Một số bài toán Lớp 8 về dạng toán chứng minh - Tôn Nữ Bích Vân

MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN 8 VỀ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH :
ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH
3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
3 ĐƯỜNG ĐỒNG QUI
Bài 1
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC, cắt các đường thẳng AD, CD ở M, N. Vẽ hình chữ nhật DMKN. Chứng minh rằng K, E, B thẳng hàng.
Gọi I và O thứ tự là giao điểm các đường chéo hình chữ nhật KMDN và ABCD.
Ta có 	IN = ID = IK = IM
	OD = OC = OA = OB
A
B
E
O
M
K
2
2
1
1
I
D
N
C
Do đó = (DNID cân do IN = ID)
= (DDOC cân do OD = OC)
mà = (đồng vị do EN // BD)
nên: AC // KD
Tứ giác EODI có EO // DI và EI // OD nên là hình bình hành
Þ OE = DI mà ID = KI nên OE = KI
Tứ giác KEOI có KI // OE và KI = OE nên là hình bình hành
Þ KE // OI 	 (1)
D KDB có OI là đường trung bình nên KB // OI 	(2)
Từ (1) (2) ta có: K, E, B thẳng hàng (tiên đề Euclide)
Bài 2
Cho DABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, R theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC.
a. Chứng minh IM, KN, PR đồng qui
b. Gọi O là giao điểm của IM, KN, PR, chứng minh rằng chín điểm M, N, P, I, K, R, D, E, F cách đều O.
A
I
P
N
E
H
O
F
R
B
M
D
C
Ta có:	PI // BH, PI = (đtb của DABH)
MR // BH, 	MR = (đtb của DBPC)
Þ IP//MR,IP = MR Þ PIRM là hình bình hành
ÞIP // BH mà BH ^ AC Þ IP ^ AC mà IR//AC (IR là đtb của DAHC)
nên IP ^ IR hay = 90o
Vậy: PIRM là hình chữ nhật Þ PR và IM cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.
Tương tự: KPNR là hình chữ nhật Þ KN và PR cắt nhau tại trung điểm mỗi đường chéo
Vậy: IM, KN, PR đồng qui tại O là trung điểm của mỗi đoạn.
b. Theo câu a ta có :OI = OM = OK = ON = OP = OR 	 (1)
DIDM vuông có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OD=OI=OM (2)
Tương tự: DKEN có: 	OE = OK = ON 	 (3)
DPFR có: 	OF = OP = OR 	 (4)
Từ (1) (2) (3) (4) ta có: OI = OM = OK = ON = OP = OR = OD = OE = OF
Vậy: O cách đều 9 điểm I, P, E, F, D, K, M, R, N
Bài 3
Cho P là một điểm chuyển động trong DABC sao cho =. Hạ PM ^ AB, PN ^ AC (M Î AB, N Î AC). Gọi K, S là 2 đỉnh khác của hình thoi KMSN chứng minh KS đi qua 1 điểm cố định.
A
O
K
N
1
1
S
M
2
2
Q
R
I
B
C
P
1
1
1
Gọi I, Q, R thứ tự là trung điểm của BC, PB, PC
DBMP vuông có: MQ = (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
RI // BP , RI = (RI là đtb của DBPC)
Þ 	RI = MQ
Tương tự: NR = QI
DBQM cân tại Q (QM = BQ = QP) nên = 
Do đó: =+=2( góc ngoài DBQM )
Tương tự: 	= 2
mà: = (gt) nên = hay = 
Tứ giác PRIQ có IR // QP và IR = QP (= BP) nên là hình bình hành
Þ = Þ + = + hay = 
Xét DMQI và DIRN có: MQ = IR, = , IQ = NR
nên DMQI = DIRN(cgc) Þ IM = IN Þ I Î đường trung trực của MN 	(1)
mà KNSM là hình thoi nên (KS) là đường trung trực của MN 	(2)
Từ (1) (2) ta có (KS) luôn đi qua điểm cố định I là trung điểm của BC
Bài 4
Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMCF
a. Chứng minh: AE ^ BC
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh D, H, F thẳng hàng
c. Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua 1 điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn nối tâm 2 hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
a) Cách I: DAEM = DCMB (ME = MB, = = 90o , AM = MC)
nên: = mà + = 90o (DCMB vuông tại M) Þ + = 90o
Þ = 90o ( + + = 180o) Þ AE ^ BC
D
C
E
O
I
H
F
K
P
O'
B
M
T
A
Cách II: Xét DCAB, ta có CM ^ AB, BE ^ AC
(vì BE ^ MF mà MF // AC do = = 45o) 
nên E là trực tâm Þ AE ^ BC
b) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo MD, AC của hình vuông AMCD: CA = MD
DCHA vuông có: HO = = 
Þ = 90o
Tương tự: = 90o
= + = 90o + 90o = 180o
c) 	Gọi I là giao điểm của DF và AC, DDMF có DO = OM và OI//ME nên I là trung điểm DF. Kẻ I T ^ AB thì ID = IF và I T // AB nên I T là đường trung bình của hình thang ABFD Þ AT = TB
I T = = = Þ I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng 
d) 	Thuận: Tứ giác MO'IO có = = = 90o nên là hình chữ nhật nên trung điểm K của OO' cũng là trung điểm của IM.
Kẻ KK' ^ AB, thì KK' // I T, DITM có KI = KM, KK' // IT nên KK' là đường trung bình Þ KK' = = = = không đổi
Þ K' Î đường thẳng d // AB và cách AB một khoảng là (d thuộc nửa mp chứa 2 hình vuông đã cho).
Giới hạn: 	Nếu M º A thì O' º I, K º P là trung điểm AI
Nếu M º B thì O º I, K º Q là trung điểm BI
Vậy :	K Î PQ là đtb // AB của DAIB
Đảo: Trên PQ lấy K' bất kỳ, tia I'K' cắt AB tại M', kẻ hình vuông M'BF'E' và hình vuông AM'C'D', gọi O', O" lần lượt là tâm 2 hình vuông đó.
Tứ giác M'O'I'O" có = = = 90o nên là hình chữ nhật nên K' là trung điểm của I'M' cũng là trung điểm của O'O"
Vậy: Tập hợp của K là đường trung bình PQ của DAIB.
Bài 5
Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy 1 điểm M. Gọi E và F là hình chiếu của M trên AB và AD. CMR: các đường thẳng BF, CM, DE đồng qui.
D EBC = D FAB (cgc)Þ = 
A
H
E
B
N
F
M
C
D
Þ + = + = 90o
Þ BF ^ CE tại N
Tương tự DE ^ CF tại K.
DFBB = DCME (EB = EM, = góc có cạnh tương ứng vuông góc, BF = CE do DEBC = DFAB)Þ = 
+ = += 90o (DFNE vuông tại N)
Þ = 90o (+ + = 180o) (H là giao điểm của tia CM và EF)
Þ CH ^ EF
D EFC có CH ^ EF, FN ^ EC, EK ^ FC nên CH, FN, EK là 3 đường cao nên các đường thẳng CM, BF, DE đồng qui