Sáng kiến kinh nghiệm Một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ Đại số Lớp 9 - Vũ Văn Khánh

a. đặt vấn đề.
1. Cơ sở lý luận.
Mục đích của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS là:
- Mở rộng khái niệm về số.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số (hữu tỉ và vô tỉ).
- Hàm số.
- Phương trình. 
“Phương trình” là 1 trong 4 mục đích cần đạt của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS. Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang tính chất “kỹ thuật” có nhiều áp dụng thực tiễn.
 	Khái niệm “phương trình” được hiểu một cách tường minh theo quan điểm hàm: là một đẳng thức f(x) = g(x), f và g là hai hàm số xét trên miền xác định chung mà ta phải tìm giá trị của biến số x sao cho giá trị tương ứng của hai hàm số bằng nhau.
 	Có thể nói: “Tư tưởng của khái niệm là tư tưởng hàm, nội dung của khái niệm thể hiện ở kỹ thuật tìm nghiệm tức là ở việc giải phương trình. Do vậy biến số có tên là ẩn số nói lên phần nào nội dung của khái niệm”.
 	Giải một phương trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tương đương phương trình đã cho để đi đến một phương trình đơn giản nhất: 
	A(x) = B(x) Û ............Û x = a (nghiệm)
 	Vì vậy dạy “phương trình” chủ yếu là làm cho học sinh nắm vững kỹ thuật giải phương trình(kỹ thuật tìm nghiệm) song không được coi nhẹ tư tưởng của phương trình là hàm số.
2. Cơ sở thực tiễn.
 	Trong chương trình Đại số cấp 2, phương trình có dạng như: Phương trình bậc nhất một ẩn số ax + b = 0 (a ≠0). Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số, phương trình bậc 2 một ẩn số ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
 	Ngoài ra còn các phương trình quy về dạng chính tắc như:
	+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
 	+ Phương trình tích dạng: f(x).g(x) .h(x) = 0
 	+ Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.
 	+ Phương trình quy về phương trình bậc hai.
 	+ Phương trình được đưa về phương trình bậc nhất.
 	..
 	Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn(phương trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn như chưa trình bày được lời giải 1 phương trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường vi phạm một trong các sai lầm như: chưa tìm tập xác định của phương trình( điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, lập phương hai vế  Hoặc khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay không đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương một phương trình với một hệ điều kiện và trình bày phương trình rời rạc không theo một quy trình(Angôrit).
 	Mặt khác, việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình cũng như trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách giải phù hợp với từng dạng đó. Chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả.
 	Hơn nữa, do thực tế của chương trình Đại số 9 việc giải phương trình vô tỉ cũng chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tập quy định, vì thế khi dự thi các kỳ thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải được các phương trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức trong chương trình.
 	Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vô tỉ trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học, qua đó giúp các em trau dồi được những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh oạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở trường THCS. Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ.
B. Nội dung
I/ Các kiến thức cần chú ý khi giải một phương trình vo tỉ.
1. Khái niệm về phương trình vô tỉ: là một phương trình đại số có chứa ẩn số trong dấu căn.
2. Các phép biến đổi tương đương, không tương đương một phương trình.
 	* Khái niệm về hai phương trình tương đương:
 	Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.
 	- Chú ý: 	
 	+ Nếu phương trình này là hệ quả của phương trình và ngược lại thì hai phương trình đó tương đương.(phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) nếu S1 è S2 với S1 là tập nghệm của (1); S2 là tập nghiệm của (2).
 	+ Mọi phương trình vo nghiệm đều được coi là tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là ặ.
 	a. Các phép biến đổi tương đương các phương trình:
 	- Các định lý về biến đổi tương đương ở lớp 8.
 	- Thực hiện biến đổi hằng đẳng ở từng vế của một phương trình không làm thay đổi TXĐ của chúng sẽ được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 	b. Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương (dẫn tới một phương trình hệ quả).
 	- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn( có thể xuất hiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai).
	- Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số( có thể làm mất nghiệm của phương trình đầu).
 	- Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức.
 	- Nâng hai vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1
 	Nếu m chắn: thì khi nâng hai vế của f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn thì phương trình mới nhận thêm nghiệm của phương trình f1(x) = - f2(x) 
vì: [f1(x)]2 = [f2(x)]2 Û 
Vì thế khi giải phương trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phương trình đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai( phép bình phương hai vế của một phương trình có thể dẫn đến một phương trình hệ quả).
3. Những sai lầm thường gặp khi giải một phương trình vô tỉ.
 	- Không đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa mà đã vội bình phương hai vế của phương trình.
 	- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.
 	- Khi tìm được nghiệm bỏ quên bước thử lại phương trình đầu hoặc chọn nghiệm thích hợp theo điều kiện đã đặt ra mà vội kết luận nghiệm cảu phương trình vô tỉ.
 	Ví dụ: Khi gải phương trình: 	 - = 	(1)
	Học sinh giải: 	 = + 	(2)
	Bình phương hai vế: 	(3)
	Rút gọn:	(4)
	Bình phương hai vế:	 	(5)
 	Rút gọn	
	Û 
 	Kết luận: 	;	
 	* Phân tich ssai lầm của học sinh:
 	+ Học sinh đã không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức là:
 	 	Û 	 	Û 
Nên giá trị không là nghiệm của phương trình (1)
 	Để khắc phục sai lầm này phải tìm TXĐ của phương trình từ bước đầu tiên
 	+ Học sinh không đặt điều kiện để biến đổi tương đương nên (4) không tương đương (5)
 	Phương trình (4) chỉ tương đương với hệ: 
 	Phương trình (5) là hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với (4) với điều kiện: , do đó không là nghiệm của (1).
	* Cách giải đúng:
 	+ Cách 1: Sau khi tìm được và thử lại vào phương trình ban đầu, phương trình (1) không có nghiệm đúng. Vậy (1) vô nghiệm.
 	+ Cách 2: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (*) sau đó từ (4) chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện (**), đối chiếu các giá trị và với (*) và (**) ta thấy và không thoả mãn. Vậy (1) vô nghiệm.
 	+ Cách 3: Điều kiện x
 	Vế trái 0, vậy (1) vô nghiệm
 	* Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh khi giải một phương trình vô tỉ ta nên hướng học sinh làm theo các bước sau:
 	B1: Tìm TXĐ của phương trình (đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa).
 	B2: Nâng hai vế phương trình lên cùng một luỹ thừa, nếu phương trình còn căn bậc hai thì đặt tiếp điều kiện, tiếp tục khử căn để đưa phương trình về dạng đã biết cách giải.
 	B3: Thử nghiệm theo các điều kiện hoặc theo phương trình đầu suy ra kết luận nghiệm.
II/ Các phương pháp giải phương trình vô tỉ.
1. Sử dụng các phép biến đổi tương đương.
 a. Dạng: (A là một số hoặc một biểu thức đã biết)	(1)
 	* Công thức giải:
	(2)
 	ở phương pháp này ta đã biến đổi tương đương phương trình đã cho với một hệ hỗn hợp, như vậy nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1). Do vậy ta chỉ giải hệ (2) rồi kết luận nghiệm của (1). Cơ sở của phương pháp này là dựa vào khái niệm căn bậc hai số học của .
 	* Chú ý: Khi A< 0 ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
 	* Ví dụ: Khi giải phương trình ta giải như sau:
 	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -4
 	ở phương trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện vì (1) ú với (2) trong đó .
 b. Dạng: 
* Công thức giải:
 	* Ví dụ: Giải phương trình 	(1)
	Ta có (1) 
 	Giải (*) ta có: 
 	Vậy (1) có nghiệm là 
 	* Chú ý: Kh chỉ ra được g(x) < 0 ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
 	Ví dụ: Giải phương trình 	(*)
 	Vì vậy (*) vô nghiệm.
 c. Dạng: 
 	* Công thức giải:
	 * Ví dụ: Giải phương trình 	(1)
 	Ta có (1) 
 	Kết luận: phương trình có nghiệm x=1
 d. Dạng:
	(1)
 	* Cách giải phương trình (1):
 	- B1: Tìm điều kiện cho (1) có nghĩa (TXĐ).	(*)
 	- B2: Bình phương hai vế của (1)
 	(1) 	(2)
 	- B3: Đặt điều kiện mới cho (2):	 	(**)
 	Bình phương hai vế của (2) đưa về một phương trình (3) đã biết cách giải.
 	- B4: Giải (3), chọn nghiệm thoả mãn (*) và (**) => Kết luận nghiệm.
 	* Ví dụ: Giải phương trình 	(1)
	(1) 	(2)
 	Điều kiện: 	(*)
 	Với hai vế không âm, bình phương hai vế của (2) rồi thu gọn ta có phương trình: 	(3)
 	(3) 
 	x = 6 thoả mãn (*) và (**). Vậy phương trình có nghiệm là x= 6
 	* Chú ý: Với phương trình thuộc dạng (1), khi phương trình đã cho chưa ở dạng mà như ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tương đương phương trình đã cho về dạng (1), không nên để nguyên phương trình mà bình phương hai vế vì cho dù có điều kiện để phương trình có nghĩa nhưng phép biến đổi không tương đương (do hai vế và không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0).
 	Cách giải phương trình dạng hoàn toàn tương tự.
 	Nếu g(x) là một biểu thức của (1) có giá trị âm với mọi x thì ta kết luận ngay phương trình (1) vô nghiệm.
 e. Dạng: 	(1)
 	* Đây là dạng phương trình vô tỉ có chứa nhiều căn thức bậc hai, ta có thể tiến hành các bước giải như sau:
 	B1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (tìm TXĐ) (*)
 	B2: Với điều kiện (*) bình phương hai vế của (1) ta có:
 	Đưa phương trình về dạng: 	(2)
 	B3: Tuỳ theo từng trường hợp cụ thể giải tiếp (2)
 	* Ví dụ: Giải phương trình 	(1)
 	Viết (1) dưới dạng (2):
 	(1) 	(2)
 	Điều kiện cho (2) có nghĩa: 	(*)
 	Với (*) bình phương hai vế (2) ta có:
 	(2) 
 	Vì hai vế lớn hơn hoặc bằng o nên bình phương hai vế ta có:
	(3)
 	 thoả mãn (*).
 	Vậy nghiệm của phương trình là x= 0
 	Bổ sung: (1) 	(2’)
 	* Có thế sử dụng một phép biến đổi tương đương khác ta có cách giải mới cho (1) với điều kiện . Ta nhân cả hai vế của (2’) với lượng liên hợp của từng vế ta có:
 	(2’) 	(3’)
 	(vì 0; )
 	Nên phép biến đổi từ phương trình (2’): là phép biến đổi tương đương.
 	(3’) (4’)
 	Cộng vế với vế của (2’) và (4’) rồi rút gọn ta được phương trình:
 	Do 	(5’)
 	Nếu nên (5’) vô lý. Vậy chỉ có nghiệm x  ...  chất về dấu giá trị tuyệt đối làm cho việc phân chia các trường hợp là không cần thiết va lời giải gọn gàng hơn.
 	* Trên đây là 8 phương pháp thường dùng để giải các phương trình vô tỉ. Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp nói trên phải được học sinh lựa chọn cho thích hợp với từng phương trình thực tế. Song không thể quan trọng hóa và đề cao chất lượng của bất kỳ một phương pháp nào trong giải phương trình vô tỉ. Điều quan trọng là dùng phương pháp nào mà việc giải một phương trình đạt hiệu quả nhất (nhanh gọn nhất). Ta cần chú ý các phương pháp trên có mối quan hệ mật thiết với nhau như hai phương pháp: Đặt ẩn phụ và phương pháp hệ phương trình; phương pháp hệ phương trình và phương pháp tổng bình phương Hoặc có khi trong một bài giải phương trình ta có thể phối hợp hai hay nhiều phương pháp nói trên miễn sao đạt hiệu quả cao.
C. Biện pháp thực hiện
1. Thường xuyên khắc phục những sai lầm thường mắc cho học sinh khi dạy về phương pháp giải phương trình.
	- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.
	- Không chọn nghiệm theo các điều kiện đã đặt ra mà kết luận nghiệm cho phương trình đã cho.
	- Chưa phân biệt được các phép biến đổi tương đương và không tương đương (phương trình tương đương; phương trình hệ quả), phép biến đổi tương đương và phép biến đổi thành phương trình hệ quả.
	* Nêu cho học sinh các bước giải một phương trình vô tỉ theo các thao tác:
 	+ Bước 1: Nhận dạng phương trình, đưa phương trình về dạng quen thuộc (Tìm TXĐ của phương trình).
	+ Bước 2: áp dụng phương pháp giải hợp lý. Giải phương trình.
	+ Bước 3: Chọn nghiệm và kết luận nghiệm (Thử lại nếu cần).
2. Cung cấp cho học sinh những kiến thức kỹ năng cơ bản có liên quan đến giải một phương trình.
	- Các định lý về phép biến đổi tương đương một phương trình (lớp 8).
	- Chú ý các phép biến đổi tương đương có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương như: Bình phương hai vế của một phương trình khi chưa rõ về dấu của hai vế (phép biến đổi này chỉ tương đương khi hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0).
	Vì nên khi A và B không âm.
	Ví dụ: -(5)2 = 52 không 
	Chỉ có: 
	Phép biến đổi bình phương hai vế của một phương trình là phép biến đổi phương trình hệ quả nên xuất hiện nghiệm ngoại lai vì đó mà phải có bước thử lại bắt buộc khi giải phương trình vô tỉ.
	Do đó: 	(1) 	(2)
	Thực chất là phương trình (1) tương đương với hệ hỗn hợp (2) nên việc giải (2) đến kết quả cuối cùng (không cần thử nghiệm nữa). Nhưng nếu tách rời chỉ có phép bình phương hai vế thì phải chọn nghiệm theo điều kiện hoặc thử lại vào ngay phương trình ban đầu.
	- Khái niệm về căn bậc hai số học; điều kiện tồn tại của hằng đẳng thức nếu được thường xuyên ghi nhớ cho học sinh ngay từ chương đầu tiên Đại số 9.
	Cần chú ý cho học sinh: là cơ sở để giải phương trình vô tỉ ở phương pháp 1.
	- Ghi nhớ cho học sinh các công thức quan trọng ở chương căn bậc hai, hoặc ba có liên quan tới kỹ năng biến đổi về căn thức, thực hiện các phép tính chứa dấu căn.
3. Xây dựng các công thức giải các dạng phương trình vô tỉ như:
 ngay sau khi học chương I đại số 9. Yêu cầu học sinh ghi nhớ các công thức đó.
4. Cung cấp cho học sinh các phương pháp giải phương trình vô tỉ sau khi học xong chương Phương trình bậc hai. Bên cạnh đó thường xuyên rèn luyện thành thạo cho học sinh kỹ năng giải các phương trình đã biết như bậc nhất, bậc hai, phương trình tích đã biết nhằm hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ sau này.
5. Phối hợp với các bài toán khác (tổng hợp) giúp học sinh thường xuyên rèn luyện các phép biến đổi về căn thức và giải phương trình vô tỉ (Ra các đề toán tổn hợp luôn có câu về giải phương trình vô tỉ).
6 Thường xuyên kiểm tra và uốn nắn kịp thời việc định dạng và vận dụng các phương pháp giải từng dạng phương trình vô tỉ một cách có chủ động.
7. Rèn kỹ năng biến đổi các phương trình ban đầu về các phương trình ở dạng quen thuộc và lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý với từng dạng, chú ý tới cách vận dụng linh hoạt.
8. Đề ra cho học sinh các yếu lĩnh cơ bản khi giải một phương trình vô tỉ, theo các bước sau:
	- Bước 1: Quan sát nhận dạng (tìm TXĐ).
	- Bước 2: Huy động phương pháp giải hợp lý (phải lựa chọn phương pháp tối ưu).
	- Bước 3: Giải phương trình.
	- Bước 4: Chọn nghiệm phù hợp và kết luận.
9. Kiểm tra định kỳ rút kinh nghiệm thường xuyên về việc thực hiện các bài tập giáo viên giao cho các nhóm học sinh dưới các hình thức cá nhân, nhóm, lớp. Thống kê chất lượng thông báo kết quả.
D. Kết quả và bài học kinh nghiệm.
I. Kết quả.
1. Đối với diện học sinh đại trà: Sau khi cung cấp các công thức giải các dạng phương trình: . Ra các bài tập cùng dạng kiểm tra trắc nghiệm và tự luận kết quả trắc nghiệm như sau:
	- 75% số học sinh làm đúng phương pháp.
	- 25% số học sinh làm đúng nhưng không theo công thức giải đã cung cấp. Vì học sinh khó khăn trong việc trình bày phương trình hệ hỗn hợp.
2. Đối với diện học sinh khá giỏi:
	- 95% số học sinh giải thành thạo theo công thức giải đối với các phương trình vô tỉ với hệ hỗn hợp.
	- 5% số học sinh giải được phương trình vô tỉ theo công thức giải đối với các phương trình vô tỉ với hệ hỗn hợp.
	- 75% số học sinh giải thành thạo bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
	- 85% số học sinh giải thành thạo bằng cách đưa về phương trình tích.
	- 55% số học sinh làm đúng phương pháp Đoán nhận và chứng minh sự duy nhất nghiệm.
	- 65% số học sinh sử dụng lượng liên hợp một cách hợp lý khi giải phương trình vô tỉ.
	- 95% số học sinh làm tốt phương pháp “Tổng bình phương”.
	- 97% số học sinh làm tốt phương pháp đưa phương trình về phương trình chứa ẩn số trong dấu giá trị tuyệt đối.
	- 85% số học sinh vận dụng được phương pháp “đối lập”.
	- 95% số học sinh biết xử lý nghiệm của một phương trình vô tỉ hợp lý và đúng.
	- 70% số học sinh lựa chọn được phương pháp giải hợp lý (hay) cho một phương trình vô tỉ.
3. Qua phương trình vô tỉ theo các phương pháp đã được trang bị, học sinh rèn được nhiều kỹ năng giải toán khác, gây được hứng thú làm toán cho học sinh.
4. Học sinh đã tự mình biết áp dụng các phương pháp giải của phương trình vô tỉ cho các phương trình khác như: phương trình bậc cao; phương trình dạng phân thức  (có trong chương trình).
5. Định hướng học tập bộ môn Toán theo hướng tích cực hoá, chủ động sáng tạo, tìm cách giải hợp lý, hay cho bài toán. Hình thành thói quen kiểm tra lời giải và rút kinh nghiệm sau khi giải toán.
6. Xây dựng cho học sinh phong cách làm toán có khoa học, có phương pháp và biết đề xuất những vấn đề cần giải quyết, đặc biệt là học sinh có niềm tin và tính tự chủ cao hơn.
7. Hình thành mối quan hệ tốt đẹp giữa thầy và trò trong dạy học và trong sự trao đổi thông tin về toán học.
II. Bài học kinh nghiệm.
1. Thường xuyên khắc phục những sai lầm khi giải một phương trình vô tỉ nói riêng và phương trình đại số nói chung có tác dụng giúp cho học sinh hiểu, nắm vững các kiến thức cơ bản và rèn được kỹ năng giải toán chính xác, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.
2. Hệ thống phương pháp giải cho từng dạng phương trình vô tỉ giúp học sinh có được công cụ giải phương trình nên việc giải phương trình được linh hoạt, hợp lý, tránh được máy mọc, rập khuôn mất thời gian vô ích. Đặc biệt là giúp cho học sinh lựa chọn được cách giải hay cho một bài toán, hình thành ở học sinh đức tính linh hoạt, làm việc có khoa học và tránh được những sai lầm nghiêm trọng.
3. Rèn cho học sinh có thói quen khi gặp bất kỳ một phương trình nào đều định hướng được các thao tác:
	- Quan sát, nhận dạng đưa phương trình về dạng quen thuộc (nếu cần).
	- Lựa chọn phương pháp hợp lý.
	- Giải phương trình và kiểm tra lời giải.
4. Thường xuyên ghi nhớ các kiến thức cơ bản và các kỹ năng cần thiết có tác dụng tốt cho học sinh trong khi giải phương trình và thực hiện các phương pháp giải giúp cho học sinh nhìn nhận lời giải một cách triệt để và sáng tạo.
5. Rèn luyện thường xuyên các kỹ năng cơ bản khác như: phân tích (viết) một biểu thức dưới dạng tích, các kỹ năng biến đổi, thực hiện các phép toán về căn thức bậc hai, căn bậc ba tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hoàn thành tốt các khâu biến đổi khi giải một phương trình vô tỉ.
6. Lựa chọn phương pháp giải hợp lý phù hợp với một phương trình đặt ra là một việc làm quan trọng quyết định tới sự thành công nhanh chóng khi giải một phương trình vô tỉ.
7. áp dụng phương pháp giải phương trình vô tỉ cho các dạng phương trình khác vẫn có hiệu quả tích cực và mang lại kết quả tốt trong một bài toán giải phương trình (trong điều kiện có thể thực hiện được).
E. Kết luận.
1. Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỉ đơn giản đến phức tạp, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức về phương trình, nghiệm của phương trình từ đó nói lên tư tưởng và nội dung của khái niệm phương trình. Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có được phương pháp giải phương trình đại số nói chung trong tương lai. Giúp cho học sinh rèn được những phẩm chất của trí tuệ như: độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong tư duy, làm tiền đề cho sự phát triển tư duy của học sinh trong học tập môn Toán, tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho bản thân phương pháp làm toán, phương pháp học tập một cách có hiệu quả.
2. Nêu ra được giải pháp (phương pháp giải) giải một loại toán khó (phương trình vô tỉ) giúp cho học sinh chống được tư tưởng ngại khó “sợ” giải một bài toán khó, tạo điều kiện cho học sinh hứng thú học tập hăng say nghiên cứu tìm tòi cái mới, khó trong quá trình học tập.
3. Bước đầu hình thành ở học sinh (người học) một thói quen làm toán (học toán) có phương pháp, trang bị cho học sinh phương pháp thực hành một cách phong phú, chuẩn bị cho học sinh những tiền đề để tiếp thu kiến thức mới, phương pháp mới của môn Toán ở các lớp trên.
4. Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phương pháp giảng dạy (đổi mới cách dạy, đổi mới cách học của giáo viên và học sinh) nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh ‘lấy lôgic học sinh làm trung tâm”.
5. Trên đây là một số phương pháp giúp cho học sinh biết cách giải một phương trình vô tỉ. Bước đầu đã được thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình được một phương pháp giải toán ở thể loại phương trình vô tỉ, phát huy tích cực chủ động sáng tạo trong giải phương trình và giải toán nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện được nhiều kỹ năng giải toán thông qua giải một phương trình tạo đà cho học sinh đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay.
Xác nhận của nhà trường
Tài liệu tham khảo
Phương pháp giảng dạy toán học- hoàng chúng
Một số phương pháp giải toán sơ cấp
Một số tài liệu bồi dưỡng học sinh khá giỏi cấp II
Sách giáo khoa đại số 8, 9
Đại số sơ cấp (Cao đẳng sư phạm).