Một số kiến thức cần nhớ môn Toán - Cao Văn Thế

Sæ tÝch lòy nghÒ
I . Môc ®Ých:
 - L­u l¹i nh÷ng kinh nghiÖm vÒ mÆt chuyªn m«n, nghiÖp vô trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y.
 - Ghi l¹i nh÷ng bµi to¸n, bµi vËt lÝ còng nh­ nhiÒu lÜnh vùc khoa häc kh¸c nh»m n¨ng cao vèn kiÕn thøc cña b¶n th©n.
 - L­u l¹i nhòng ®Ò thi cña c¸c cuéc thi tuyÓn sinh , HS giái
II. Tµi liÖu th©m kh¶o- c¸c kªnh th«ng tin :
-Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y
-Qua m¹ng Internet, s¸ch b¸o
-C¸c lo¹i s¸ch tham kh¶o
-§Ò thi c¸c n¨m tr­íc
III. Néi dung tÝch lòy :
Bài 1: Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 : Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
ĐÁP ÁN 
 Bài 1:
a) Tính đúng x = 7; x = -3 
 b) Tính đúng x = 2007 
c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 
(2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 
 Bài 2:
yz = –xy–xz 
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 
Do đó: 
Tính đúng A = 1 
Bài 3
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, 
 với k, mN, 
 Ta có: 
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) 
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 
 Kết luận đúng = 3136 
 Bài 4 
 Vẽ hình đúng 
 a) ; 
Tương tự: ; 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
 -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ 
 - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
 Bµi tËp vËt lý 9(«n thi chuyÓn cÊp)
Bµi 1: 
F
B
F/
O
Hình 1
VËt s¸ng AB cã ®é cao h ®­îc ®Æt vu«ng gãc víi trôc chÝnh cña thÊu kÝnh ph©n kú cã tiªu cù f, ®iÓm A n»m trªn trôc chÝnh vµ cã vÞ trÝ t¹i tiªu ®iÓm F cña thÊu kÝnh (H×nh vÏ 1).
A
1. Dùng ¶nh cña A/B/ cña AB qua thÊu kÝnh
Nªu râ chiÒu, ®é lín, tÝnh chÊt cña ¶nh so víi vËt.
2. B»ng hÝnh häc, x¸c ®Þnh ®é cao cña ¶nh vµ kho¶ng c¸ch tõ ¶nh ®Õn thÊu kÝnh. BiÕt h = 3 cm; f = 14 cm.
Bµi 2 :
Trªn mét bãng ®Ìn ®iÖn trßn d©y tãc cã ghi 110V-55W.
1. H·y nªu ý nghÜa cña c¸c sè liÖu ghi trªn bãng ®Ìn.
2. NÕu cho dßng ®iÖn c­êng ®é I = 0,4 A ch¹y qua ®Ìn th× ®é s¶ng cña ®Ìn nh­ thÕ nµo? Lóc nµy ®Ìn ®¹t bao nhiªu phÇn tr¨m c«ng suÊt cÇn thiÕt ®Ó ®Ìn s¸ng b×nh th­êng, ®iÖn trë cña ®Ìn coi nh­ kh«ng thay ®æi.
Bµi 3 : 
 §Æt mét hiÖu ®iÖn thÕ UAB kh«ng ®æi vµo hai ®Çu ®o¹n m¹ch ®iÖn cã s¬ ®å nh­ h×nh vÏ 2: BiÕt R1 = 5; R2 = 20 ; §iÖn trë ampe kÕ vµ d©y nèi kh«ng ®¸ng kÓ.
R1
R2
A
C
A+
B-
Hình 2
1. Ampe kÕ chØ 2 A. TÝnh hiÖu ®iÖn thÕ UAB.
2. M¾c thªm mét bãng ®Ìn day tãc cã ®iÖn trë R® = R3 = 12 lu«n lu«n kh«ng ®æi vµo hai ®iÓm C vµ B cña m¹ch.
a. VÏ s¬ ®å m¹ch ®iÖn vµ tÝnh ®iÖn trë t­¬ng ®­¬ng RAB cña m¹ch.
b. BiÕt bãng ®Ìn s¸ng b×nh th­êng . TÝnh c«ng suÊt ®Þnh møc cña ®Ìn.
c. Gi÷ nguyªn vÞ trÝ bãng ®Ìn, ®æi vÞ trÝ hai ®iÖn trë R1 vµ R2 cho nhau, ®é s¸ng cña ®Ìn t¨ng lªn hay gi¶m ®i thÐ nµo? Kh«ng tÝnh to¸n cô thÓ, chØ cÇn lËp luËn gi¶i thÝch.
	§¸p ¸n .
Bµi 1: 
C
B/
F
B
F/
O
Hình 1
A
1. Dùng ¶nh cña AB: 
¶nh ¶o, cïng chiÒu víi vËt vµ nhá 
A/
H¬n vËt
2. Gäi chiÒu cao cña ¶nh lµ A/B/. Ta cã tø gi¸c ABCO lµ h×nh ch÷ nhËt nªn B/ lµ trung ®iÓm cña BO vµ AO.
	MÆt kh¸c AB//A/B/ nªn A/B/ lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ABO 
Suy ra A/B/ = vµ OA/ = 
VËy chiÒu cao cña ¶nh b»ng 1,5 cm vµ ¶nh c¸ch t©m thÊu kÝnh mét kho¶ng b»ng 7 cm.
Bµi 2: 
1. ý nghÜa cña 110V-55W trªn bãng ®Ìn lµ: HiÖu ®iÖn thÕ ®Þnh møc cña bãng ®Ìn lµ 110 V; C«ng suÊt ®Þnh møc cña bãng ®Ìn lµ 55W. ®Ìn s¸ng b×nh th­êng khi nã lµm viÖc ë hiÖu ®iÖn thÕ 110V vµ khi ®ã nã tiªu thô c«ng suÊt lµ 55W.
2. Theo c«ng thøc P = U.I suy ra I = P:U = 55 : 110 = 0,5 > 0,4. VËy khi ®ã ®Ìn tèi h¬n khi nã lµm viÖc ë møc b×nh th­êng.
Khi I = 0,4 th× P = 110.0,4 = 44 W. (V× ®iÖn trë cña ®Ìn kh«ng ®æi nªn U = 110V). 
VËy khi ®ã ®Ìn chØ lµm viÖc b»ng 80% c«ng suÊt b×nh th­êng.
R1
R2
A
C
A+
B-
Hình 2
Bµi 3: 
1. Theo s¬ ®å ta cã: R1 nt R2:
Nªn R = R1 + R2 = 5+20 = 25 ; I = 2A vËy UAB = R.I = 25.2 = 50 V.
R1
R2
A
C
A+
B-
Hình 3
R3
2. M¾c thªm bãng ®Ìn vµo hai ®Çu C,B
a. Ta cã h×nh 3.
Ta cã R1 nt (R2//R3).
§iÖn trë cña toµn m¹ch lµ: 
R = R1 + 
b. Khi ®Ìn s¸ng b×nh th­êng th× cã nghÜa lµ I = .
Suy ra: UAC = R1.I = 5.4 = 20V;
	 UR3 = UCB = UAB - UAC = 50 - 20 = 30 V
C«ng suÊt ®Þnh møc cña ®Ìn lµ: P = W
c. Ta biÕt ®é s¸ng cña bãng ®Ìn tØ lÖ thuËn víi c­êng ®é dßng ®iÖn qua ®Ìn, c­êng ®é dßng ®iÖn tØ lÖ thuËn víi hiÖu ®iÖn thÕ hai ®Çu bãng ®Ìn.VËy ®é s¸ng cña bãng ®Ìn tØ lÖ thuËn víi hiÖu ®iÖn thÕ hai ®Òu bãng ®Ìn. 
Khi ®æi R2 thµnh R1 th× ®iÖn trë RCB Gi¶m khi ®ã UCB gi¶m (Do RACnt RCB) Nªn khi ®ã bãng ®Ìn sÏ tèi h¬n.
Mét sè d¹ng to¸n th­êng gÆp ë c¸c k× thi tuyÓn sinh
D¹ng I : Rót gän
C©u 1: Cho biÓu thøc A = , víi x ≥ 0 vµ x ≠ 4.
1/ Rót gän biÓu thøc A.
2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25.
3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = -1/3.
C©u 2. Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
 a) B =
 b) C = 
C©u 3: Cho biểu thức:
 với x >0 
 1.Rút gọn biểu thức P
 2.Tìm giá trị của x để P = 0
C©u 4:. Cho biÓu thøc A = 
Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc A.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x = 9/4.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A <1.
C©u 5
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
.
C©u 6: 
Thu gän c¸c biÓu thøc sau:
 A = 
 B = 
C©u 7 :
	1) Rót gän biÓu thøc:
 víi x > 0 vµ x 1
Câu 8 Rút gọn biểu thức: A = với x 0 và x 4.
C©u 9 Rót gän:Víi 
D¹ng II: §å thÞ hµm sè
C©u 1 Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m # .
H·y x¸c ®Þnh m trong mçi tr­êng h¬p sau :
§å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm M ( -1;1 )
§å thÞ hµm sè c¾t trôc tung, trôc hoµnh lÇn l­ît t¹i A , B sao cho tam gi¸c OAB c©n.
C©u 2 .Tìm m để đường thẳng y = 3x – 6 và đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành .
C©u 3 Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ số a
C©u 4 Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là tham số m0)
	a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy.
	b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) .
	c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị của m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .
C©u 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k.
3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 .x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.
C©u 6 T×m hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 vµ ®­êng th¼ng ax + by = -1 ®i qua ®iÓm A(-2;-1).
C©u 7 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P).
1. T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh y = -x - t¹i ®iÓm A cã hoµnh ®é b»ng 3. VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®­îc.
2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm thø hai B (B kh¸c A) cña (P) vµ (d).
C©u8 a) Cho hµm sè y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®· cho song song víi ®­êng th¼ng y = -3x + 5 vµ ®i qua ®iÓm A thuéc Parabol (P): y = x2 cã hoµng ®é b»ng -2.
C©u 9: 
a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = vµ ®­êng th¼ng (d): y = x + 4 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh.
C©u 10
	Cho hµm sè bËc nhÊt y = mx + 2 (1)
	a) VÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 2
	b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc Ox vµ trôc Oy lÇn l­ît t¹i A vµ B sao cho tam gi¸c AOB c©n.
D¹ng III : Ph­¬ng tr×nh
C©u 1 T×m x biÕt : 
C©u 2 a). Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x2 + 3x – 4 = 0
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 3x – 2y = 4
 2x + y = 5
C©u 3 a,Giải phương trình 
 b,Giải phương trình: x2 + 5x + 6 = 0
 c, Giải hệ phương trình: 
C©u 4 Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
 b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm
C©u 5 Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh vµ c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1. 6 - 3x ≥ -9 2. x +1 = x - 5
 3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0 4. 
C©u 6 Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 5x2 + 13x - 6=0 	 b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0 	 c) 
C©u 7: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
a) 8x2 - 2x - 1 = 0 
b) 
c) x4 - 2x2 - 3 = 0
d) 3x2 - 2x + 2 = 0
D¹ng IV: HÖ thøc ViÐt
C©u 1 Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè.
Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = 2.
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x2 = 1 + 2
C©u 2 Cho ph­¬ng tr×nh (Èn x): x2 - 2(m+1)x + m2 +2 = 0
1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho khi m = 1.
2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 
 tho¶ m·n hÖ thøc x12 + x22 = 10.
C©u 3 Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1)
1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2
2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x1.x2 thoả mãn 
C©u4 Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 - (m+3)x + m = 0 (1).
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 2.
2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2
 tho¶ m·n: x1 + x2 = x1x2.
Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 
Câu 5 
 Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)
Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Câu 3: (2,0 điểm)
 Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
a, Giải phương trình với m = 3.
b,Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12
C©u 5: Cho ph¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) 
a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3.
b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2
 tháa m·n 
C©u 6 Cho p/t :x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) . 
 Tìm m để biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
D¹ng V : Gi¶i bµi to¸n b»n ... 0 hay ÐFAC = 450 (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra DFBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F.
3. Theo trªn ÐBFC = 900 => ÐCFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); ÐCDM = 900 (t/c h×nh vu«ng).
=> ÐCFM + ÐCDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®­êng trßn suy ra ÐCDF = ÐCMF , mµ ÐCDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ÐCMF = 450 hay ÐCMB = 450. 
Ta còng cã ÐCEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ÐBKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng).
 Nh­ vËy K, E, M cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
4. DCBM cã ÐB = 450 ; ÐM = 450 => ÐBCM =450 hay MC ^ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.
Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ÐB = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E.
Chøng minh AE = EB.
Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.
Lêi gi¶i: 
1. ÐAEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐAEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ÐABE = 450 
=> DAEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB.
2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ÐAEC = 900 nªn BE ^ HE t¹i E => IK ^ HE t¹i K (2).
Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.
 Ð ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐBDH = 900 (kÒ bï ÐADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID.
Ta cã DODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ÐD1 = ÐC1. (3)
 DIBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ÐD2 = ÐB1 . (4)
Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ^ AC t¹i F => DAEB cã ÐAFB = 900 .
Theo trªn DADC cã ÐADC = 900 => ÐB1 = ÐC1 ( cïng phô ÐBAC) (5).
Tõ (3), (4), (5) =>ÐD1 = ÐD2 mµ ÐD2 +ÐIDH =ÐBDC = 900=> ÐD1 +ÐIDH = 900 = ÐIDO => OD ^ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.
Bµi 25. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q.
1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp .
3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ^ MI.
Lêi gi¶i: 
1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => DABC c©n t¹i A.
2. Theo gi¶ thiÕt MI ^ BC => ÐMIB = 900; MK ^ AB => ÐMKB = 900.
=> ÐMIB + ÐMKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp 
* ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK )
3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐKMI + ÐKBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐHMI + ÐHCI = 1800. mµ ÐKBI = ÐHCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ÐKMI = ÐHMI (1).
Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐB1 = ÐI1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐH1 = ÐC1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ ÐB1 = ÐC1 ( = 1/2 s® ) => ÐI1 = ÐH1 (2).
Tõ (1) vµ (2) => DMKI DMIH => => MI2 = MH.MK
4. Theo trªn ta cã ÐI1 = ÐC1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã ÐI2 = ÐB2 mµ ÐC1 + ÐB2 + ÐBMC = 1800 => ÐI1 + ÐI2 + ÐBMC = 1800 hay ÐPIQ + ÐPMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ÐQ1 = ÐI1 mµ ÐI1 = ÐC1 => ÐQ1 = ÐC1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ^BC nªn suy ra IM ^ PQ.
 Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ^ AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh :
1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña ÐCMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp 
4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => 
=> ÐCAM = ÐBAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c )
2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ^ AB => A lµ trung ®iÓm cña => ÐCMA = ÐDMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.
3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => OM ^ BC t¹i I => ÐOIC = 900 ; CD ^ AB t¹i H => ÐOHC = 900 => ÐOIC + ÐOHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp
4. KÎ MJ ^ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ^ BC => OM ^ MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ^ BC, MK ^ CA, MI ^ AB. Chøng minh : 
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ÐBAO = Ð BCO. 3. DMIH ~ DMHK. 4. MI.MK = MH2.
Lêi gi¶i: 
(HS tù gi¶i)
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ÐBAO = Ð BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).
Theo gi¶ thiÕt MH ^ BC => ÐMHC = 900; MK ^ CA => ÐMKC = 900
=> ÐMHC + ÐMKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ÐHCM = ÐHKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ÐMHI = ÐMBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). 
Mµ ÐHCM = ÐMBI ( = 1/2 s® ) => ÐHKM = ÐMHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã 
ÐKHM = ÐHIM (2). Tõ (1) vµ (2) => D HIM ~ D KHM.
Theo trªn D HIM ~ D KHM => => MI.MK = MH2
Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.
Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh.
E, F n»m trªn ®­êng trßn (O).
Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n.
Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Lêi gi¶i: 
1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .
2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ÐBAC + ÐB’HC’ = 1800 mµ ÐBHC = ÐB’HC’ (®èi ®Ønh) => ÐBAC + ÐBHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ÐBHC = ÐBFC => ÐBFC + ÐBAC = 1800 
=> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).
* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .
3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC ^ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ^ HE (2)
Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)
Theo trªn E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).
Theo trªn F Î(O) vµ ÐFEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => ÐACF = 900 => ÐBCF = ÐCAE ( v× cïng phô ÐACB) (5).
Tõ (4) vµ (5) => ÐBCF = ÐCBE (6).
Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n.
4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI ^ BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => ÐOIG = ÐHAG (v× so le trong); l¹i cã ÐOGI = Ð HGA (®èi ®Ønh) => DOGI ~ DHGA => mµ OI = AH => mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H.
Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.
Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.
Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Lêi gi¶i: (HD)
1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ÐAEF = ÐACB (cïng bï ÐBFE)
 ÐAEF = ÐABC (cïng bï ÐCEF) => D AEF ~ D ABC.
2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña DAHK => AH = 2OA’
3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :
D AEF ~ D ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp D AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña DABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña DAEF.
Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DAEF 
Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 
VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 
4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’^AC ; OC’^AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB.
 	 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )
2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)
Theo (2) => OA’ = R . mµ lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC nªn = . T­¬ng tù ta cã : OB’ = R .; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®­îc 
2SABC = R () ó 2SABC = R(EF + FD + DE) 
* R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC.
 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.
Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA.
Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH.
Gi¶ sö ÐB > ÐC. Chøng minh ÐOAH = ÐB - ÐC.
Cho ÐBAC = 600 vµ ÐOAH = 200. TÝnh:
ÐB vµ ÐC cña tam gi¸c ABC.
b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R
Lêi gi¶i: (HD)
1. AM lµ ph©n gi¸c cña ÐBAC => ÐBAM = ÐCAM => => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM ^ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ^ BC => OM // AH => ÐHAM = ÐOMA ( so le). Mµ ÐOMA = ÐOAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ÐHAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.
2. VÏ d©y BD ^ OA => => ÐABD = ÐACB.
 Ta cã ÐOAH = Ð DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ÐOAH = ÐABC - ÐABD => ÐOAH = ÐABC - ÐACB hay ÐOAH = ÐB - ÐC.
3. a) Theo gi¶ thiÕt ÐBAC = 600 => ÐB + ÐC = 1200 ; theo trªn ÐB ÐC = ÐOAH => ÐB - ÐC = 200 .
=> 
b) Svp = SqBOC - SBOC = =