Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng phương trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức - Hà Danh Hưng

H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
1 
Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà x
 hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Phú Cát Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
I. Sơ yếu lý lịch. 
Họ và tên: Hà Danh H−ng. 
Sinh năm: 1979 
Năm vào ngành: 2002 
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THCS Phú Cát - Quốc Oai - 
Hà Tây 
Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin 
Hệ đào tạo: Chính qui 
Bộ môn đ−ợc phân công giảng dạy: Toán 9A + 9D. 
II. Nội dung đề tài. 
1. Tên đề tài: “h−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai 
giải bài toán rút gọn căn thức ”. 
2. Lý do chọn đề tài. 
- Trong thời gian hai năm dạy lớp 9 kể từ khi ra tr−ờng đến nay, tôi nhận 
thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi biến đổi rút gọn các căn thức dạng 
BA 2± cũng nh− các bài toán khác liên quan tới nó, ngay cả sau khi 
các em học về ph−ơng trình bậc hai, trong lúc đó nếu các em biết cách 
vận dụng ph−ơng trình bậc hai vào để tìm cách biến đổi thì bài toán này 
cực kỳ đơn giản, thậm chí đối với các học sinh có lực học trung bình 
- Chính vì vậy tôi nảy ra ý định dành ra một tiết h−ớng dẫn cho học sinh 
cách sử dụng ph−ơng trình bậc hai để thực hiện biến đổi rút gọn căn thức 
dạng BA 2± , trên cơ sở đó giải quyết các bài toán liên quan 
3. Phạm vi và đối t−ợng thực hiện của đề tài. 
- Đề tài này tôi thực hiện trong phạm vi một tiết, trong khuôn khổ ch−ơng 
trình bồi d−ỡng cho học sinh có lực học từ trung bình trở lên, tiết dạy này 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
2 
tôi thực hiện sau khi ch−ơng trình chính khoá toán 9 ( ch−ơng trình SGK 
mới ) đ\ dạy tiết 57 ( Hệ thức Vi – ét và ứng dụng ) nhằm nâng cao khả 
năng ứng dụng ph−ơng trình bậc hai vào giải toán, rèn luyện và nâng cao 
kỹ năng biến đổi và rút gọn các căn thức bậc hai. 
- Đối t−ợng thể nghiệm đề tài là 70 học sinh hai lớp 9A, 9D tr−ờng THCS 
Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây, mỗi lớp 35 học sinh, là các em có lực học 
từ trung bình trở lên. 
III. Quá trình thực hiện. 
1. Tình trạng tr−ớc khi thực hiện đề tài. 
- Sau khi dạy xong tiết 57 trong ch−ơng trình đại số 9 ( ch−ơng trình SGK 
mới ) tôi dành ra một tiết để ôn tập lại cho các em một số kiến thức cơ 
bản về căn bậc hai và rút gọn căn thức nhằm đánh giá kỹ năng rút gọn 
căn thức dạng BA 2± và giải toán liên quan của các em tr−ớc khi tôi 
thực hiện tiết dạy về sử dụng ph−ơng trình bậc hai vào rút gọn căn thức, 
tôi ra một đề kiểm tra 10’ với nội dung nh− sau: 
Rút gọn các căn thức sau 
a) 135224 +=A 
b) 




−+= 34732B 
Kết quả nh− sau:( lớp 9A: 35 bài/ 35 học sinh, lớp 9D: 35 bài/35 học 
sinh ) 
 Điểm 
Lớp 
0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
9A 5 10 18 2 0 0 
9D 3 7 15 9 1 0 
- Qua bài làm của các em tôi nhận thấy rằng, đa phần các em học sinh 
trung bình không biết làm thế nào để biến đổi biểu thức trong căn d−ới 
dạng bình ph−ơng, còn các em học sinh có học lực từ khá trở lên thì biến 
đổi đ−ợc song lại mất rất nhiều thời gian, trong lúc đó các em đang có 
một công cụ vô cùng nhanh và hiệu quả để giải quyết bài toán này, đó 
chính là ph−ơng trình bậc hai. 
2. Các biện pháp đã thực hiện. 
a. Mục đích của đề tài. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
3 
- Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em học 
sinh đặc biệt là các em có lực học trung bình cũng có khả năng giải quyết 
một cách nhanh chóng và hiệu quả bài toán rút gọn căn thức, một dạng 
toán không hề dễ đối với các em học sinh lớp 9, trên cơ sở đó giúp các em 
thêm gần gũi với môn toán, tạo hứng thú học tập cho các em. 
b. Các b−ớc tiến hành. 
Trong buổi ôn tập đó, sau khi kiểm tra, tôi chấm nhanh và trả bài cho 
các em ngay tiết sau, trên cơ sở nhiều bài điểm rất thấp, tôi đặt vấn đề sẽ 
h−ớng dẫn các em một cách làm đơn giản nh−ng hiệu quả để các em có thể 
giải nhanh và chính xác các bài toán mà các em vừa gặp khó khăn ở bài 
tr−ớc. 
1. Bài toán tổng quát 
• Bài toán : Nêu cách tìm các số thực d−ơng a, b sao 
( )22 baBA ±=± 
• Giải : 
- Từ đề bài ta có : ( )22 baBA ±=± 
- Suy ra : 
( )



=
=+
⇔
±+=±⇔±=±
Bab
Aba
abbaBAbaBA 222
2
- Do đó a, b là các nghiệm d−ơng của ph−ơng trình bậc hai 
02 =+− BAxx 
- Nhận xét : Để ph−ơng trình bậc hai 02 =+− BAxx có hai nghiệm 
d−ơng a, b điều kiện là 



>>
>
⇔



>>
>−
⇔





>=
>=+
>∆
0,0
4
0,0
04
0
0
0 22
BA
BA
BA
BA
Bab
Aba 
• Kết luận : Để tìm các số thực d−ơng a, b sao 
( ) ( )0,0,42 22 >>>±=± BABAbaBA ta giải ph−ơng trình bậc 
hai 02 =+− BAxx , hai nghiệm phân biệt d−ơng của ph−ơng trình này 
chính là các số a, b cần tìm. Để tìm nhanh các số a, b này có thể sử 
dụng máy tính bỏ túi có hỗ trợ chức năng giải ph−ơng trình bậc hai ! 
2. Bài tập ứng dụng 
• Bài tập cơ bản : Rút gọn các biểu thức sau 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
4 
a) 1227 + 
b) 51220 − 
c) 172842 + 
d) 15853 − 
e) 32 − 

 H−ớng dẫn : 
- Câu a : Đây là bài toán cụ thể với 12,7 == BA , nhẩm 
nhanh hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12 hoặc giải 
ph−ơng trình bậc hai 01272 =+− xx ta đ−ợc hai nghiệm 4 
và 3, tức là ( ) ( )22 32341227 +=+=+ 
- Câu b : T−ơng tự câu a, giải ph−ơng trình bậc hai 
051202 =+− xx ta đ−ợc hai nghiệm 17 và 3, tức là 
( )231751220 −=− 
- Câu c : Khác với hai câu a và b, ở đây biểu thức đề bài ra 
ch−a có dạng BA 2± mà chỉ có dạng BA ± nên ta 
phải làm xuất hiện số 2, sử dụng cách đ−a ra ngoài dấu 
căn ta đ−ợc 432242172842 +=+ , t−ơng tự câu a, b, 
giải ph−ơng trình bậc hai 0432422 =+− xx ta đ−ợc hai 
nghiệm 18 và 24, tức là 
( ) ( )22 62232418432242 +=+=+ 
- Câu d : Ng−ợc lại với câu c, bây giờ phải đ−a bớt vào 
trong căn để biểu thức có dạng giống bài toán tổng quát, 
đ−ợc 24025315853 −=− , t−ơng tự các câu trên ta 
giải ph−ơng trình bậc hai 0240532 =+− xx đ−ợc hai 
nghiệm 48 và 5, tức là 
( ) ( )22 534548240253 −=−=− 
- Câu e : Cũng giống nh− câu c, ta phải làm xuất hiện số 2, 
nh−ng số trong căn lại không thể đ−a ra ngoài dấu căn 
đ−ợc nữa nên ta phải nhân và chia cả biểu thức cho 2 , 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
5 
tức là 
2
324
2
32.232 −=−=− , từ đó t−ơng tự các 
phần trên ta đ−ợc ( ) ( )22 1313324 −=−=− 

 Giải : 
a) Ta có : 
( )
( ) 32|32|32
3433.4241227
2
2
+=+=+=
=+=++=+
b) Ta có : 
( )
317|317|
31733.1721751220
2
−=−=
=−=+−=− 
c) Ta có : 
( ) ( )
6223|6223|
62232418
2424.18218432242172842
22
+=+=
=+=+=
=++=+=+
d) Ta có : 
( ) ( )
534|534|
534548
55.4824824025315853
22
−=−=
=−=−=
=+−=−=−
e) Ta có : 
( )
2
1
2
3
2
13
2
|31|
2
31
2
33.121
2
324
2
32.232
2
−=
−
=
−
=
=
−
=
+−
=
=
−
=
−
=−

 Kết luận : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
6 
- Sau khi đ\ phân tích đ−ợc ( )22 baBA ±=± , ta áp 
dụng công thức ||2 MM = để khai ph−ơng 
- Cần chú ý dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để 
phá dấu giá trị tuyệt đối cho đúng 
- Để áp dụng bài toán tổng quát ta phải đ−a biểu thức đ\ 
cho về đúng dạng của bài toán tổng quát là BA 2± , vì 
vậy nếu ch−a có số “2” ta có thể sử dụng cách : đ−a ra 
ngoài dấu căn, đ−a vào trong dấu căn, nhân và chia với 
căn 2 để có đ−ợc điều mình cần 
• Bài tập nâng cao : Chứng minh các số sau đây đều là những số 
nguyên 
a) 5122935 −−−=A 
b) 34710485354 +−++=B 

 H−ớng dẫn : 
- Câu a : Về nguyên tắc ta phải biến đổi rút gọn A thành một 
số nguyên nào đó, vấn đề là biểu thức A chứa nhiều căn 
thức lồng theo nhiều tầng khác nhau, vì vậy ta phải rút rọn 
từ những căn thức phía trong. Dễ thấy căn thức trong nhất 
có dạng của bài toán tổng quát, vì vậy ta tìm cách chuyển 
lần l−ợt các căn thức của bài toán về dạng của bài toán 
tổng quát để giải quyết. Ta lần l−ợt chuyển về các căn thức 
có dạng của bài toán tổng quát là 
( )235251229 −=− và ( )215526 −=− 
- Câu b : T−ơng tự câu a, ta áp dụng bài toán tổng quát cho 
từng căn thức để từng b−ớc rút gọn biểu thức B về dạng 
một số nguyên. Ta lần l−ợt chuyển về các căn thức có 
dạng của bài toán tổng quát là ( )232347 +=+ và 
( )23531028 −=− 

 Giải : 
a) Ta có : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
7 
( )
( )
( )
( )
Z
A
∈=
=
+−=
−−=
−−=
−−=
+−−=
−−=
+−−=
−−−=
−−−=
−−−=
+−−−=
−−−=
1
1
155
|15|5
155
155
11.5255
5265
35235
|352|35
35235
92035
99.2022035
5122935
2
2
2
2
b) Ta có : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
8 
( )
( )
( )
( )
Z
B
∈==
+=
+=
−++=
−++=
−++=
−++=
−−++=
+−++=
+−++=
+−++=
39
54
254
3525354
355354
355354
310285354
31020485354
3210485354
3210485354
34710485354
2
2

 Kết luận : 
- Đối với các bài toán yêu cầu rút gọn một biểu thức chứa 
các căn thức lồng nhau ta sử dụng bài toán tổng quát rút 
gọn từ các căn thức phía trong để dần đơn giản hoá bài 
toán 
3. Bài tập tự luyện 
• Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau 
a) 71237 − 
b) 60000275 + 
c) 459 − 
• Bài tập 2: Chứng minh biểu thức sau là một số nguyên 
a) 
26
4813532
+
+−+
=A 
b) ( ) 12818122322613 −++−+−=B 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
9 
• H−ớng dẫn bài tập : 
Bài tập 1: 
a) ( )237271237 −=− 
b) ( )23521060000275 +=+ 
c) 
( )
2
315
2
45218459
2
−
=
−
=− 
Bài tập 2: 
a) Ta có : 
( )
( )
( )
1
26
26
26
348
26
322
26
348
26
322
26
1332
26
32432
26
132532
26
4813532
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
−+
=
+
−+
=
+
+−+
=
+
+−+
=A
b) Ta có : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
10 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) Z
B
∈=−=+−=
+−=+−=
−+−=
−+−=
−+−=
+−+−=
+−+−=
−++−+−=
−++−+−=
2131313
311332413
312613
3242613
3222613
31322613
124322613
24122322613
12818122322613
2
2
2
2
IV. Kết quả thực hiện đề tài có so sánh đối chứng. 
Ngay sau tiết dạy này tôi cho các em làm một bài kiểm tra nhỏ 10’ để 
kiểm nghiệm lại việc tiếp thu kiến thức và tính hiệu quả của đề tài 
Rút gọn các căn thức sau 
c) 168041+=A 
d) 4882211 −+=B 
Kết quả nh− sau:( lớp 9A: 35 bài/ 35 học sinh, lớp 9D: 35 bài/35 học 
sinh ) 
 Điểm 
Lớp 
0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
9A 0 0 18 5 9 3 
9D 0 0 15 3 9 8 
 Qua tiết dạy và kết quả kiểm tra tôi nhận thấy bài dạy của mình đ\ thật 
sự hữu ích với các em, học sinh đ\ biết vận dụng thành thạo ph−ơng trình 
bậc hai vào giải quyết các bài toán về rút gọn căn thức dạng BA 2± một 
cách nhanh chóng và hiệu quả ! 
V. Bài học kinh nghiệm. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng ph−ơng trình bậc hai giải bài toán rút gọn căn thức 
11 
- Việc thể nghiệm thành công đề tài nhỏ này đ\ giúp tôi có thêm một kinh 
nghiệm quý báu trong việc h−ớng dẫn học sinh rút gọn các căn thức dạng 
BA 2± chỉ thông qua hai thao tác, thao tác một chuyển căn thức đ\ 
cho về dạng chuẩn BA 2± , thao tác hai giải ph−ơng trình bậc hai 
02 =+− BAxx , từ đó biến đổi để rút gọn biểu thức của mình. 
- Cách làm này có vẻ máy móc nh−ng nó lại giúp ích rất nhiều cho đối 
t−ợng học sinh trung bình, một đối t−ợng có số l−ợng không nhỏ trong 
mỗi lớp học. 
VI. Phạm vi áp dụng. 
Có thể tiết dạy này không có gì đặc sắc với nhiều đồng chí, nh−ng với tôi 
nó thực sự là một giờ dạy tạo đ−ợc hứng thú cho rất nhiều học sinh, nó đ\ 
giúp các em có một công cụ hiệu quả và tiện lợi trong giải toán rút gọn căn 
thức, một dạng toán không dễ đối với học sinh THCS. 
Với dung l−ợng nhỏ, chỉ một tiết dạy, đối t−ợng áp dụng là các em học 
sinh lớp 9 có lực học toán từ trung bình trở lên và kiến thức cực kỳ đơn giản, 
hy vọng nó sẽ giúp nhiều cho các em học sinh nếu đ−ợc quý vị bổ xung và 
giúp đỡ. 
VII. Kiến nghị. 
Nâng cao chất l−ợng dạy học không gì khác ngoài việc giúp mỗi học sinh 
cảm thấy bài tập trong mỗi bài học thật đơn giản đối với các em, tôi mong 
muốn có nhiều thầy cô đóng góp, trao đổi ý kiến để đề tài nhỏ này của tôi 
khắc phục đ−ợc những khiếm khuyết, thực sự đem lại hiệu quả học tập cho 
các em học sinh ! 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
Quốc Oai, ngày 13 tháng 04 năm 2004 
 Hà Danh H−ng.