Phương pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đường tròn Hình học 9 - Năm học 2010-2011 - Trần Duy Vũ

Phương pháp chứng minh: 
 một tứ giác nội tiếp đường tròn - các điểm cùng thuộc một đường tròn 
Chứng minh tứ giác nội tiếp
A. Kiến thức cơ bản
1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Hay gọi tứ giác nội tiếp ) Và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.
2) Tính chất:
+ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
+ Đảo lại: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
3) Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đường tròn)
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp
Tứ giác ABCD có :
 = 1800 ị tứ giác ABCD nội tiếp
Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc)
 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau
Tứ giác ABCD có :
ABD = ACD và B, C là hai đỉnh kề nhau ị tứ giác ABCD nội tiếp
B. Bài tập: 
1. Củng cố khái niệm, tính chất , dấu hiệu nhận biết
Bài 1: Trong các tứ giác sau tứ giác nào là tứ giác nội tiếp ? Giải thích vì sao
A = à0 ; C = 1800 - à0
ACB = ADB
ABCD là hình thang cân
BAD = BCD
Bài 2: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai
Hình thang cân là một tứ giác nội tiếp
Hình bình hành có bốn điểm 
Các đỉnh của mọt tứ giác bất kỳ nằm trên các đường tròn
Hình thang có một góc vuông là một tứ giác nội tiếp
2. Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 2: 
 a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại M. Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và các đường cao BE , CF cắt nhau tại H. Gọi H’ là điểm dối xứng của H qua BC. Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A ở E và F và cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H 
Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) , các đường thẳng AD , AA’ cắt EF lần lượt tại M , Q . CA’ cắt AD tại R
Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp
Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF tại N , BC tại P Chứng minh tứ giác CEQA’ nội tiếp
Gọi M là giao điểm của EF với AD. Chứng minh các điểm M , P , Q cùng thuộc một đường tròn
Gọi R là giao điểm của A’C với AD. Chứng minh tứ giác HRA’N nội tiếp
Hướng dẫn
Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau
Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện:
Góc QA’C= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC
Tứ giác CEQA’ nội tiếp mà góc ECA’ = 900 nên ta có góc PQM = 900 . Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc PDM = 1800 nên tứ giác MQPD nội tiếp
Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện. Góc NA’R = góc AHF
Bài 6: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua điểm M thuộc đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D. Chứng minh rằng :
Các tứ giác OACM , OBDM nội tiếp 
M là trung điểm của CD
Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đường tròn không ?
Hướng dẫn
+ Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM cùng nhìn cạnh OC dưới hai góc bằng nhau
 + Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối OMD và OBD bằng 1800
Ta chúng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhình cạnh OC dưới các góc bằng nhau
Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
A. Một số phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn 
+ Dựa vào hai đường tròn có ba điểm chung thì trùng nhau
 Ví dụ : để chứng minh 5 điểm ABCDE cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh : bốn điểm ABCD cùng thuộc một đường tròn và bón điểm ABCE cùng thuộc một đường tròn. Vì hai đường tròn này có ba điểm A , B , C chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đường tròn 
+ Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố định
+ Chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm dưới các góc bằng nhau 
B. Bài tập
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai diểm A và B . Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Tia CB cắt đường tròn (O) tại M . Tia DB cắt đường tròn (O’) tại N . Chứng minh 5 điểm M , N , A , O , O’ cùng thuộc một đường tròn
Hướng dẫn
+ Ta chứng minh bốn điểm A, O, N, O’ cùng thuộc một đường tròn và A, O , M , O’ cùng thuộc một đường tròn
+ Mà hai đường tròn này có ba điểm chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đường tròn
Bài 2: (Đường tròn chín điểm hay đường tròn ơ le)
Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh , chân của ba đường cao , các trung điểm của ba đoạn thẳng nối liền ba đỉnh với trực tâm của tam giác cùng nằm trên một đường tròn
Hướng dẫn.
Gọi A’ . B’ , C’ thứ tự là trung điểm của các cạnh BC , AC , AB
Gọi D , E , F thứ tự là các chân đường cao hạ từ A , B , C xuông cạnh đối diện
Gọi R , S , T thứ tự là trung điểm của AH , BH , CH
Ta chọn ba điểm A’ , B’ , C’ làm gốc sau đó chứng minh các tứ giác sau nội tiếp
DC’B’A’ , EC’A’B’ FC’A’B’
RC’A’B’ , SA’B’C, TB’C’A’ 
Một số bài tập luyên tập
Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn . Kẻ OA vuông góc với xy . Từ A kẻ cát tuyến ABC với (O). Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy lần lượt tại D và E. 
a) Chúng minh các tứ giác AOCE và ABOD 
b) Ta giác ODE là tam giác gì? Vì sao?
Hướng dẫn:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 và tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau
Tam giác có hai góc bằng nhau
Nhận xét: nếu ta chứng minh hai góc ADO = góc AEO một cách trực tiếp thì có thể khó , nên ta đưa các góc này về trong đường tròn để từ đó vận dụng quan hệ giữa các góc của một đường tròn để chứng minh chúng bằng nhau
Bài 2: Cho A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC . Gọi I là giao điểm của AO với BC. Vẽ dây MN qua I ( MN < 2R). Chứng minh rằng 
Tứ giác ABOC nội tiếp
Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp
AO là tia phân giác của góc MAN
Hướng dẫn
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
+ Tứ giác ABOC nội tiếp nên IB.IC = IO.IA
 + tứ giác MBCN nội tiếp nên IB.IB = IM.IN
Vậy IO.IA = IM.IN 
Từ đó ta có tam giác OIM đồng dạng với tam giác NIA nên góc MOA = góc MNA suy ra tứ giác MONA nội tiếp
ta chứng minh OAN = góc OMN = góc ONM = góc OAM
Nhận xét: Qua các bài tập trên giúp HS nhìn nhận một bài toán với các yếu tố hình học được đưa vào trong đường tròn . Như vậy khả năng so sánh , chứng minh sẽ rễ ràng hơn
------------------Hết--------------------