trình đã cho lớn hơn vế trái .
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
g.1.2.Bài tập áp dụng: 
1. - = 2
2. = x - 2
3. + = x2 - 6x +13
g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
g.2.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: + = 4 – 2x – x2 (1) 
Ta có vế trái của (1)
 + = + + = 5
Vế phải của (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ2: Giải phương trình: + = x2 -10x + 27 (1) 
ĐKXĐ: 4 x 6 
Xét vế phải của (1) ta có :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 với mọi x và vế trái của (1) 
()2 =1 hay + 2
Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :
Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**) 
Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)
g.2.2. Bài tập áp dụng : 
1. + = 5
2. + = 3-4x -2x2 
3. = 
h. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
h.1.Các ví dụ : 
 Ví dụ1: Giải phương trình : + = 3 (1) 
ĐKXĐ: x 1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1) 
Với x > 3 thì > 1 , > 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với x< 3 và x -1 -1 x 3 thì < 1, < 2 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
 + 2 + + = + 9 (1) 
 ĐKXĐ: 
 Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
h2.Nhận xét : 
Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .
h.3.Bài tập áp dụng : 
1. + 3 + = 8
2. + = + 
i. Phương pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt
i.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình 
 + + = (x+y+z)
 ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996
Phương trình (1) x+y+z = 2 + 2 + 2 
 + + = 0
Û Û ( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình: + = 4 – 2x – x2
 + = 5 – (x+1)2 (*)
Vế trái của (*) + 2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 – (x+1)2 5
Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phương trình (*) bằng nhau và bằng 5 x+ 1 = 0 x = -1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phương trình: + =2 (1)
ĐKXĐ: x>
áp dụng bất đẳng thức 2 với a,b > 0
xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b
Dấu “=” của (1) xảy ra khi x= x2 - 4x +1 = 0 (do x> )
Giải phương trình này ta tìm đợc x= (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x= là nghiệm của phương trình.
i.2. Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau : 
 + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a 
(a là hằng số ) 
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời 
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m hoặc h (x) m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
i.3. Bài tập áp dụng: 
1. = 3 - 
2. + = x2 -12x + 40
3. + + = 3
4. = 
k. Một số phương pháp khác :
k.1.Phương pháp miền giá trị : 
Ví dụ1: Giải phương trình: + (1)
Ta tìm miền giá trị của hàm số :
y = + trên tập xác định ta có:
y, = > 0 với mọi x 
Do hàm số y liên tục và đồng biến trên nên miền giá trị của hàm số là hay . Suy ra y min = và 
ymax = 2 + với mọi x 
Để phương trình (1) có nghiệm thì y min 9 ymax nhưng điều này không xảy ra vì
y min = < 9 và ymax = 2 +< 9
Do đó phương trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x để y(xi) = 9
k.2.Phương pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 +1 = 2 (1) 
Ta có: (1) 
 Đặt y = hàm số có đạo hàm y, = 0 với mọi x nên đơn điệu tăng và liên tục trong R.
 ịy = có hàm ngược y = (vì y = x = )
 Do đó nghiệm của phương trình là cũng là nghiệm của phương trình = x x3 -2x + 1 = 0 x = 1 hoặc x = .
 Vậy nghiệm của phương trình là x= 1 và x = .
k.3. Nhận xét: 
Phương pháp miền giá trị và phương pháp hàm số ở trên mang nội dung kiến thức ở bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy ở bậc THCS mà chỉ dành cho giáo viên dạy ở bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm cách đa về những phương pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS .
Chẳng hạn như ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phương trình nh sau:
 x3 + 1 = 2
Đặt t = 2x -1 = t3 
Ta có hệ: x3 + 1 = 3t 
 2x -1 = t3
Û x3 – t3 + 2 (x-t) = 0
Û x1 =1 ; x2,3 = .
Bài tập vận dụng: