Một số Chuyên đề bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Đức Nghị

* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
 (a,b>0). (BĐT Cô-si)
 ( Bu nhi a cop xki)
Ví dụ 9:Chứng minh (Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B = 
= 
Áp dụng bất đẳng thức .Ta có:2A - 2B .Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. 
Chứng minh rằng :.
Giải:
.Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : 
Giải: 
 ; ; 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..
Tiết 21-24
 Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0. 
Chứng minh rằng .
Giải:
Ví dụ 13: Chứng minh: .Với n là số tự nhiên và 
Giải: .
Và : 
Suy ra: =
Suy ra: A <
==========o0o==========
Bài tập áp dụng:
Chứng minh:B = Với n là số tự nhiên và 
Bài 29:Cho C 
(a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng :
Chứng minh . Trong đó x , y , z là 3 số dương và 
HƯỚNG DẪN:
Chứng minh:B = Với n là số tự nhiên
Áp dụng BĐT 9 ta có 
===========o0o===========
Tiết 25-28
	* Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:
a,b,c là các số dương
Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1
Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng :
Giải:
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0;
a + c - b > 0; b + c - a > 0
Áp dụng BĐT ta được:
,tươngtự:;. Suy ra hay 
.(ĐPCM)
Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :.
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c 
 tương tự ;;.
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
BÀI TẬP:
Chứng minh rằng :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác 
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng 
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng 
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . 
Chứng minh rằng cũng là 3 cạnh của 1 tam giác
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN :
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; 
z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều.
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c 
 tương tự ;Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM
Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra :
Ta cần chứng minh ; ; .
Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh : bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự : ; 
=========o0o==========
Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho . Chứng minh rằng 
Giải: 
Giả sử : mặt khác:
.
Điều này trái với giả thiết .Vậy .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là sai:
	a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) > 1. 
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) 1; tương tự:
	b(2 - b) 1: c(2 - c) 1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai.
Bài tập áp dụng
Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:
 .; ; 
Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: 
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 
Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: 
Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu:
 thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab
HƯỚNG DẪN :
Giả sử 
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí
	*Nếu a 0. Do abc > 0 bc < 0 
 ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c.
Giả sử .; ;
Thì .Điều này không đúng.
Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: 
(1 - c) > 0 
Nhưng 4a(1 - a) 1; 4b(1 - b) 1; 4c(1 - c) 1 
Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1(**)
 (*) mâu thuẫn với (**)
Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Ta có từ 
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý 
Tiết 33-36
 I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN:
Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp.
Các bước như sau:
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
Đặt 
Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b c 0. 
Chứng minh:
Giải:
Đặt: ; .Vì a + b 0.
Do đó x + y = a + b - c 0 .Ta có:
Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: .
Chứng minh: 
Giải:
Đặt: ;.Ta có: 
BÀI TẬP:
Bài 40:
Đặt: ; ; .
Suy ra : x , y , z ;x + y + z = 0.
Ta có:
Bài 41: 
Bài 42: 
Đặt 
Bài 43: 
Đặt 
Bài 44: Cho a,b thoả mãn:. Chứng minh rằng: 
Đặt a = x + 1 b = 1 - x.Ta có :
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1. 
Chứng minh rằng: .
Bài 48: Cho a + b + c + d = 1. 
Chứng minh rằng: 
Bài 49: Cho a + b = 8 và b 3. 
Chứng minh rằng: 27a2 + 10b2 > 945.
 II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN:
Dạng: Cho . Chứng minh 
Ta chứng minh 
Từ 
Ví dụ 18: Cho a + b 1. Chứng minh rằng: 
Giải:
Nhưng a + b 1 nên .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5
Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn:. Chứng minh rằng: .
Giải:
Do và 
Nên 
Mà Suy ra: .Đẳng thức xảy ra khi
 a = b = 1
Bài tập áp dụng
Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu 
Thì 
Bài 52: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 53: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 54: Cho ab 1. Chứng minh rằng:
Bài 55: Cho . Chứng minh rằng: 
========o0o========
 III. ÁP DỤNG BĐT 
Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1. 
Chứng minh rằng: 
Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d. 
Chứng minh rằng: 
Bài 59: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng: 
Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca.
Chứng minh rằng: