Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

A: Đặt vấn đề
Toán học là một môn khoa học tự nhiên , toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lình vực khoa học , toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú , trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
	Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí .
	Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và được sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
	Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng ......và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . 
Qua đề tài ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này , khi nghiên cứu không tránh khỏi còn những hạn chế rất mong được sự góp ý của các thày cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn , tôi xin chân thành cảm ơn 
B giải quyết vấn đề
phần I: điều trathực trạng trước khi nghiên cứu
Khigiảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập ,hay định hướng cách làm ,đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình 
Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy 
Số lượng học sinh 
Điểm giỏi 
Điểm khá 
Điểm trung bình
Điểm yếu 
Điểm kém
30
0
5
6
13
6
 Trước vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức là một việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức về bất đẳng thức , taođiều kiện cho học sinh khi làm bài tập về bất đẳng thức 
Phần II: các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp điều tra 
Phương pháp đối chứng 
Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Phần III: nội dung của đề tài
 i : Các kiến thức cần lưu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức 
	+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b 
	+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
	+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a < b,
	+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a > b ,
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
	a, Tính chất 1: a > b b < a 
	b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c 
c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c
	 Hệ quả : a > b a - c > b - c 
 a + c > b a > b - c 
	d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d 
 a > b và c a - c > b - d 
	e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd 
 a > b và c ac < bd 
	f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
	g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn 
 a > b an > bn với n lẻ . 
	h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 
3, Một số bất đẳng thức thông dụng :
	a, Bất đẳng thức Côsi :
 Với 2 số dương a , b ta có : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
	b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
 Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 Dấu đẳng thức xảy ra 
	c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0
II : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa 
	- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 .
	- Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
	- Ví dụ : 
Bài 1.1 :
 Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)
Giải : 
 Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
 = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z 
 = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
 = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
 Do (x - 1)2 0 với mọi x
 (y - 1)2 0 với mọi y
 (z - 1)2 0 với mọi z
 	=> H 0 với mọi x, y, z 
 Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
 Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1.
Bài 1.2 :
 Cho a, b, c, d, e là các số thực :
	Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Giải :
 Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
	 = ()2 + ()2 + ()2 + ()2
 Do ()2 0 với mọi a, b 
 Do()2 0 với mọi a, c 
 Do ()2 0 với mọi a, d
 Do ()2 0 với mọi a, e
 => H 0 với mọi a, b, c, d, e 
 Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = 
Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức :
Giải : 
 Xét hiệu : H = 
 = 
 = . Với mọi a, b .
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
	- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .
	- Một số bất đẳng thức thường dùng : 
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
.
 Ví dụ :
Bài 2. 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 
Giải:
	Dùng phép biến đổi tương đương ;
	 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 
 ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 
 ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab
 	Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Bài 2. 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 
 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Giải:
 	Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = 
 => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc 
 => a + b abc 
 Tương tự : b + c abc 
 c + a abc 
 => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Bài 2.3 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 ; trong đó a > 0 ; b > 0
 Giải : 
	Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0
 ú .
 ú a2 - ab + b2 
 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 ú 3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 
Bài 2.4:
 Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Giải :
 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0
 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
Bài 2.5 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải : 
 Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 
 Ta có : 
 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 3(a2 - 2ab + b2 ) 0
 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 
 => 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài 2.6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
 Giải : 
 Dùng phép biến đổi tương đương :
 ú ( 0
 ú 
 ú 
 ú 
 ú 
 Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : 
3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
	- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , 
 Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy 
 Với a, b > 0 , 
 Các ví dụ :
Bài 3.1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
 Giải
 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : 
 a + (b + c) ú 
 Tương tự ta thu được :
 , 
 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Bài 3.2:
 Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : 
 x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : 
	áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 
 => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25
 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú 
 Điều kiện : 
Bài 3. 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải 
 a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => 
 => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Bài 3.4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
	 Chứng minh rằng : 
Giải : 
 Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 =
 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 
 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
Bài 3.5 
 Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải
 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
 => (x + y)( ) 4 
 => 
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : 
	- Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập .
 Các ví dụ : 
Bài 4.1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . 
 Chứng minh rằng : x4 + y4 2
Giải 
 Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2
 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)
 Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy 
 ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2
 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 
 ú x2 + y2 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 4.2:
 Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : 
 (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
 Giải : 
 Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
 Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
 Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) 
 ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
 Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 
 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 4.3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
 2a3 +  ... g trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R 
Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác ABCnếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm 0 nằm ở một trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC . Giả sử tâm 0
 nằm trong tam giác GAB thì 0A +0B=2R và GA+ GB > 2R mà GA=AA1=ma ,GB=BB1 =mb
Nên GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R 
Mà trong tam giác 0CC1 có CC1 >0C mc >R 
Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R .
Vậy ma+mb+ mc >4R 
Bài 10. 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh AB và AC tại M và N , chứng minh rằng MB+NC<
Giải
 Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn tâm 0 tính chất tiếp tuyên cho ta 
 MB=MI ,NC=NI 
Từ đó MN=MB+NC nhưng tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN 
 Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC 
MN< 
Ngoài ra trong tam giác vuông AMN ta cũng có cạnh huyền MN>AM và MN> AN 2MN > AM+AN 
Vì MN=BC+CN 
Nên 3MN > AM+AN +BM+CN do đó 3MN > AB+AC MN >
Vậy MB+NC<
 11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó .
 iii : ứng dụng của bất đẳng thức 
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
	- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Giải
 B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Giải 
 a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 
 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 
 (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 .
 => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải : 
 a, áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 => C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : 
 Minf(x) = + + + 
Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c
Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz 
 Giải : 
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự : 2
 2
 Từ đó suy ra : P = xyz 
 MaxP = khi x = y = z = 
Bài 6 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = 
Giải: 
 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)
 => a2 + b2 + c2 
 Tương tự : 3
 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 9
 => 81
 => 27
 F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 7 : Cho G = 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của G :
 Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 
 Ta có : G = + + 
 Theo BĐT Cụsi ta cú : => 
Tương tự : ; 
 => G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 .
 b. Tìm giá trị lớn nhất của K = 
 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
 - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
 	 Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) 
 => phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
 => phương trình vô nghiệm .
 - Các ví dụ : 
Bài 1 : Giải phương trình : 
 13 + 9 = 16x
 Giải: 
 Điều kiện : x 1 (*)
 Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2.
 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra 
 ú ú x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = .
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Giải : 
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ú + 2
 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) ú + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình :
 + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : 
 + = 5
 HD : 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : 
 - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 => a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 - Các ví dụ : 
 Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
 (1) ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*) 
 (2) ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2 : Giải hệ phương trình : 
 Giải : 
 áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B 
 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 .
 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 
 Mắt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz 
 y2z2 + z2x2 2xy2z
 x2y2 + z2x2 2xyz2 
 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
 => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**)
 Từ (*) và (**) => x4 + y4 + z4 xyz 
 Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 
 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;
 	 - Kiến thức : Dùng phương pháp thế 
 Bài 3 : Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
 Giải : 
 áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : 
 (2) ú 
 ú 6
 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 
 ; 
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : 
 x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 x - 2 = 0 x = 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 
4. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
 Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
 = 2 
 Giải : 
 Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 
 2 = => 2z 3 , mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được :
 Theo giả sử , x y , nên 1 = 
 Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có : x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
IV:Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : 
 a) x2 +y2 
b) x4+y4 
Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR 
 a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dương x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1
Bài 4: Cho hai số dương x,y CMR : 
Bài 5: Cho ab CMR: 
Bài 6 : Cho 3 số x,y,z không âm sao cho x+y+z=a
 CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz
Bài 7: Cho a0,b0,c
 CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR: 
Bài 9: CMR: Nếu thì 
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dương n3thì 2n > 2n+1
Bài 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác . 
CMR: 
V : kết quả đạt được 
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm ,nhiều em học sinh đã làm được các bài tập về bất đẳng thức và đã có hướng thú hơn khi học toán 
Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài 
Số lượng học sinh
Điểm Giỏi 
Điểm khá 
Điểm trung bình 
Điểm yếu
Điểm kém
30
5
8
12
5
0
Vi:bài học kinh nghiệm
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập , hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp , khó hình dung , vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập về nhà , kiểm tra học sinh 
 Sau khi hướng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh 
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn 
VII: Phạm vi áp dụng đề tài
Chuyên đề ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )) được áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tượng là học sinh khá giỏi 
C: Kết luận
	Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mongđược sự ủng hộ của các thày cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn .
 Tôi xin chân thành cảm ơn
 Tháng 2 năm 2008. 
Mục lục
 trang
đặt vấn đề 6