Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thức Viet và những bài toán xung quanh nó Đại số Lớp 9 - Năm học 2006-2007 - Phạm Thị Huyền

A - Đặt vấn đề 
 Năm học 2006 – 2007 tôi được chuyên môn nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 9, trong giảng dạy tôi tâm đắc nhất, trăn trở nhất là khi dạy chương phương trình bậc hai một ẩn. Đây là 1 chương quan trọng trong chương trình môn toán chẳng những ở lớp 9 mà ở cả cấp THCS lẫn cấp THPT.
 Khi học chương này học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản của sách giáo khoa, giáo viên cần nâng cao kiến thức để áp ứng với yêu cầu của bộ môn, tạo tiền đề cho việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Đặc biệt là trang bị kiến thức cho kỳ thi chuyển cấp sắp tới. Để giảng dạy tốt phần tự chọn và bồi dưỡng học sinh, tôi đã đi nghiên cứu, tìm hiểu sâu về hệ thức Vi-et. Thực tế đã chứng minh những việc tôi đã làm là đúng. Các em học sinh hiểu nhanh hơn, sâu hơn biết vận dụng kiến thức 1 cách linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét.
B – giải quyết vấn đề
I - Công thức nghiệm tổng quát, thu gọn.
1. Củng cố lại lý thuyết.
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a0)
r = b2 – 4ac; r’ = b’2 – 4ac; ( )
a) Công thức nghiệm:
. r > 0 Phương trình có nghiệm 
. r = 0 Phương trình có nghiệm kép 
. r < 0 Phương trình vô nghiệm.
b) Công thức nghiệm thu gọn: 
. r’ < 0 Phương trình vô nghiệm.
. r’ = 0 Phương trình có nghiệm kép 
. r’ > 0 Phương trình có 2 nghiệm 
2. Ví dụ củng cố:
Ví dụ 1: Tìm k để phương trình kx2 + 3x + 4 = 0 (*) có hai nghiệm phân biệt.
Về phương pháp: Giáo viên cho đáp án giải:
 PT (*) có 2 nghiệm phân biệt r = b2 – 4ac = 9 – 16k > 0 k < 
- Cho học sinh thảo luận đáp án:
 Học sinh khá giỏi sẽ phát hiện ra chưa đủ, cần phải có điều kiện k 0.
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi k < và k 0.
Ví dụ 2: Tìm k để phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm đó.
x2 – 2kx + 1 = 0
GV cho học sinh giải: Học sinh trung bình giải được.
 r’ = 0 k2 – 1 = 0 k = 1
 Vậy k = 1 thì x1,2 = 1; k = -1 thì x1,2 = -1
Ví dụ 3: 
 Tìm k để phương trình: x2 – 4x + 5k = 0 có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.
Đáp án: PT có 1 nghiệm x = 3 9 – 12 + 5k = 0 
PT được viết: x2 – 4x + 3 = 0
Giải ra ta được x1 = 1; x2 = 3
Cho học sinh nhận xét và tìm cách giải khác. Học sinh khá tìm ra
Khi tìm được thì sử dụng định lí Viét
Vậy với k = thì phương trình đã cho có một nghiệm x1 = 3 và nghiệm còn lại là x2 = 1
II – Mở rộng hệ thức Viét.
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0)
1. Nếu phương trình bậc 2 có nghiệm thì hoặc 
2. Hệ quả của hệ thức Viét.
. Nếu a + b + c = 0 x1 = 1; x2 = 
. Nếu a – b + c = 0 x1 = -1; x2 = - 
(áp dụng để tính nhanh)
. Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: 
 x2 – Sx + P = 0.
3. Mở rộng hệ thức viét.
Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm trái dấu thì r > 0; P = < 0.
Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng dấu thì r ; P = > 0.
Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm thì r ; P = > 0; S = - < 0.
Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng dương thì r 0; P = > 0; S = - > 0.
4. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm k để phương trình: x2 + (k – 1)x + 3 = 0 có 1 nghiệm x1 = 1 và tìm nghiệm còn lại.
. Học sinh thường giải bằng cách thế x = 1 vào phương trình đã cho để tìm k sau đó tìm nghiệm còn lại.
. Nếu học sinh biết vận dụng hệ quả của hệ thức viét: 
 a + b + c = 0 1 + k – 1 + 3 = 0 k = - 3.
 Như vậy nghiệm còn lại x2 = = 3. 
 Vậy k = -3 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 và x2 = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 .
 Học sinh thường áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải. 
 Nhưng học sinh khá thì có thể phát hiện ra: a+b+c=0 .
 Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3: Cho phương trình: (k – 1)x2 + 5x + k + 1 = 0.
 Tìm k để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Giải: 
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu phải thỏa mãn:
hoặc 
 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
 Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 + 5x – k = 0
 Tìm k để phương trình có một nghiệm –1 và tìm nghiệm còn lại.
 Tìm k để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
Giải:
 Để phương trình đã cho có một nghiệm bằng –1 thì:
a – b + c = 0 1 – 5 + k = 0 k = 4
	x1 = -1; x2 = -
 Để phương trình đã cho có 2 nghiệm cùng dấu phải thỏa mãn:
 Vậy thì phương trình đã cho có 2 nghiệm cùng dấu.
Ví dụ 5: Tìm k để phương trình: x2 – 2kx + 9 = 0 có 2 nghiệm âm.
 Học sinh phải giải được hệ sau:
hoặc 
 Vậy k < 0 thì phương trình có 2 nghiệm âm.
Ví dụ 6: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0:
Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương?
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm?
Giải:
Ta có: 
 = 
 Vậy > 0 với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương thì:
 Vậy m > 4 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm dương.
Tương tự ta có:
Vậy phương trình không có nghiệm âm
Ví dụ 7: Cho phương trình: x2 – 11x + 30 = 0 
 Không giải phương trình chứng tỏ phương trình có nghiệm. 
 Nếu có nghiệm hãy tìm:
x12 – x22 	c) 
x12 + x22 	d) 
Giải
r = 112 – 120 = 1 > 0 nên chắc chắn phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
x12 – x22 = (x1 - x2)( x1 + x2) = S(x1 - x2) mà x1 - x2 = 
 Vậy x12 – x22 = 11. 
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P = 112 – 60 = 51.
Vậy x12 + x22 = 51
c) 
d) 
Ví dụ 8: a) Cho phương trình x2 + (k + 2)x + 2k + 7 = 0
 Tìm giá trị của k để phương trình đã cho có nghiệm x1 = 5 và tìm nghiệm còn lại.
 b) Tìm giá trị của k sao cho phương trình
x2 + (k + 2)x + k + 5 = 0 có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10.
Giải:
Phương trình x2 + (k + 2)x + 2k + 7 = 0 có một nghiệm bằng 5 nên ta có: 
52 + (k + 2)5 + 2k + 7 = 0 7k = -42 k = -6
Theo Viét ta có: 
Vậy khi k = -6 thì phương trình đã cho có nghiệm là x1 = 5; x2 = -1.
Ta có r= (k + 2)2 – 4(k + 5) = k2 + 4k + 4 – 4k – 20 = k2 – 16 > 0
Theo Viét 
Ta có x12 + x22 = 10 
(Loại); 
 Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10.
C – kết luận
 Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi khi giảng dạy phần phương trình bậc hai một ẩn. Qua thể nghiêm ở lớp tôi giảng dạy, tôi thấy hiệu suất giờ lên lớp vượt hẳn so với cách dạy thông thường. Nội dung trên cũng đã được tôi trao đổi tại tổ chuyên môn và đã được đồng nghiệp giảng dạy bộ môn này đánh giá tốt, có thể áp dụng vào thực tiễn giảng dạy. 
 Mong bạn đọc và bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài được phong phú, hoàn thiện hơn.
 Đức thanh, ngày 02 tháng 05 năm 2007
 Người viết đề tài 
 Phạm Thị Huyền