Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm luyện giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Nguyễn Tiến Sơn

Phần thứ nhất: Mở đầu
1- lý do chọn đề tài	
Dạy học bài tập Toán học là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học Toán ở trờng phổ thông. Việc dạy học các bài tập Toán học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ. Tuy nhiên có một tình trạng khá phổ biến là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định lý, công thức, lời giảI bài toán mà coi nhẹ việc nắm vững bản chất cách giải bài tập. Điều đó làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng khi cần vận dụng các tri thức (đặc biệt là tri thức phơng pháp), kĩ năng để giải quyết những tình huống mới, học sinh thờng gặp phảI những sai lầm “Máy móc và hình thức chủ nghĩa” khi giải Toán. Trong quá trình giải các bài tập Toán học, việc kích thích sự hoạt động nhận thức của học sinh ở giai đoạn củng cố, vận dụng bài tập và biết vận dụng trong những tình huống khác.
Mặt khác, khi dạy giải bài tập vẫn còn tình trạng giáo viên cha chú ý đến vai trò chủ động học tập của học sinh nên cha quan tâm đến việc hình thành các kiến thức về phơng pháp suy luận và chứng minh cho học sinh. Chủ yếu là giáo viên trình bày lời giải bài tập theo hớng tổng hợp (điều thờng thấy trong SGK). Giáo viên còn ngại sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong dạy học bài tập (đặc biệt là phơng pháp dạy học nêu vấn đề)
Do vậy mà học sinh tuy đợc tích cực làm việc nhng không nắm vững bản chất của bài tập, nên thờng lúng túng khi cần vận dụng bài tập vào những tình huống bài tập cụ thể. Do đó có thể nói dạy học bài tập Toán ở trờng phổ thông cha đạt hiệu quả cao. Thực tế đòi hỏi phải tìm ra những phơng pháp thích hợp, giúp học sinh hứng thú học tập, phát huy cao độ tiềm lực sẵn có của các em để tìm tòi và trình bày lời giải bài tập, giúp các em biết chủ động ứng dụng vào các tình huống cần thiết. 
Các phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán trong chơng trình THCS. Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biết áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy đợc hết khả năng của mình để tìm tòi , khám phá những kiến thức, bài toán liên quan .
	Trong chơng trình Toán 8 có 3 phơng pháp đa vào dạy cho học sinh trong giờ học là các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm các hạng tử. Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều phơng pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử mà trong lí thuyết không đề cập đến nhng lại có rất nhiều trong bài tập từ Toán 8 đến Toán 9 ( đặc biệt là khi học sinh lớp 9 cha học CT nghiệm của phơng trình bậc 2, hoặc giải những phơng trình bậc cao đa đợc về dạng phơng trình tích ) .
	Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh qua các buổi dạy thực tế trên lớp, đặc biệt là học sinh lớp 8 . Tôi mạnh dạn đợc ra một số ý kiến cũng nh kinh nghiệm rút ra đợc từ thực tế giảng dạy của bản thân.
2- Mục đích nghiên cứu
Năm học 2008 - 2009 tôi đợc nhà trờng phân công giảng bộ môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học bản thân tôi nhận thấy các em học sinh cha có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải đợc các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
Nếu nh các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phơng pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phơng pháp làm toán ở dạng cơ bản nh các phơng pháp thông thờng mà còn phải dùng một số phơng pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Ngời thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải đợc các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm luyện giải toán phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
3- Đối tợng nghiên cứu
Triển khai nghiên cứu đối với bộ môn Toán ở THCS nói chung và bộ môn Toán ở lớp 8 nói riêng.
	4. Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu:
Do đặc thù công việc của đơn vị công tác nên tôi chỉ nghiên cứu nội dung của vấn đề này trong phạm vi trung tâm hỗ trợ phát triển giáo dục hòa nhập trẻ khuyết tật tỉnh Yên Bái.
	5. Nhiệm vụ nghiên cứu
	Hình thành phơng pháp giải một số bài tập cơ bản và mối liên hệ giữa chúng từ đó có khả năng vận dụng vào hoạt động giải Toán cũng nh vào các ứng dụng khác.
	Phát triển năng lực t duy Toán học.
	6. Phơng pháp nghiên cứu
+. Suy đoán: Tạo tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán, phát hiện ra lời giải bài tập.
+. Suy diễn: Dùng suy luận logic để trình bày lời giải bài tập.
	7. Thời gian nghiên cứu
	Xây dung đề cơng, báo cáo thảo luận trớc tổ
	Triển khai dạy thực nghiệm trên đối tợng học sinh lớp 8
	Tổng hợp kết quả
	Hoàn thành tháng 2 năm 2009
Phần thứ hai: nội dung 
 Chơng I: Cơ sở lý luận 
 Khaựi nieọm bieồu thửực ủaùi soỏ trong chửụng trỡnh Toaựn THCS noựi chung, caực phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ trong chửụng trỡnh toaựn 8 noựi rieõng laứ moọt chuỷ ủeà ủaởc bieọt quan troùng trong moọt chuoói kieỏn thửực Toaựn. Bụỷi vỡ vaọy, khi naộm vửừng caực phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ thỡ hoùc sinh mụựi coự theồ vaọn duùng kieỏn thửực ủoự ủeồ giaỷi caực daùng toaựn khaực nhử : Ruựt goùn phaõn thửực, tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa phaõn thửực, giaỷi phửụng trỡnh tớch, xeựt tớnh chia heỏt cuỷa bieồu thửực, tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực, . . . .
 Nhử vaọy, nhieọm vuù cuỷa giaựo vieõn phaỷi truyeàn ủaùt nhử theỏ naứo ủeồ hoùc sinh naộm ủửụùc caực phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ, vaứ qua ủoự hoùc sinh tửù reứn luyeọn khaỷ naờng tử duy, khaỷ naờng tỡm toứi khaựm phaự caực kieỏn thửực, ủoàng thụứi ủửụùc cuỷng coỏ caực kieỏn thửực ủaừ ủửụùc hoùc nhử : ( pheựp nhaõn ủụn thửực, ủa thửực vaứ caực haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự ) ủeồ hoùc sinh thaỏy ủửụùc moỏi quan heọ giửừa kieỏn thửực cuừ vaứ kieỏn thửực mụựi.
Chơng II: Thực trạng của đề tài
Thửùc traùng boọ moõn :
ẹaõy laứ moõn hoùc tửù nhieõn – khoa hoùc – kyừ thuaọt, moõn hoùc ủoứi hoỷi phaỷi coự khaỷ naờng tử duy logic, phaựt trieồn naờng lửùc suy luaọn, tỡm toứi, saựng taùo . . Bụỷi vỡ vaọy, hoùc sinh khoự tieỏp thu, coứn thuù ủoọng trong vieọc vaọn duùng caực kieỏn thửực ủaừ hoùc vaứo giaỷi caực baứi toaựn.
Thửùc traùng giaựo vieõn :
Thuaọn lụùi : 
Haàu heỏt taỏt caỷ caực giaựo vieõn ủeàu ủửụùc ủaứo taùo chớnh quy trong caực trửụứng CẹSP, ẹHSP neõn coự ủửụùc neàn taỷng kieỏn thửực, phửụng phaựp giaỷng daùy vửừng chaộc.
ẹửụùc tham gia taọp huaỏn chửụng trỡnh thay saựch vụựi ủaởc thuứ boọ moõn, tham gia lụựp boài dửụừng thửụứng xuyeõn do sụỷ giaựo duùc toồ chửực. ẹửụùc dửù caực chuyeõn ủeà thửụứng xuyeõn ủeồ naõng cao kinh nghieọm vaứ kieỏn thửực.
Khoự khaờn :
Do trung tâm mới thành lập cha lâu, soỏ lụựp ớt, mô hình hoạt động cha thật sự ổn định neõn coứn haùn cheỏ không nhỏ trong vieọc dạy hoùc.
Chửa coự nhửừng thieỏt bũ hieọn ủaùi phuùc vuù cho coõng taực giaỷng daùy nhử : maựy chieỏu, . . . 
Thửùc traùng hoùc sinh :
Thuaọn lụùi :
Hoùc sinh ụỷ lửựa tuoồi thieỏu nieõn, ụỷ lửựa tuoồi naứy caực em raỏt thớch tỡm toứi vaứ khaựm phaự nhửừng kieỏn thửực khoa hoùc tửù nhieõn, chuựng ta phaỷi bieỏt taọn duùng ủaởc ủieồm naứy ủeồ kớch thớch caực em coự hửựng thuự hoùc taọp, taùo cho caực em coự khaỷ naờng hoùc taọp chuỷ ủoọng saựng taùo.
Do sửù buứng noồ cuỷa khoa hoùc – kyừ thuaọt vaứ coõng ngheọ thoõng tin neõn vieọc tham khaỷo, tra cửựu, trao ủoồi kieỏn thửực cuỷa hoùc sinh cuừng thuaọn tieọn hụn.
Khoự khaờn :
ẹa soỏ hoùc sinh có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn đến từ các huyện, thị trong tỉnh, đầu vào rất thấp, khả năng giao tiếp xã hội kém, có những em còn đọc cha thông, viết cha thạo nên việc học tập tiếp thu kiến thức mới còn rất nhiều hạn chế.
Do sửù ủoồi mụựi phửụng phaựp vaứ ủoồi mụựi noọi dung SGK cuừng aỷnh hửụỷng ủeỏn vieọc tieỏp thu kieỏn thửực cuỷa hoùc sinh.
Khaỷ naờng vaọn duùng kieỏn thửực ủaừ hoùc vaứo baứi taọp chửa ủoàng ủeàu, chuỷ yeỏu mụựi dửứng laùi ụỷ caỏp ủoọ nhaọn bieỏt vaứ thoõng hieồu.
Moọt soỏ hoùc sinh chửa coự yự thửực veà vieọc hoùc taọp, chửa bieỏt ủửụùc sửù quan troùng cuỷa vieọc hoùc taọp cuỷa baỷn thaõn mỡnh.
Chơng III: Giải quyết vấn đề
1) Nội dung thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2) Nội dung thứ hai.
Giáo viên dạy "Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các phơng pháp thông thờng.
+ Đặt nhân tử chung.
( Dùng khi hạng tử của đa thức có nhân tử chung )
*. Các bớc tiến hành : 
Bớc 1 : Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc .
Bớc 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức phải phân tích cho nhân tử chung .
Bớc 3: Trờng hợp nếu không có nhân tử chung mà có nhân tử đối thì phải tiến hành đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung .
+ Dùng hằng đẳng thức.
(Dùng khi các hạng tử của đa thức cần phân tích có dạng hằng đẳng thức )
*.Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ .
Lu ý thêm các hằng đẳng thức : 
 a. (A+B+C)2= A2+B 2 +C 2+2AB +2BC +2CA).
 b. An-B n=(A-B)(An-1+ An-2.B +...+B n-1).
 c. 1-xn = (1-x)(1+x+x2+... +xn-1)	
..........
+ Nhóm nhiều hạng tử.
*.Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức cần phân tích khi đa thức có nhân tử chung, hoặc cha áp dụng đợc hằng đẳng thức, ta tiến hành theo các bớc sau : 
Bớc  ... êm 16a2, bớt 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng... thì mới phân tích triệt để đợc.
ở ví dụ 6, P1 đã có bình phơng hạng tử (x2) và bình phơng hạng tử (2). Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó. Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2.
2.2.3) Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm – làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt 
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	(Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) 	(đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6)	(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phơng pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp đợc nh :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5. Do vậy không phân tích tiếp đợc nữa
Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.2.4) Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên.
Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
ị đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1. 
ị đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d (hệ số không đổi). Nếu ớc nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ị x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 ạ 0 do đó loại x = ± 1
Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
ị E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình.
3) Nội dung thứ 3: Một số bài tập luyện giải.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
Cách 1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
Cách 2: Tách 3 = 4 - 1.
Cách 3: Tách 3 = 12 - 9
Cách 4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
b.	81a4 + 4 	(thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:	Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 đ Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
c:	(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
d:	x3 - 2x2 - x + 2	(phơng pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
F(x) = x2 - 6x + 5
Lời giải: Trong một bài toán ta có thể biến đổi và giải theo nhiều cách khác nhau.
	Cách 1: Tách -6x = -x - 5x 
f(x) = x2 - x - 5x + 5 = x( x - 1 ) - 5(x - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 2: Tách -6x = -2x - 4x và 5 = 4 + 1
f(x) = (x2 - 2x + 1) - 4x + 4 = (x + 1)2 - 4(x - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 3: Tách 5 = 9 - 4
f(x) = (x2 - 6x + 9) - 4 = (x - 3)2 - 4 = (x - 1)(x - 5)
	Cách 4: Tách 5 = 6 - 1
f(x) = (x2 - 1) - 6x + 6 = (x + 1)(x - 2) - 6(x - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 5: Tách x2 = 3x2 - 2x2 và 5 = 3 + 2
f(x) = (3x2 - 6x + 3) - 2x2 + 2 = 3(x - 1)2 - 2(x2 - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 6: Tách x2 = 5x2 - 4x2 và 6x = - 10x + 4x
f(x) = (5x2 - 10x + 5) - 4x2 + 4x = 5(x - 1)2 - 4x(x - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 7: Tách x2 = 6x2 - 5x2 
f(x) = (6x2 - 6x) - 5x2 + 5 = 6x(x - 1) - 5(x2 - 1) = (x - 1)(x - 5)
	Cách 8: Nhận thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(1) = 0 nên f(x) chia hết cho x - 1. Thực hiện phép chia f(x) cho x - 1 ta đợc thơng là x - 5. vậy:
	F(x) = (x - 1)(x + 5)
	Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
	g(x) = x4 + 2x2 - 3
Lời giải: Có thể giải bài toán theo các cách sau:
	Cách 1: Tách 2x2 thành 3x2 - x2
g(x) = (x4 - x2) + 3x2 - 3 = x2(x2 - 1) + 3(x2 - 1) 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
	Cách 2: Tách 2x2 thành 3x2 - x2
g(x) = (x4 + 3x2) - x2 - 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
Cách 3: Tách - 3 thành - 1 - 2
g(x) = (x4 - 1) + 2x2 - 2 = (x2 + 1)(x2 - 1) + 2(x2 - 1) 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
Cách 4: Tách - 3 thành - 4 + 1
g(x) = (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 - 22 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
	Cách 5: Tách - 3 thành - 9 + 6
g(x) = (x4 - 9) + 2x2 + 6 = (x2 - 3)(x2 + 3) + 2(x2 + 3) 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
	Cách 6: Tách x4 thành 3x4 - 2x4
g(x) = (3x4 - 3) - 2x4 + 2x2 = 3(x2 - 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 - 1) 
= (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x3 + 3)
Cách 7: Đặt x2 = y, g(x) trở thành y2 + 2y - 3. Tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm y = 1. Từ đó ta có:
g(x) = (y - 1)(y + 3) = (x2 - 1)(x2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3)
	Cách 8: Tổng các hệ số của g(x) = 0 nên g(x) có một nghiệm x = 1. Thực hiện phép chia g(x) cho x – 1 ta đợc thơng q(x) = x3 + x2 + 3x + 3
Dễ thấy: 
	q(x) = x2(x - 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x2 + 3)
Vậy 
	g(x) = (x -1).q(x) = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 4: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M = với a = 102
Gợi ý: 
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng đẳng thức đa tử thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài 5: Giải các phơng trình sau:
3.a) 	y2 - 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử ị phơng trình trở về phơng trình tích.
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình tích ị giải phơng trình tích.
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) 	A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý: 
+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A M 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A M 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
4b: 	B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dơng tuỳ ý.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:
+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)2 ³ o và (y + 1)2 ³ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 ³ 7
Vậy AMin = 7 khi x = 2; y = -1
4) Kết quả đạt đợc:
 áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trung tâm hỗ trợ phát triển giáo dục hào nhập trẻ khuyết tật tỉnh Yên Bái (Tuy cha sử dụng hết nội dung đã nêu trên) trong học kỳ I năm học 2008 - 2009 đã thu đợc các kết quả khá khả quan.
Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua kỳ thi học kỳ, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Hầu hết các em học sinh đã biết sử dụng các phơng pháp phân tích thông thờng một cách thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng sử dụng thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phơng pháp phân tích đã đợc nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phơng pháp này một số em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
Phần thứ ba: Kết luận và khuyến nghị
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bài khi cha có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong Trung tâm, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chơng trình mới THCS.
Tài liệu tham khảo
- Phơng pháp dạy học Toán – Luyện Thị Bình – Nguyễn Anh Tuấn - Đại học Thái Nguyên.
- Thực hành giải toán – Vũ Dơng Thụy - Nhà xuất bản giáo dục.
Ngày 25 tháng 2 năm 2009
 Ngời thực hiện
Nguyễn Tiến Sơn