Sáng kiến kinh nghiệm: Giúp học sinh làm nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Nguyễn Kim Chánh

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 1
MỤC LỤC 
Trang 
A. MỞ ĐẦU 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:.........................................................................................................2 
1/Thực trạng của vấn đề: .............................................................................................2 
2/Ý nghĩa và tác dụng : .............................................................................................2 
3/Phạm vi nghiên cứu: .................................................................................................2 
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:.................................................................................2 
1/Cơ sở lý luận và thực tiển: .......................................................................................2 
2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: ...........................................................................2 
B. NỘI DUNG .............................................................................................................2 
I. MỤC TIÊU: ........................................................................................................3 
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:.........................................................................3 
1/ Thuyết minh : ..........................................................................................................3 
2/Khả năng áp dụng:........................................................................................................3 
 -Các phương pháp :.....................................................................................................4 
C.KẾT LUẬN............................................................................................................18 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................20 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 2
GIÚP HỌC SINH LÀM NHANH NHỮNG BÀI TOÁN 
 “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” 
A. MỞ ĐẦU 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 
 Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào 
tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu 
cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài 
cho đất nước. Chính vì vậy việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết 
sức chú trọng. 
1/Thực trạng của vấn đề: 
 Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó 
“Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan 
trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. 
Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa 
thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu 
học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều 
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về phân tích 
đa thức thành nhân tử, ... Cho nên chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một 
trong những vấn đề mà giáo viên hết sức quan tâm. 
2/Ý nghĩa và tác dụng : 
 Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn 
học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức 
cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm 
vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một 
công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên 
phải làm. 
 Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có 
năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ 
môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn . Các cuộc thi học sinh giỏi 
các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Với tất cả 
những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 
3/Phạm vi nghiên cứu: 
 Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại Trường THCS Trần Quang Diệu và dành cho đối 
tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán các lớp 8; 9 
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 
1/Cơ sở lý luận và thực tiển: 
 - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. 
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải 
bài tập thích hợp cho từng bài . 
- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân 
tử trong giảng dạy. 
- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 
2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: 
a.Phương pháp nghiên cứu 
 Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây: 
 a) Phương pháp nghiên cứu lý luận. 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 3
 b) Phương pháp khảo sát thực tiễn. 
 c) Phương pháp quan sát. 
 d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. 
 e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 
b.Thời gian nghiên cứu 
 Từ ngày 5 / 9 / 2013 đến hết ngày 30 /12 / 2012 
B. NỘI DUNG 
I. MỤC TIÊU: 
 Học sinh nắm kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, biết biến đổi những 
bài toán thực tế để áp dụng phương pháp phù hợp,biết phối hợp các phương pháp để giải 
cho kết quả nhanh nhất có thể,biết giải bài toán bằng nhiều cách nếu được . Học sinh làm 
được bài và có hiệu quả khi kiểm tra hoặc dự thi các cấp. 
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 
1/ Thuyết minh : 
* Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử 
a) Định nghĩa 1 
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng 
đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử. 
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân 
tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: 
anxn + an-1xn-1 +  + a0 = c( c
an xn + 
c
an 1 xn – 1 + ..+ 
c
a0 ) ( với c 0, c 1 ). 
b) Định nghĩa 2 
Giả sử P(x)P  x là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường 
P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc 
của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P. 
 *Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử 
 a)Định lý 1 
Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, 
và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” 
 b) Định lý 2 
Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc 
hai với biệt thức  < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành 
tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0. 
 c)Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) 
Giả sử f(x) = a0 + a1x + .. + anxn , n > 1, an  0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn 
tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn 
lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên 
Q. 
2/Khả năng áp dụng: 
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các 
đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn 
hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dưới đây 
qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành 
nhân tử một cách có hệ thống từ dễ dến khó cho từng phương pháp. 
 -Các phương pháp : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
1. Phương pháp đặt nhân tử chung 
2 . Phương pháp nhóm các hạng tử 
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 4
4. Phương pháp thực hiện phép chia 
5. Phương pháp đặt ẩn phụ 
6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) 
7. Phương pháp hệ số bất định 
8. Phương pháp xét giá trị riêng 
1. Phương pháp đặt nhân tử chung 
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép 
cộng (theo chiều ngược). 
 *Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
a/ A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) 
Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) 
 = 2x2 (ax + 2by + ax – by) 
 =2x2(2ax + by) 
b/ B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) 
Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) 
 = (5y+2b)    2 22a – 3ax – 6a – 4ax   
 = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) 
 = (5y + 2b)(x – 4a)a 
c/ C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z 
Do đó : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 
 = 3x(y – 2z)  (x – 5 y – 2z   
 =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) 
d/ D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy 
Giải: Ta có: D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy 
 = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) 
 = 3xy    2 2 2x – 2x 1 – y 2yz z     
 = 3xy    2 2x – 1 – y z   
 = 3xy    x – 1 – y z       x – 1 y z    
 = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) 
e/ E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) 
Giải: Ta có : E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) 
 = 2(y – 2z)(8x2 – 5y) 
f/ F = x3 + 3x2 + 2x + 6 
Giải: Ta có : F = x3 + 3x2 + 2x + 6 
 = x2(x + 3) + 2( x + 3) 
 = (x2 + 2)(x + 3) 
g/ G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 
Giải: Ta có : G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 
 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) 
 = (2z + 1)(3z2 + 1) 
2 . Phương pháp nhóm các hạng tử 
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp 
của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận 
dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. 
* Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 5
a/ A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 
Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 
 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) 
 = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) 
 = x(y – z)(y + z) - yz(y – z) - x2(y – z) 
 = (y – z)   2x y z yz x )     
 = (y – z)    2xy – x xz – yz   
 = (y – z)    x y – x z x – y   
 = (y – z)(x – y)(z – x) 
b/ B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 
Giải: Ta có: B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 
 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) 
 = (2x3 + 3)(2x2 + 3) 
c/ C = x6 + x4 + x2 + 1 
Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1 
 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) 
 = (x2 + 1)(x4 + 1) 
d/ D = x2 + 2x + 1 – y2 
Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2 
 = (x2 + 2x + 1) – y2 
 = (x + 1)2 – y2 
 =(x +1 – ... x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) 
 f/ F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
Giải: Ta có : F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 
 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x 
 = (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 +x4 +x 
 = (x2 – x + 1) +(x2 – x + 1)2 + x(x + 1)(x2 – x + 1) 
= (x2 – x + 1)    21 x – x 1 x x 1      
 =(x2 – x + 1)(2x2 +2 ) 
 = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) 
g/ G = 4x4 + 81 
Giải: Ta có : G = 4x4 + 81 
 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 
 =(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) 
h/ H = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 
Giải: Ta có : H = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 
 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5 
 = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) 
 = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) 
i/ I = x3 – x2 – x - 2 
Giải: Ta có : I= x3 – x2 – x - 2 
 = x3 – 1 – (x2 + x + 1) 
 = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)(x – 1 – 1) 
 = (x2 + x + 1)(x – 2) 
k/ K = x3 + x2 – x + 2 
Giải: Ta có : K= x3 + x2 – x + 2 
 = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) 
 = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) 
 = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) 
 = (x2 - x + 1)(x + 2) 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 16
l/ L = x3 – 6x2 – x + 30 
Giải: Ta có : L = x3 – 6x2 – x + 30 
 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 
 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) 
 = (x + 2)(x2 – 8x + 15) 
 = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) 
 = (x + 2)  2x – 4 – 1   
 = (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1) 
 = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 
7. Phương pháp hệ số bất định 
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ 
số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp. 
 *Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a/ A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : 
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) 
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện : 
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
  
   

  
 
Xét bd = 3 với b, d Z , b   3;1 với b = 3; d = 1 
Hệ điều kiện trở thành : 








143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2 
 Vậy A= x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 
 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) 
b/ B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : 
B = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) 
 = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg 
 = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg 
 = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện : 
















10
37
7
11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad
  
















2
7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 ) 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 17
c/ C= x4 – 8x + 63 
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng : 
C = x4 – 8x + 63 
 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) 
 = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện: 











63
8
0
0
bd
bcad
dbac
ca
  











9
4
7
4
d
c
b
a
 Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 
8. Phương pháp xét giá trị riêng 
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể 
phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định dạng 
các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số 
còn lại. 
*Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a/ A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) 
Giải: Thử thay x bởi y thì A = y2(y – z) + y2(z – y) = 0 
Như vậy A chứa thừa số x – y 
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi ( ta nói đa 
thức A có thể hoán vị vòng quanh xy zx . Do đó nếu A chứa thừa số x – y thì cũng 
chứa thừa số y – z, z – x . Vậy A có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) 
Ta thấy k phải là hằng số, vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích 
 (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. 
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi 
x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta 
được: 
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 
 2 = -2k 
 k = -1 
Vậy A = -1(x – y)(y – z)(z – x) 
 = (x – y)(y – z)(x – z) 
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để 
(x – y)(y – z)(z – x)  0. 
b/ B = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(x – z) 
Giải: Thay x = y thì B = y2z2(z – y) + z2y2(y – z) = 0 
Như vậy B chứa thừa số x – y. 
Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh xyzx. Do đó nếu B chứa thừa 
số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy B có dạng : 
k(x – y)(y – z)(z – x) 
Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho 
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là : 
 B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số. 
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được : 
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1) 
 -2 = 2k 
 k = -1 
Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x) 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 18
 = (x – y)(y – z)(x – z) 
c/ C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 
Giải: 
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào C ta có: 
C = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0 
Do đó C (a – b) 
Suy ra C  (b – c) và A (c – a). Từ đó : 
C (a – b)(b – c)(c – a) 
Mặt khác C là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia C cho 
(a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là : 
C = k(a – b)(b – c)(c – a) 
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1 
C = -1(a – b)(b – c)(c – a) 
 = (a – b)(b – c)(a – c) 
d/ D = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) 
Giải: 
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào D ta có: 
 D = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0 
Do đó : D  (y – z) 
Suy ra D (z – x) và P  (x – y). Từ đó : 
 D  (y – z)(z – x)(x – y) 
Mặt khác D là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia D cho 
(y – z)(z – x)(x – y)được thương là hằng số k, nghĩa là : 
D = k(y – z)(z – x)(x – y) 
 Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được : 
2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2) 
 - 6 = - 2k 
 k = 3 
Vậy D = 3(y – z)(z – x)(x – y) 
Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(x – y) 
e/ E = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) 
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì E không thay đổi. 
Thay a = 0 vào E ta có : 
E = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0 
Do đó E  a 
Suy ra E  b và E  c. Từ đó : 
E  abc 
Mặt khác E là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia E cho abc thương là hằng 
số k, nghĩa là : 
E = k.abc 
Cho a = b = c = 1, ta được : 
1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 
k = 4 
Vậy E = 4.abc 
Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc 
C.KẾT LUẬN 
 Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Bởi 
vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có được những học sinh giỏi, chúng ta 
cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 19
với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự 
về bộ môn Toán. 
 Do năng lực còn hạn chế, nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi không thể tránh được 
những thiếu sót, bản thân rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các bạn đồng nghiệp, các 
nhà quản lý giáo dục để có thể hoàn thiện hơn. 
 Trên đây, sáng kiến kinh nghiệm tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá 
trình bồi dưỡng học sinh giỏi .Tuy nhiên, đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất 
trọng tâm của chương trình toán THCS 
1. Kết quả 
 Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi.Tôi thấy HS tiến 
bộ hơn nhiều trong việc nhận dạng bài toán và chọn lựa phương pháp giải phù hợp,nhanh 
chóng . 
2. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 
 - Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có một 
trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một 
cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò 
mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh. 
 - Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên 
cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các 
chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất 
để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải 
các bài toán khác cùng thể loại. 
 - Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, 
theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích 
các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, 
cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các 
em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu . 
3. Kiến nghị đề xuất 
 - Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 để HS có thời gian ôn 
luyện nhiều dạng toán . 
 - Nên chọn lọc HS từ đầu tương đối kỹ thì việc bồi dưỡng sẽ thuận lợi hơn. 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
-Sách giáo khoa Toán 8, Toán 9, tập1;2 
-Sách giáo viên Toán 8, Toán 9, tập1;2 
-Sách bài tập Toán 8, Toán 9,tập1;2 
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn) 
-“23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – 
Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH). 
 -500 bài toán 8,9 chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu) 
 -Để học tốt đại số 8,9 (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ thế Hựu-Hoàng Chúng) 
 -Các sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở 
 -Nâng cao và phát triển toán 8,9 (Vũ hữu Bình) 
 -Tài liệu toán học tổng hợp "Trương Công Thành - Nguyễn Hữu Thảo". 
 -Toán nâng cao theo các chuyên đề 
 -Toán học và tuổi trẻ 
Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 21
ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ NHÀ TRƯỜNG