Kỳ thi chọn học sinh giỏi trên máy tính cầm tay Toán Lớp 9 đề 11 - Trường THCS An Đức

Phßng GD & §T Ninh giang
 Tr­êng THCS an ®øc
 M· ®Ò: 11
K× thi chän häc sinh giái líp 9
M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay
Thêi gian 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Đề bài
Bài toán 1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009
Bài toán 2: Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000
Bài toán 3: Tìm số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49
Bài toán 4: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999
Bài toán 5: Cho dãy số U0 = 1; U1 = 9; Un= 10Un-1- Un-2 (n ÎN, n ³ )
1. Tính U6; U7; U8; U9; U10.
2. Chứng minh rằng: " k Î IN, k ³ 1 thì:
 Uk2 + U2k+1 - 10Uk . Uk-1 = -8 
Bài toán 6:
Cho Un = n
1. Tính U9 , U11 , U13 , U15 , U17 của dãy số trên.
2. Tìm số dư trong phép chia (U17)2008 cho 49 
Bài toán 7: 
Cho dãy số = (5+2)n + (5 - 2)n Với n = 1, 2, 3 ..
1. Tính 5 số hạng đầu của dãy.
2. Chứng minh rằng; Un+2 = 10Un+1 - Un.
Bài8.
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 
2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3.
 Bài 9.
Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -; 
 ; 1; -.
2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16.
Bài 10.
Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; .
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 11
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức khi cho:
 x = + 
Đáp án
Thang điểm
Bài toán 1.
1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000
20072 º 49(mod 100) 
Þ(20072)4 º 494(mod 100) º 01(mod 100)
20072000 = (20078)250 º 01(mod 100)
Vậy: 20072008 º 01(mod 100)
2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009
Ta có: 20082009 = 2008 . 20088 . 20082000
* 20082 º 64(mod 100)
 Þ(20082)4 º 644(mod 100) º 16(mod 100)
20088 º 16(mod 100) Þ(20088)5 º 165(mod 100) º 76(mod 100)
* 200840 º 76(mod 100) do đó: 20082000 º 76(mod 100)
Þ20088 .20082000º 16.76(mod 100) º 16(mod 100)
Do đó: 2008 . 20082008 º 2008.16(mod 100) º 28(mod 100)
Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài toán 2.
17761 º 1776(mod 2000)
17762 º 176(mod 2000)
17763 º 576(mod 2000)
17764 = (17762)2 º 976(mod 2000)
17765 = 17762 . 17763 º 176 . 576(mod 2000) º 1376(mod 2000)
17766= 1776 . 17765 º 176 . 1736(mod 2000) º 1776(mod 2000)
17767 º 976(mod 2000)
Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng 5k. 
Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376.
1.0
1.0
0.5
Bài toán 3.
* Ta t ìm số dư khi chia 182008 cho 49
Ta có: 182008 = 18.182007 
 = (183)669 . 18
183 º 1(mod 49) Þ (183)669 º 1(mod 49)
18. (183)669 º 18(mod 49)
* Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49
Ta có 82009 = (87)287
87 º 1(mod 49)	
Þ (87)287 º 01(mod 49)
Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
Bài toán 4 
Học sinh tính đúng kết quả cho 2.5 đ
U6
U7
U8
U9
U10
854569
8459361
83739041
828931049
8205571449
 * Un = 10.Un-1- Un-2 Û Un - 5Un-1 = 5Un-1- Un-2 
Þ(Un - 5Un-1)2 = (5Un-1- Un-2)2
Û Un2 - 10Un. Un-1 = -10Un-1. Un-2 + U2n-2
Thay n lần lượt bằng 2, 3, 4, ,k ta được 
U22 - 10U2. U1 = -10U1. U0 + U20
U32 - 10U3. U2 = -10U2. U1 + U21
U42 - 10U4. U3 = -10U3. U2 + U22

Uk-12 - 10Uk-1. Uk-2 = -10Uk-2. Uk-3 + U2k-3
Uk2 - 10Uk. Uk-1 = -10Uk-1. Uk-2 + U2k-2
Cộng vế theo vế ta được:
Uk2 + U2k+1 - 10Uk . Uk-1 = -8 
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài toán 5:
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 º 67(mod 100)
320 = 3486784401 º 01(mod 100)
Þ (320)499 º 01(mod 100)
Do đó (320)499.319 º 67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 º 88(mod 100)
220 = 1048576 º 76(mod 100)
Þ (220)499 º 76(mod 100)
Do đó (220)499.219 º 76.88(mod 100) º 88(mod 100)
Þ39999 + 29999 º (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) 
Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài toán 6.
1. 
U9
U11
U13
U15
U17
34
89
233
610
1597
2.Ta tìm số dư khi chia 15972008 cho 49
Ta có: 1597 º 29(mod 49)
Suy ra 15972008 º 292008 (mod 49)
 292008 = (294 )502 
294 º 15(mod 49) Þ (294 )502 º 15502 (mod 49)
 15502 º (157)71. 155 
Có 157 º 1(mod 49) Þ (157)71º 1(mod 49)
 155 º 22( mod 49)
Nên (157)71. 155 º 22( mod 49)
Kết luận: Vậy số dư khi chia số 15972008 cho 49 là 22.
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 7.
Tính đúng và điền KQ vào từng ô 
U1
U2
U3
U4
U5
10
98
970
9602
95050
Giả sử Un+2 = aUn+1 + bUn
Thay n=1 ta được: U3 = aU2+bU1 hay 970 = a.98+b10
Thay n=2 ta được: U4 = aU3+bU2 hay 9602 = a.970+b98
Giải hệ ta được: a = 10
 b = -1
V ậy: Un+2 = 10Un+1 - Un.
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
Bài 1.
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 
2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3.
 Bài 2.
Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -; 
 ; 1; -.
2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16.
Bài 3.
Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; .
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 4.
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức khi cho:
 x = + 
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ ĐA THỨC
Bài 1.
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 
2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3
1. Theo bài ra ta có: f(1) = 2 + 1 + b + c + d = - 18
 f(2) = 64 + 8 + 4b + 2c + + d
 f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d 
Tức là ta có hệ: 
Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15
 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15 
2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược:
F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561
Vậy hệ số của x2 trong phép chia trên là 1.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2.0
0.5
Bài 2.
Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -, 
 , 1, -.
2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16.
1.HS tính đúng và điền kết quả vào bảng: (2.5đ)( Mỗi ý đúng cho 0.5 đ)
1
-.
Bài 3.
Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; .
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
HD
1.HS tính đúng và điền kết quả vào bảng: (2.5đ)( Mỗi ý đúng cho 0.5 đ)
2 
-1
3
-
2. f(x) = x5 + x3 + x + 2008
Đặt A = x5 + x3 + x
Ta CM: A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.
Thật vậy: A = x5 + x3 + x
 = x5 + x3 + x - 
 =x5 + x3 + x - x -x
 - + x
Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3.
thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1)
=x(x2 - 1)(x2 - 4 + 5)
= x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5. nên nguyên
5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5
x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên nguyên
Vậy bài toán CM xong.
1.0
0.5
0.5
Bài 4
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
 x = + 
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới 
d ạng f(x) + m = Q(x)(x+6) 
do đ ó f(-6) + m = 0 m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả
 m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
 ta được đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642 
Học sinh tính được x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665 
0.5
0.5
1.5
0.5
1
1