Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh - Năm học 2003-2004 - Trường THCS Chu Văn An

Khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh
I: Đặt vấn đề.
Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh, phần nhiều các em học sinh của chúng ta chỉ tìm ra được lời giải bài toán rồi sau đó quên ngay, không suy nghĩ bài toán mình vừa giải, có một số khá đông các em không để ý đến bài toán thầy, ra về nhà. Chính vì vậy mà kiến thức của các em đơn điệu, rời rạc, thậm chí hổng rất nhiều. Nhiều em không thích học toán cho toán là môn học buồn tẻ và khó hiểu. Để khắc phục phần nào những nhược điểm trên trong các giờ dạy học toán. Tôi luôn suy nghĩ phải tìm ra các khía cạnh mới để khêu gợi suy nghĩ của các em, kích thích trí tò mò qua các vấn đề này thầy cô đưa ra thông qua đó để trang bị một cách có hệ thống các kiến thức thiết thực, trang bị cho các em một cách nhìn các bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tăng khả năng tư duy lôgích và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp cho các em có tác phong độc lập khi giải toán. Đứng trước một bài toán có thể chủ động vững tin biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu hỏi trả lời thích hợp để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.
II: Nội dung:
Nội dung của bài viết này đi từ những ví dụ cụ thể thông qua mỗi vĩ dụ khại thác các khía cạnh khác nhau, để có thêm một cách nhìn một số bài toán mới và các bài toán có liên quan.
Bài toán 1: Cho a + b = 1, chứng minh rằng a2 + b2 ³ .
Giải:
Cách 1: Ta có: a + b = 1> 0 
Bình phương 2 vế ta được (a + b)2 = 1 ị a2 + 2ab + b2 = 1	(1)
Mặt khác (a + b)2 ³ 0 ị a2 - 2ab + b2 ³ 0	(2)
Cách 2: Đặt a = + x 	; b + y. Do a + b = 1 nên x + y = 0.
Ta có a2 + b2 = ( + x)2 + ( + y)2 = ( + x + x2) + ( + y+ y2) = + (x + y) + x2 + y2 = + x2 + y2 ³ xảy ra dấu
Đẳng thức khi x = y = 0 ị a = b = 
* Nhận xét: Trong bài toán trên ta có a + b = 1, thay đổi
Giả thiết với 3 số a, b, c mà a + b + c = 1 thì bài toán trên có còn đúng hay không.
Bài toán 2: Cho a + b + c = 1 chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ³ 
Giải:
Đặt a = + x	;	b = + y	;	c= + z
Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
Ta có: a2 + b2 + c2 = ( + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2 = ( + x+2)
+ (+y + y2) + ( + z + z2)
= + (x + y + z) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y2 + z2 ³ 
Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y = z = 0 ị x = b = c = 
* Thay đổi giải thiết với nhiều số có tổng bằng 1.
Chẳng hạn với 4 số a, b, c, d ta lại có bài toán sau.
Bài toán 3: Cho a + b + c + d = 1 .
Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ³ 
Giải:
Đặt a = + x	; b = + y	; x = + z	;	d = + t
Do a + b + c + d = 1 ị x + y+ z+ t = 0
Ta có: a2 + b2 + c2 + d2 = (+x)2 + ( + y)2+ (+z)2 + (+ t)2
= (+ x + x2) + (+ y + y2) + (+ z + z2)+ (+ t + t2)
= + (x + y + x+ t) +x2 + y2 + z2 + t2 = + x2 + y2 + z2 + t2 ³
Dấu "="xảy ra khi x= y = z = t = 0 ị a = b = c = d = 
* Hãy mở rộng bài toán dưới dạng tổng quát.
Bài toán 4: Cho a1 + a2 + a3 +... + an = 1
Chứng minh rằng a12 + a22 + a32 +... + a2n ³ 
Bài toán này có thể chứng minh tương tự những ví dụ trên.
Nhận xét 2: Thay đổi giải thiết thì kết quả bài toán có còn đúng nữa không ? chẳng hạn cho các số có tổng khác 1.
Bài toán 5: Cho a+ b + c = 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ³ 
Giải:
Đặt a = + x	;	b = 	;	c = + z
Do	a + b + c = 2 khi đó x + y + z = 0.
Ta có: a2 + b2 + c2 = ( + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2
= (+ x + x2) + ( + y + y2) + (+z + z2) = + (x+ y + z) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y2 + z2 ³ 
* Qua đó ta có thể tổng quát bài toán trên.
Bài toán 6: Cho a1 + a2 + a3 + ... + an = k
Chứng minh rằng a12 + a22 + a32 +... + a2n ³ 
Nhận xét 3: 
(Giữ nguyên giải thiết như ở bài toán 1 ta được kết quả a2 + b2 ³ ) .
Khi thay đổi giải thiết ở bài toán 1, a + b = 1 thay bằng a + b ³ 1 Thì kết quả có còn đúng không? Ngoài ra có còn các kết quả nào khác không ?
Bài toán 7: Cho a + b ³ 1 chứng minh rằng
a)	a2 + b2 ³ 
b)	a4 + b4 ³ 
c)	a8 + b8 ³ 
Giải
a) Ta có: a + b ³ 1 Û (a+ b)2 ³1 ị a2 + 2ab + b2 ³ 1	(1)
Lại có (a - b)2 ³ 0	ị a2 - 2ab + b2 ³ 0	(2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được 2 (a2 + b2) ³ 1
ị (a2+ b2)2 ³ 
b) Theo câu a, ta có a2 + b2 ³ 
ị (a2 + b2)2 ³ ị a4 + 2a2b2 + b4 ³ 	(3)
Mà (a2 - b2)2 ³ 0 ị a4 - 2a2b2 + b4 ³ 0	(4)
Cộng vế với vế (3) và (4) ta được 2(a4 + b4) ³ 
a4 + b4 ³ 
c) Theo câu b: Ta có a4 + b4 ³ 
ị (a4 + b4)2 ³ 	ị	a8 + 2a4b4 + b8 ³ 	(5)
Mà (a4 - b4 )2 ³ 0	ị	a8 + 2a4b4 + b8 ³ 0	(6)
Cộng vế với vế (5) và (6) 
Ta được: 2 (a8 + b8) ³ ị a8 + b8 ³ 
* Qua bài toán trên ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng tổng quát:
Nếu a + b ³ 1 thì ³ n ẻ N *
III: Các kết quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các năm học qua. Tôi thường xuyên nghiên cứu học hỏi tìm cách khai thác trong mỗi bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhằm làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chặt chẽ không tẻ nhạt, không đơn điệu, rèn luyện học sinh tư duy lôgích phát triển năng lực trí tuệ của học sinh. Tôi thấy với phương pháp đó thì chất lượng học sinh giỏi ngày càng được nâng cao một cách rõ rệt. Phát huy được tính tích cực của học sinh, óc độc lập sáng tạo của học sinh đặc biệt đã giúp các em tự mình hình thành kiến thức mới.
IV: Kết luận.
Trên đây là một vài suy nghĩ khi giảng dạy học sinh khai thác các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi. Đây là một phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã rút ra trong quá trình giải dạy. Tất nhiên trong khuôn khổ của bài viết này tôi muốn đưa ra một vài ví dụ cụ thể để thể hiện điều đó. Có thể chưa phải tối ưu. Tôi rất mong muốn sự góp ý chân thành của tổ chuyên môn./.
Người thực hiện