Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

lí do chọn đề tài
	Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
	Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí .
	Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và được sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
	Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường khong có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng ......và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . 
	Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và khả năng nghiên cứu chưa tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn góp ý thêm .
phần i : Các kiến thức cần lưu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức 
	+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b 
	+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
	+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a < b,
	+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a > b ,
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
	a, Tính chất 1: a > b b < a 
	b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c 
	c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c
	 Hệ quả : a > b a - c > b - c 
 a + c > b a > b - c 
	d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d 
 a > b và c a - c > b - d 
	e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd 
 a > b và c ac < bd 
	f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
	g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn 
 a > b an > bn với n lẻ . 
	h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 
3, Một số đẳng thức thông dụng :
	a, Bất đẳng thức Côsi :
 Với 2 số dương a , b ta có : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
	b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
 Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 Dấu đẳng thức xảy ra 
	c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0
phần ii :
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa 
	- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 .
	- Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
	- Ví dụ : 
Bài 1 :
 Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)
Giải : 
 Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
 = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z 
 = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
 = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
 Do (x - 1)2 0 với mọi x
 (y - 1)2 0 với mọi y
 (z - 1)2 0 với mọi z
 	=> H 0 với mọi x, y, z 
 Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
 Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1.
Bài 2 :
 Cho a, b, c, d, e là các số thực :
	Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Giải :
 Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
	 = ()2 + ()2 + ()2 + ()2
 Do ()2 0 với mọi a, b 
 Do()2 0 với mọi a, c 
 Do ()2 0 với mọi a, d
 Do ()2 0 với mọi a, e
 => H 0 với mọi a, b, c, d, e 
 Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = 
Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức :
Giải : 
 Xét hiệu : H = 
 = 
 = . Với mọi a, b .
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
	- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .
	- Một số bất đẳng thức thường dùng : 
(A B)2 = A2 2AB + B2
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
(A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3
.........................................................
 Ví dụ :
Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 
Giải:
	Dùng phép biến đổi tương đương ;
	 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 
 ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 
 ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab
 	Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 
 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Giải:
 	Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = 
 => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc 
 => a + b abc 
 Tương tự : b + c abc 
 c + a abc 
 => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 
Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 ; trong đó a > 0 ; b > 0
 Giải : 
	Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0
 ú .
 ú a2 - ab + b2 
 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 ú 3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 
Bài 4:
 Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Giải :
 Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0
 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : 
 Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải : 
 Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 
 Ta có : 
 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 3(a2 - 2ab + b2 ) 0
 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 
 => 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
 Giải : 
 Dùng phép biến đổi tương đương :
 ú ( 0
 ú 
 ú 
 ú 
 ú 
 Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : 
3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
	- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , 
 Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy 
 Với a, b > 0 , 
 Các ví dụ :
Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
 Giải
 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : 
 a + (b + c) ú 
 Tương tự ta thu được :
 , 
 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Bài 2:
 Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : 
 x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : 
	áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 
 => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25
 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú 
 Điều kiện : 
Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải 
 a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => 
 => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Bài 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
	 Chứng minh rằng : 
Giải : 
 Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 =
 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 
 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
Bài 5 
 a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
 b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : 
Giải
 a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
 => (x + y)( ) 4 
 => 
 b, Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng kết quả câu a , ta được ; 
 Tương tự : 
 => 
 => đIều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c .
 Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : 
	- Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập .
 Các ví dụ : 
Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . 
 Chứng minh rằng : x4 + y4 2
Giải 
 Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2
 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)
 Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy 
 ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2
 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 
 ú x2 + y2 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 2:
 Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : 
 (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
 Giải : 
 Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
 Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
 Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) 
 ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
 Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 
 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
Giải :
 Do a, b a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta có : 
 (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b 
 => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b .
 Tương tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a .
 => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
 5. Phương pháp 5 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
	 Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
	Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
	 + Dùng mệnh đề đảo 
	 + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
	 + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng  ...  - 6 = 0 (*)
 Giải : 
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ú + 2
 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) ú + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình :
 + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : 
 + = 5
 HD : 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : 
 - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 => a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 - Các ví dụ : 
 Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
 (1) ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*) 
 (2) ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2 : Giải hệ phương trình : 
 Giải : 
 áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B 
 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 .
 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 
 Mắt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz 
 y2z2 + z2x2 2xy2z
 x2y2 + z2x2 2xyz2 
 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
 => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**)
 Từ (*) và (**) => x4 + y4 + z4 xyz 
 Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 
 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;
 	 - Kiến thức : Dùng phương pháp thế 
 Bài 3 : Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
 Giải : 
 áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : 
 (2) ú 
 ú 6
 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 
 ; 
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : 
 x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 x - 2 = 0 x = 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 
	* Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
 = 2 
 Giải : 
 Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 
 2 = => 2z 3 , mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được :
 Theo giả sử , x y , nên 1 = 
 Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có : x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
Thực nghiệm sư phạm
Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phương trình
A. Mục tiêu 
	- Giới thiệu và hướng dẫn học sinh nội dung kiến thức giải phương trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất của bất đẳng thức 
	- Hình thành kỹ năng giải phương trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa các bài tập được đưa ra trên cơ sở các bài toán chứng minh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tính chất của bất đẳng thức .
	- Học sinh nắm được ph]ơng pháp giải , nhận dạng được dạng bài tập và biết vận dụng vào giải các bài tập tương tự 
	- học sinh được rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác , phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh .
B. Chuẩn bị :
C. Các hoạt động dạy học 
	1, ổn định lớp 
	2, Kiểm tra bài cũ 
	HS1: Tìm Min của M = x2 - 6x + 13 
	HS2: Tìm Max của N = + 
	HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
	GV: Chữa bài HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 4
 => Min M = 4 khi x = 3 
	HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :
 (.1 + .1)2 (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 
 => + 2 
 => Max N = 2 khi 2x - 3 = 5 - 2x ú x = 2 .
	HS3 : Viết các BĐT 
	3, Bài mới : 
	a, Đặt vấn đề : 
	 Định nghĩa phương trình ẩn x ? cách giải ? 
	 HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức biến x 
	Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có) 
	Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mãn ĐKXĐ nghiệm đúng phương trình đã cho . 
	GV : Nếu ta có A(x) a ; B(x) a , vậy phương trình A(x) = B(x) có nghoiệm khi nào ? 
	HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trường hợp dấu bằng )
GV : Đặt vấn đề vào bài 
B, Bài giảng :
Hoạt động của thày và trò
Nội dung
Hoạt động 1: Dạng 1: 
GV: yêu cầu HS giải bài tập 
Gợi ý: ? Nhận xét vế trái của (1)
HS : VT 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi nào ?
GV : yêu cầu hs làm câu b 
 Hs trình bày lời giải 
1, Bài 1: Giải phương trình :
a, (1)
b, 3 (2)
Giải
 a, Đk : 
VT 2; xảy ra '' = ' ú x = 2
Vậy 91) có nghiệm x = 2.
 b, Đk : 1 x 5 
(3)2 (9+ 16)(x - 1 + 5 - x) = 25 . 4 = 100
 => VT 10
Dấu '' = '' xảy ra khi 
Vậy (2) có nghiệm 
Hoạt động 2: Vận dụng hướng dẫn HS biến đổi 
GV: Yêu cầu hs nhận dạng pt
HS : biến đổi suy ra 
 - VT 2 
 - VP 2
? Vậy PT có nghiệm không ? có nghiệm khi nào ?
HS : PT có nghiệm khi VT = VP = 2
HS: trình bày lời giải
GV : Yêu cầu HS làm bài tập 
? Em hãy nêu cách giải phương trình 
GV gọi ý : Em có nhận xét gì về VT của phương trình 
HS : Chứng minh được VT 16x
=> tìm nghiệm của PT 
GV : Nhận xét 
HS hoàn thành bài tập vào vở 
Bài 2: Giải PT 
ú 
HD :
 VT 2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2
VP 2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2
 Vậy phương trình có nghiệm khi 
 x = 2
Bài 3 : Giải phương trình : 
 13 + 9 = 16x
Điều kiện : x 1 (*)
 Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2.
 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra 
 ú ú x = thoả mãn
 PT (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = .
Hoạt động 3: Dạng 2 
GV : Lưu ý ; A2 0 
Xảy ra dấu '' = '' khi nào ?
HS : dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 
Gv: yêu cầu hs tìm min L ? áh trình bày lời giải
GV : hướng dẫn HS tìm GTNN của 
 ? => đpcm 
GV đề xuất bài toán mới ;
? Nêu đặc điểm của biểu thức trong căn ?
HS rút ra nhận xét : VT 5
? Tìm x để VT = VP 
 Bài 3 
a, Tìm min của L = 
b, Chứng minh rằng :
giải: 
a, Ta có : 3(x + 1)2 + 9 9 
=> L = 3 
Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1 
Vậy min L = 3 khi x = -1 
b, Tương tự ; 
Vậy : 
Bài 4 : Giải PT 
HD : 
 3 
dấu '' = '' xảy ra khi x - 1
dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 
 Vậy PT vô nghiệm 
4. Hoạt động 4 : Vận dụng 
GV : yêu cầu HS giải phương trình 
HS lên bảng trình bày lời giải 
HS dưới lớp làm vào vở BT 
Bài 5 : GPT 
Giải;
Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1
Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1 
Vậy PT có nghiệm : x = -1
5. Hoạt động 5 Củng cố 
? Khái quát cách giải PT 
A(x) = B(x) 
A(x) m xảy ra dấu '' = '' khi x = a
B(x) m xảy ra dấu '' = '' khi x = b
=> PT có nghiệm x = a nếu a = b 
Nếu a # b => PT vô nghiệm
4, Hướng dẫn học ở nhà :
Xem lại cách giải các bài tập đã chữa tại lớp 
Vận dụng tốt các kiến thức đã học để giải các bài tập 
Bài tập về nhà : 
Bài 1: Giải PT : 
 a, 
 b, 
D, Tổng kết - Rút kinh nghiệm 
Phần kết luận
	Bất đẳng thức là một kiến thức khó , có nhiều phương pháp giải , có nhiều ứng dụng trong việc giải các dạng toán , những bài toán về bất đẳng thức lại rất đa dạng và phong phú , thông thường không có lời giải mẫu . Vì vậy để giúp học sinh có thể học tốt hơn kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng được một số kiến thức cần thiết , một số phương pháp suy nghĩ cần thiết của bộ môn toán .
 	Việc hệ thống lại các phương pháp chứng minh , những ví dụ và bài tập minh hoạ kèm theo , những kiến thức lưu ý , gợi ý học sinh , sẽ giúp cho học sinh hiểu được rộng hơn và sâu hơn về phương pháp giải , một số bài tập vận dụng đưa ra nhằm để củng cố kiến thức về bất đẳng thức và một phần nào đó đinhj hướng cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp để giải được các bài tập vận dụng . Rèn luyện khả năng tư duy , khả năng phân tích , tổng hợp , phát huy tính tích cực và trí thông minh của học sinh .
	Đối với những học sinh mà khả năng nhận thức còn hạn chế , thì việc hệ thống lại các tính chất , các bất đẳng thức thông dụng , các phương pháp giải và các bài toán vận dụng sẽ giúp cho học sinh hiểu được các công việc cần thiết khi giải bài toán bất đẳng thức , nắm được cách trình bày cho mỗi dạng bài toán , tập dần cách phân tích đề bài để biết cách lựa chọn hướng đi , kiến thức và vận dụng kiến thức phù hợp , nâng dần hiểu biết về kiến thức bất đẳng thức .
	Vì kinh nghiệm học tập , giảng dạy và nghiên cứu còn nhiều hạn chế , nên đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu xót , sẽ có những vấn đề về nội dung đặt ra chưa mới , hoặc việc trình bày đề tài chưa tốt , nên tôi rất mong nhận được sự quan tâm , chỉ bảo đóng góp ý kiến và giúp đỡ từ phía các thấy cô giáo , các bạn đồng nghiệp , các em học sinh , để việc nghiên cứu về kiến thức bất đẳng thức của tôi ngày một tốt hơn , sâu hơn , để áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả tốt hơn , để giúp các em học sinh ngày một giỏi hơn .
	Tôi xin trân thành cảm ơn !
 Hải Dương , Ngày 14 tháng 5 năm 2006
Tài liệu tham khảo
1.Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 340 ra tháng 10 năm 2005 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 341 ra tháng 11 năm 2005 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 342 ra tháng 12 năm 2005 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 343 ra tháng 01 năm 2006 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 344 ra tháng 02 năm 2006 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 345 ra tháng 03 năm 2006 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 346 ra tháng 04 năm 2006 - NXBGD 
 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 347 ra tháng 05 năm 2006 - NXBGD 
2. SGK , SGV , SBT Toán 8 - Nhà xuất bản GD - năm 2004
3.Luyện giải và ôn tập Toán 8 tập 2 - Vũ Dương Thuỵ ( chủ biên ) 
 NXBGD - 2004 
4.Toán nâng cao Đại số 8 - Vũ Hữu Bình - NXBGD - Năm 2001 
5. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 - Vũ Dương Thuỵ (chủ biên) 
 NXBGD - 2004 
6. Ôn tập và kiểm tra Đại số 8 - Vũ Hữu Bình - Tôn Thân 
 NXBGD - 1996
7. Những bài toán chọn lọc cho trường chuyên lớp chọn Tập 1
 P.TS Đỗ Đức Thái - Năm 1993
8. Thực hành giải toán - sách CĐSP - Vũ Dương Thuỵ (chủ biên) 
 NXBGD - Năm 1999
9. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ( Quyển thượng ) 
 Chủ biên : Nguyễn Đức Đồng - Nguyễn Văn Vĩnh - NXB Trẻ 
10. Tạp chí Toán tuổi thơ 2 - Số tháng 4 năm 2003 
 Tổng biên tập : Vũ Dương Thuỵ