Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng cơ bản và phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Nguyễn Hữu Vinh

A. Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chương trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chương IV Đại số 8 tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các phương trình chứa đấ giá trị tuyệt đối. Khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng như các phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi. Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng trong chương trình, đặc biệt là chương trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này. 
Vì sao học sinh thường không nắm vững các bước giải phương trình chứa dấu gía trị tuyệt đối?
Bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiều kiến thức như tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân, kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phương trình, giải bất phương trình...Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường ngại khó vì vậy ít lưu tâm khi phải tiếp thu kiến thức.
Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm được các kiến thức, nắm vững các phương pháp, các bước giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trong 2 năm qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi rút ra được hệ thống các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thường gặp và các bước giải từng dạng sau đây. Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong chương trình toán 8. 	
 II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 1. Đối tượng nghiên cứu:
 Là học sinh lớp 8.
2. Phạm vi nghiên cứu:
 Học sinh lớp 8B, 8C, 8G Trường THCS Diễn Bích năm học 2008-2009.
 III. Tài liệu tham khảo
-Sách giáo khoa Toán 8 
-Sách bài tập Toán 8 - Tập 2
-Sách giáo viên Toán 8
-Thiết kế bài soạn Toán 8
-Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản DG)
-Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
-Tài liệu bồi dưỡng Toán 8
-Chuyên đề nâng cao Toán 8.
B.nội dung
Các dạng cơ bản và phương pháp giải
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8
 Với số a ta có: 
Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Phương trình: , với k là hằng số không âm.
Dạng 2: Phương trình: 
Dạng 3: Phương trình: .
Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phương pháp giả ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể như sau:
Bài toán 1: Giải phương trình: , với k là hằng số không âm.
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ1: Giải các phương trình sau:
a, b, - 2 = 0
a, ta có 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = 1.
Bài toán 2: Giải phương trình: 
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, b, . c, 
 Giải:
a, Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải phương trình: = , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m - 2
Bài toán 3: Giải phương trình: 
Phương pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hia cách giải sau:
Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu f(x) 0 (1)
Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)
-Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2)
Phương trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Cách 2: Thực hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) 0.
Bước 2: Khi đó: Nghiệm x
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
 Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Cách 1: Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4 (1)
Phương trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = thoả mãn điều kiện (1)
-Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Phương trình có dạng: -x - 4 + 3x = 5 2x = 9 x = không thoả mãn tra 
điều kiện (2).
Vậy phương trình có nghiệm x = .
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng 
Với điều kiện - 3x + 5 0 - 3x - 5 x 
 Khi đó phương trình được biến đổi:
Vậy phương trình có nghiệm x = .
Lưu ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp như nhau. Vậy trong trường hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại?
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách 1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phương trình f(x) 0 và f(x) < 0.
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện các bước biến đổi phươnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình:
a, b, 
	Giải:
a, Xét hai trường hợp.
 -Trường hợp 1:
 Nếu x + 1 0 x -1 (1)
Khi đó phương trình có dạng: x + 1 = x2 + x x2 = 1 x = 1 (thoả mãn đk 1)
 -Trường hợp 2:
 Nếu x + 1 < 0 x < -1 (2)
Khi đó phương trình có dạng: - x - 1 = x2 + x x2 + 2x + 1 = 0 (x+1)2 = 0 
 x = -1 ( không thoả mãn đk 2).
Vậy phương trình cób hai nghiệm x = 1
b, Viết lại phương trình dưới dạng:
 với điều kiện 2x - 4 0 2x 4 x 2 (*)
Ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Lưu ý 2: - Đối với một số dạng phương trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những cách giải khác phù hợp chẳng hạn như phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 6: Giải phương trình 
Viết lại phương trình dưới dạng 
 (1)
Đặt = t ( t 0)
Khi đó từ (1) ta có phương trình 
t2 - 2t - 3 = 0 t2 + t - 3t - 3 = 0 t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 (t + 1)(t - 3) = 0
 t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Với t = 3 ta được = 3 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4.
Ví dụ 7: Giải phương trình (1)
Điều kiện xác định của phương trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt t = điều kiện t > 0
Khi đó (1) 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
VT = =2
Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là ) 
khi 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
 Đối với những phương trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. NHững giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình tìm được.
Ví dụ 8: Giải phương trình + = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
 x - 3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp.
+Trường hợp 1: Nếu x < 1
 Khi đó phương trình có dạng: 
 - x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)
+Trường hợp 2: Nếu 1 x < 3.
 Khi đó ta có phương trình:
 x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm.
+Trường hợp 3: Nếu x 3 
 Khi đó phương trình có dạng: 
 x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
 Vậy nghiệm của phương trình là 1 x 3
C. kết quả đạt được:
 Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phương pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học sinh nắm vững dược kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phương trình chứa đấu giá trị tuyệt đối. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải được xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Đương nhiên hệ thống kiến thức trên chỉ dừng lại đối với đối tượng học sinh có học lực trung bình và khá, còn đối với học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán phong phú hơn.
D. Kết luận
 Như vậy, từ chỗ họ sinh còn lúng túng trong kiến thức và phương pháp giải thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở mức cơ bản. Khi nắm vững kiến thức và phương pháp giải học sinh sẽ có được sự hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao được chất lượng đại trà trong dạy học bộ môn Toán. Với hệ thống kiến thức cơ bản được xây dựng và truyền thụ như trên học sinh sẽ chủ động để tiếp thu những kiến mới hơn trong chương trình ở các lớp trên.
 Có thể nói, trên đây là một số điều mà bản thân tôi đã rút được qua dạy học. Tuy nhiên trong những điều đó cũng được qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi từ đồng nghiệp nên cũng còn có những hạn chế nhất định.
 Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp, chỉ bảo của hội đồng khoa học các cấp và các bạn đồng nghiệp.
 Xin chân thành cảm ơn ! 	
 Diễn Bích, ngày 30 tháng 4 năm 2009
	 Người làm đề tài
 Nguyễn Hữu Vinh