Rèn luyện tư duy học sinh qua giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trong Đại số lớp 8

 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS nói chung ,môn Toán 
 lớp 8 nói riêng tôi nhận thấy được một số điều sau:
Trong SGK có các bài tập được chia thành nhiều dạng : vận dụng trực tiếp kiến thức, rèn luyện khả năng suy luận, rèn luyện tư duy sáng tạo,..
Khối lượng kiến thức trong một tiết học tương đối nhiều
HS ỷ lại vào sách giải nhiều hơn là khả năng tư duy của bản thân và thói quen độc lập suy nghĩ rất hạn chế.
Trong quá trình học tập học sinh chưa biết sắp xếp lịch học của mình một cách khoa học và thường học một cách máy móc ,thiếu sự tư duy.
 Vì thế giáo viên không thể coi nhẹ việc trau dồi tư duy và luyện tập cho học 
 sinh các phương pháp suy luận sáng tạo.Do vậy trong giảng dạy môn toán, 
 giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán 
 dưới các dạng khác nhau. Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải 
 của một bài toán để luyện tập cho học sinh nhìn nhận một vấn đề nào đó theo 
 nhiều khía cạnh khác nhau. Hơn thế nữa phải giúp cho học sinh nắm được bản 
 chất của bài toán để tự bản thân đưa ra được một đề toán theo định hướng 
 trước, kích thích được lòng say mê sáng tạo của học sinh, từ đó phát huy được 
 khả năng tư duy, sự linh hoạt khi tìm lời giải một bài toán.
 II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC 
 GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
 1. Thuận lợi:
- Học sinh khối 8 đang phát triển mạnh mẽ về thể chất và trí tuệ. Các em đang
 muốn thể hiện tính độc lập và sự hiểu biết của bản thân. Đó là điều thuận lợi
 cho việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho các em.
 - Được sự hỗ trợ của Ban Giám hiệu nhà trường và sự đóng góp ý 
 kiến nhiệt tình của đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành được sáng 
 kiến kinh nghiệm này.
 2. Khó khăn:
- HS đa số còn lười suy nghĩ, phần lớn các em dựa vào các loại sách giải đang 
 phát hành tràn lan
- Phương pháp này đòi hỏi người giáo viên phải mất nhiều thời gian vào việc 
 chuẩn bị bài để tìm ra nhiều hướng giải khác nhau của cùng 1 bài toán.
- Lượng kiến thức và bài tập trong 1 tiết học còn nhiều .
- Đa số HS chưa nắm vững kiến thức cơ bản ở các lớp dưới .
3. Kết quả điều tra cơ bản:
- Tự bài toán trong sách giáo khoa bằng một cách duy nhất đã học : 25%.
- Sáng tạo giải một bài toán bằng hai cách khác nhau: 2,5%.
- Số còn lại thường dựa vào sách giải bài toán..
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
- Ngành giáo dục ở nước ta hiện nay là đổi mới mục tiêu giáo dục theo 
 hướng toàn diện nhằm đáp ứng cho sự phát triển của đất nước và hòa nhập vào 
 sự tiến bộ chung của thế giới .Vì vậy rèn luyện tư duy cho HS là một 
 trong các yêu cầu không thể thiếu trong quá trình dạy học . 
 Một trong những đổi mới quan trọng nhất cần thực hiện trong dạy học toán 
 hiện nay là nhanh chóng chuyển từ hình thức thầy giảng – trò ghi sang hình 
 thức thầy tổ chức – trò tích cực hoạt động ,sáng tạo.
II. NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI :
1. Một số phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử .
1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung .
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 10x (x – y) – 8y( y – x)
Hướng giải quyết 
 - Tìm nhân tử chung là những đơn thức , đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử .
 - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác .
 - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc , viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng)
 10x (x – y) – 8y( y – x)
= 2. 5x (x –y) + 2 .4y(x – y)
= 2(x – y)(5x + 4y) 
 1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 25x4 – 10x2y + y2
Hướng giải quyết 
 Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản . 
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 –y)2
 1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x3 – 3x2 + 2x – 3
Hướng giải quyết 
 Dùng các tính chất giao hoán , kết hợp của phép cộng các đa thức , ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm .
2x3 – 3x2 + 2x – 3 
= (2x3 – 2x) + (3x2 +3)
= 2x(x2 + 1) + 3(x2 + 1) 
= (x2 + 1)(2x +3) 
 1.4. Phương pháp tách .
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x2 – 7xy + 5y2
Hướng giải quyết 
Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được 
2x2 – 7xy + 5y2 
= 2x2 – 2xy – 5xy + 5y2
 = 2x(x – y) – 5y(x – y) 
 = (x – y)(2x – 5y)
 1.5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử .
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : a4 + 4
Hướng giải quyết 
Ta thêm hoặc bớt cùng một hạng tử nào đó vào đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được .
a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 
= (a2 + 2)2 – (2a)2
= (a2 + 2 – 2a)(a2 + 2 + 2a) 
= (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2)
 2. Vài phương pháp phân tích thành nhân tử khác .
 2.1. Phương pháp đặt biến phụ .
 Trong một số trường hợp để việc phân tích đa thức thành nhân tử được 
 thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích hợp .
 Ví dụ : Phân tích thành nhân tử .
 A = (x2 + 2x + 8) + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2
 Đặt y = x2 + 2x + 8 ta có :
 A = y2 + 3xy + 2x2 = y2 + xy + 2xy + 2x2
 = y(y + x) + 2x(y + x) = (x + y)(2x +y)
 A = (x2 + 3x + 8)(x2 + 6x + 8) = (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4)
 2.2. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa .
 Phương pháp này chỉ sử dụng được cho các đa thức như a7 + a5 + 1 , a8 + a4 + 1 , 
  là những đa thứ có dạng a3k+1 + a3k +1 . Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số mũ
 của lũy thừa , ta cần chú ý đến các biểu thức dạng a6 – 1 , a3 – 1 là những biểu 
 thức chia hết cho a2 + a + 1 .
 Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : A = a5 + a4 + 1
 Ta có : A = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 + a – a + 1
 = (a5 + a4 + a3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a +1)
 = (a2 + a + 1)(a3 – a + 1)
 2.3. Phương pháp hệ số bất định .
 Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
 nhất , một đa thức bậc hai dạng (a + b)(cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất 
 hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia .
 Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : x3 – 15x – 18 thành tích một nhị thức bậc nhất 
 và một tam thức bậc hai .
 Giả sử đa thức trên được phân tích thì :
 x3 – 15x – 18 = (x + a)( x2 + bx + c)
 x3 – 15x – 18 = x3 + (a+ b)x2 + (ab + c)x + ac
 Đồng nhất hai đa thức ở 2 vế ta được :
 Vì hai đa thức này đồng nhất nên : 
 Từ a . c = -18 ta có thể chọn a = 3 c = - 6 ; b = - 3 thỏa mãn (*)
 Vậy : x3 – 15x – 18 = (x + 3)(x2 – 3x – 6)
 Nói chung khi phân tích một đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt , 
 sáng tạo các phương pháp trên và phải biết phối hợp chúng một cách hợp lý . 
 Kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là duy nhất .
 3. Quá trình tư duy cần có :
3.1. Tính mềm dẻo:
 Tính mềm dẻo là khả năng chỉ từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ 
 khác vận dụng linh hoạt các hoạt động. Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
 như: quy nạp, suy diễn, tương tự, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ của học 
 sinh không rập khuôn, không áp dụng máy móc những kiến thức đã học. Nhận
 ra được vấn đề mới lạ trong điều kiện quen thuộc
 Ví dụ : Phân tích đa thức y6 – 64x6 thành nhân tử
 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :
 Cách 1 : Ta có y6 – 64x6 = (y2)3 – (4x2)3
 = (y2 – 4x2)[(y2)2 + 4x2y2 + (4x2)2]
 = (y – 2x)(y + 2x)(y4 + 4x2y2 + 16x4)
 Cách 2 : Ta có y6 – 64x6 = (y3)2 – (8x3)2
 = (y3 – 8x3)(y3 + 8x3) = [y3 – (2x)3][y3 + (2x)3]
 = (y – 2x)(y2 + 2xy + 4x2) (y + 2x)(y2 - 2xy + 4x2)
 Qua ví dụ trên , ta thấy ngay được việc lựa chọn hướng biến đổi theo hằng
 đẳng thức một cách thích hợp sẽ nhận được kết quả tốt hơn .
 3.2. Tính nhuần nhuyễn:
- Phải có khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác.
- Phải có khả năng tìm được nhiều lời giải trên nhiều góc độ và tình huống 
 khác, để từ đó tìm được phương pháp hay nhất.
 - Để làm được những điều trên bản thân học sinh phải cần nắm vững các 
 kiến thức cơ bản đã học. Do đó, giáo viên cần dặn dò học sinh ở tiết trước ôn lại 
 những phần nào có liên quan tới tiết học sau, kể cả những kiến thức đã học ở lớp 
 dưới có liên quan.
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 – 4)2 – 8x – 1
 (x2 – 4)2 – 8x – 1 = x4 – 8x2 + 16 – 8x – 1
 = x4 + 8x2 + 16 – 16x2 - 8x – 1
 = (x2 + 4)2 – (4x + 1)2
 = (x2 + 4 – 4x – 1)(x2 + 4 + 4x + 1)
 = (x2 – 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
 = (x – 1)(x – 3) )(x2 + 4x + 5)
 Học sinh thường khó biết cách thêm bớt 8x2 .
 3.3. Tính độc đáo:
Phải rèn luyện cho học sinh các khả năng sau:
- Tìm lời giải lạ.
- Tìm ra mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới.
- Nhìn ra mối liên hệ trong những điều kiện bên ngoài tưởng như không liên
 hệ với nhau.
 Ví dụ : Rút gọn biểu thức : 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Khi mới đọc xong đề, học sinh thường máy móc tính theo cách thông thường
 . Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy các lũy thừa trong các biểu thức 
 có liên quan gì với nhau bằng cách gợi ý sau:
 - Các biểu thức trong ngoặc có liên quan đến hằng đẳng thức nào không ?
 - Đa thức 24 +1 nhân với một đa thức nào để đưa về dạng x8 – 1?
 - Làm thế nào để xuất hiện đa thức 24 – 1 ?
 - Cần biến đổi 3 thành biểu thức như thế nào kết hợp với 22 +1 thành đa thức
 24 – 1 ?
 - Từ đó học sinh áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức (a - b)(a + b) = a2 – b2
 Giải: Thay 3 = 22 – 1 , ta được :
 (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
 = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)
 = (216 - 1) )(216 + 1)
 = 232 - 1
 4. Các dạng bài toán bồi dưỡng tư duy sáng tạo:
Các bài tập ra cho học sinh cần được chọn lọc để tìm đúng bài cần thiết, ra 
 đúng thời điểm cần thiết. Bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước là một gợi ý 
 cho cách giải bài sau, cứ thế học sinh có thể tự mình giải quyết được những vấn 
 đề mới đặt ra, tự mình làm được công việc của người khám phá kiến thức. Nếu 
 đặt trước học sinh những bài toán quá khó, vượt qua sức mình sẽ làm các em 
 choáng ngợp, mất tự tin, thổi tắt ngọn lửa sáng tạo mới nhen nhóm trong các 
 em. Phải luôn tạo cho học sinh nhiều dịp tập dượt các thao tác tư duy, dành lại 
 cho các em sự độc lập suy nghĩ để từ đó nảy sinh mầm mống của sự sáng tạo.
 Một số dạng bài toán rẻn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh :
 4.1. Bài toán có nhiều cách giải:
Giáo viên có thể:
- Chia nhiều nhóm cùng giải một bài toán.
- Hoặc gợi ý để học sinh có nhiều cách giải khác nhau.
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4x + 3
 Cách 1: ( Sử dụng phép tách theo B)
 Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3 = (x2 + x)(3x + 3)
 = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)
 = (x +1)(4x – 3x + 3) = (x + 1)(x + 3)
 Cách 2: ( Sử dụng phép tách theo A)
 Ta có : x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3 = (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)
 = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1) (x + 1)
 = (x + 1)(4x – 3x + 3) = (x +1)(x + 3)
 Cách 3: ( Sử dụng phép tách theo C)
 Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1 = (x2 – 1)(4x + 4)
 = (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – 1 + 4)
 = (x + 1)(x + 3)
 Cách 4: ( Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức)
 Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2x + 22 – 1 = (x + 2)2 – 1
 = (x + 2 – 1)(x + 2 + 1) = (x + 1)(x + 3)
 4.2. Bài toán có tính đặc thù:
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát hiện ra được tính đặc thù, dạng
 đặc biệt của bài toán, để tìm cách giải phù hợp.
Ví dụ: Tìm x , biết :
 Nếu thu gọn vế trái bằng cách cộng các phân thức thì học sinh sẽ gặp khó 
 khăn trong tính toán. Nếu phát hiện được dạng đặc biệt của bài toán và dùng các
 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành nhân tử
 thì bài toán sẽ được giải rất dễ dàng .
 Bài toán được giải như sau :
 (100 – x)
 Vì , nên 100 –x = 0 x = 100
 4.3. Bài toán ngụy biện:
Giáo viên đưa ra một số bài toán có lời giải sai để học sinh xem xét và phát 
 hiện ra chỗ sai. Từ đó học sinh sẽ khắc sâu hơn các kiến thức đã học.
 Ví dụ : Rút gọn phân thức : 
Một học sinh đã giải như sau:
=== 
 Hãy cho biết bài toán trên giải đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào?
* Nếu không chú ý kỹ và không nắm vững tính chất bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau thì học sinh không thể phát hiện ra được chỗ sai.
 Vì vậy, khi phát hiện ra được chỗ sai -16(x – 2)2 thì học sinh sẽ khắc sâu tính 
 chất bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau tránh được những sai
 lầm sau này khi giải bài toán tương tự.
 4.4. Bài toán đặt ẩn phụ:
Có những đa thức nếu không đặt ẩn phụ thì sẽ gặp khó khăn, thậm chí bế tắc trong việc phân tích đa thức thành nhân tử .
Nếu đặt ẩn phụ thì bài toán trở nên đơn giản hơn .
 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6
 Hướng dẫn học sinh chọn ẩn phụ cho thích hợp :
Đặt: y = x2 + 3x + 1 , ta có :
y(y + 1) – 6 = y2 + y – 6 = y2 + 3y – 2y – 6
= y(y + 3) – 2 (y + 3) = (y – 2)(y + 3)
 Thay y = x2 + 3x + 1 , ta được (x2 + 3x -1)(x2 + 3x + 4)
IV. KẾT QUẢ
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Giáo viên cần nhiều thời gian để đầu tư cho việc nghiên cứu, soạn giảng để tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán,.
Giáo viên không nên giải bài tập trong một tiết học mà nên chọn ra các bài tập có tính chất đặc trưng để rèn luyện tư duy cho học sinh qua một số hệ thống bài tập từ cơ bản đế nâng cao.
VI. KẾT LUẬN
 Trong thời gian giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua học hỏi ở đồng 
 nghiệp và một phần nhờ kinh nghiệm của bản thân, tôi đã rút ra được việc phân
 loại các bài toán và chọn lựa bài toán để giải cho học sinh đã phần nào giúp cho 
 học sinh có thói quen suy nghĩ. Qua đó, học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo
 của bản thân mình trong quá trình học tập.
Để tài này đã được thử nghiệm đối với lớp học đại trà. Tuy bước đầu học 
 sinh còn bỡ ngỡ (vì kiến thức cũ còn nhiều hạn chế), nhưng nhìn chung học sinh
 rất có hứng thú trong học tập. Hy vọng rằng điều đó sẽ giúp học sinh tích cực 
 hơn trong việc rèn luyện tư duy của bản thân.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
 - Sách giáo khoa Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận .
Sách giáo viên Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận .
 - Sách bài tập Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Tôn Thân , Vũ Hữu Bình, Trần đình Châu , Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận .
MỤC LỤC
Trang
Thông tin cá nhân
Lý do chọn đề tài
Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài .
Nội dung
Kết quả . Bài học kinh nghiệm .
Kết luận
Tài liệu tham khảo
1
2
2
3
12
12
13