Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cho THCS

MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 
     1)  Định nghĩa bất đẳng thức
            + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
            + a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
            + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a  b,
            + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a   b ,
     2)  Một số tính chất của bất đẳng thức:
       a) Nếu  và  thì   (tính chất bắc cầu)
          b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c
           Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất  kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
         c) Nếu a>b+c thì a-c>b
          Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
        d)  Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d
         Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
        Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
         e)  Nếu a>b và c thì a-c>b-d
            Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
           Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
          f)  Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
              Nếu a>b và c<0 thì ac
            Tức là:
            Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng thức không đổi chiều
            Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
          g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd
           Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.
          Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.
         h)  Nếu thì 
           Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
           k)  Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì 
                Nếu a>b và n nguyên dưong thì 
1. Phương pháp sử dụng định nghĩa
        Để chứng minh (hoặc) ta chứng minh   (hoặc )
        - Lưu ý : A2  0 với mọi A ;  dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
        - Ví dụ :
        Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit )
             Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
        Giải:
              Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
2. Phương pháp biến đổi tương đương
        -  Để chứng minh 
ta biến đổi tương đương  
   trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức
         - Một số hằng  đẳng thức thường dùng :
                       (A+B)2=A2+2AB+B2
                       (A-B)2=A2-2AB+B2
                       (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
                       (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
                       (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Ví dụ: 
          Chứng minh rằng thì
          Giải.
       Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
                         (nhân hai  vế với 4, chuyển vế)
3. Phương pháp quy nạp toán học
            - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
                                  bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
                                + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
                                + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
                                + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
                                + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)
              Chú ý:  Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học                     
               - Ví dụ :
          Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
            Với 
          thì 
           Giải:
           Dùng phương pháp quy nạp:
           + Với n = 2 đúng.
           + Với n = k đúng cần chứng minh 
            (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì
4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:
     Với 2 số a,b không âm ta có: 
        Dấu "=" xảy ra khi a=b
     Chứng minh: 
Dấu "=" xảy ra khi a=b.
      Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):
Cho  n là số tự nhiên  thì 
               Dấu "=" xảy ra khi 
Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có:
   (1)
     (2)
 Nhân từng vế của (1) và (2) ta được 
                Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
 Cách khác:
                Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
 5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski
Cho a, b, c là số thực thì    
hoặc viết 
                   Dấu "=" xảy ra khi 
Tổng quát:
                    Dấu "=" xảy ra khi 
Ví dụ: Cho . Chứng minh rằng:
Giải:
6. Phương pháp phản chứng.
         - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,
     ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến     
     thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
                 Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái
               nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
        -   Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
                + Dùng mệnh đề đảo
                + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
                + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
                + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau .
                + Phủ định rồi suy ra kết luận .
  Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất đẳng thức:
Giải:
Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức
Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
Mà theo bất đẳng thức Cô-sy thì 
 Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức trên.
7. Phương pháp làm trội, làm giảm.
        Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
  Ví dụ: Với n là số tự nhiên thì: 
Giải:
Với số tự nhiên k>1 ta có:  
 Thay k = 2,3,4 ... n rồi cộng các 2 vế của các bất đẳng thức ta được:
8. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:
Để chứng minh b y - f(x) = 0 có nghiệm
 b < f(x) < a. Từ đó suy ra đpcm.
Ví dụ: Chứng minh rằng: 
Giải: Đặt  (*)
(x;y) thỏa mãn (*) khi và chỉ khi phương trình:
  có nghiệm
  có nghiệm
Với  y= 1 thì x = 0 
Với y khác 1 thì 
9. Phương pháp dùng tính chất tỉ số:
 Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có:
           Nếu  thì 
           Nếu  thì  
           Nếu d > 0 và  thì 
Ví dụ: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:
Giải: Ta có: 
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
10. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
      a/   
      b/   
      c/    hoặc 
      d/    dấu = khi A.B >0
      e/    dấu = khi A>B>0 hoặc A<0
Ví dụ: Chứng minh rằng:
Giải: Ta có:  
BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 
Bài 1: Cho hai số thực.
 Chứng minh rằng : 
Bài 2: Cho ba số thực . Chứng minh rằng :  
Bài 3:  Cho 5 số thực .
Cmr :
Bài 4: Cho các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 5:  Cho . Chứng minh rằng : 
Bài 6:  Cho . Chứng minh rằng :
Bài 7:  Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh: 
Bài 8:  Cho . Chứng minh: 
Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
.
Bài 10:  Cho và . Chứng minh: 
Bài 11:  Cho . Chứng minh :   
Bài 12: Cho ba số thực dương . Cmr :
Bài 13: Cho a,b,c > 0 và . Cmr : 
 H­íng dÉn gi¶i
Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ‎ ý không dùng bất đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm.
Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không âm.
Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.
Bài 4:  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.
Bài 6 : Biến đổi tương đương
Biến đổi tạo thành biểu thức không âm
Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :
Bài 8: Tương tự bài 7
Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức:   (đã chứng minh bài 8)
Chú ý sử dụng kĩ thuật  tách hạng tử:
                                  (p là nửa chu vi )
Bài 10:Biến đổi
 lại áp dụng bài 8 là xong.
Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.
Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !
Bài 13 : BĐT 
 áp dụng bài 11 xong !