Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở GD & ĐT Hà Nam

sở giáo dục - đào tạo
hà nam
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs
Năm học 2008 - 2009
Đề dự bị
Môn thi: Toán
(Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức : A=
a) Rút gọn A
b) Cho . Tính giá trị lớn nhất của A.
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phương trình:
 (*)
a) Giải phương trình với m = -1
b) Chứng minh phương trình (*) luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi giá trị của tham số m.
c) Tìm các giá trị của m để 
Bài 3: (3,0 điểm)
Mỗi bạn An, Bình, Cẩm cùng có 50 nghìn đồng, cùng vào một cửa hàng, cùng mua 2 loại vở và cùng trả hết tiền. An mua được 12 quyển vở, Bình mua được 14 quyển vở, Cẩm mua được 16 quyển vở. Hỏi giá mỗi quyển vở mỗi loại là bao nhiêu và số vở mỗi loại mà An, Bình, Cẩm mua là bao nhiêu biết rằng giá mỗi loại vở là số nguyên nghìn đồng.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho một đường tròn đường kính AB và một dây CD cố định vuông góc với AB tại điểm H; M là một điểm di động trên cung nhỏ BC.
1. Chứng minh MA là phân giác của góc CMP.
2. Chứng minh hệ thức MA.MI = MC.MD.
3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD tại điểm E. Chứng minh CEAM. Từ đây suy ra quỹ tích giao điểm F của CE và AM.
4. Tìm quỹ tích điểm E khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
Bài 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu: 
 trong đó a, b, c, a', b', c' > 0 thì 
 Hết
Họ và tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ..........................
 Giám thị số 1 Giám thị số 2
 (Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)
Sở giáo dục& đào tạo
Hà Nam
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán lớp 9 thcs 
năm học 2008-2009
(dự bị)
Bài 1 (5 điểm)
a) Điều kiện: x > 0; y > 0; xy 1
0,5
Đặt M = 
 N = 
 A = M : N
M = 
0,5
 = 
0,25
 = = 
0,5
N = 
0,5
 = 
0,25
 = 
0.5
0,5
b) Theo bất đẳng thức côsi ta có:
1,0
Vậy Amax =9 
0,5
Bài 2 (4 điểm)
a) Với m = -1, từ (*) ta có phương trình: (x+1)4 + 2(x+1)2 – 3 = 0
Đặt (x+1)2 = y (y > 0). Ta có phương trình: y2 + 2y - 3 = 0
y1 =1; y2 = -3 (loại)
0,5
Vậy (x+1)2=1 x(x+2) = 0 x = 0 hoặc x = -2
0,5
b) Đặt t = (x+1)2, (t 0) ta có phương trình: t2- (m-1)t - m2 + m - 1 = 0 (**)
= == 
0,5
 > 0 với mọi m
0,25
=-m2+m-1<0 với mọi m. Suy ra phương trình (**) có 2 nghiệm trái dấu
0,5
Vậy phương trình (**) luôn có một nghiệm dương với mọi m. Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
0,25
c) Ta luôn có đẳng thức , với mọi m
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi mà giả thiết cho 
0,25
Vậy ta có 
0,25
Từ việc đặt t=. Phương trình này có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi 
0,25
Ta biết nghiệm dương của phương trình (**) là: 
0,25
điều kiện , bình phương hai vế ta có:
5m2- 6m+5 9 - 6m + m2 4m24
0,25
Câu 3 (3 điểm)
Gọi giá hai loại vở là x (nghìn đồng) và y (nghìn đồng) , giả sử x > y
Số vở loại giá x (nghìn đồng) mà An, Bình, Cẩm mua tương ứng là a, b, c
0,25
Ta có: 
0,75
Vì x-y > 0 nên từ phương trình (3) ta có 16y < 50. suy ra y < 4
0,25
Nếu y=1 thì từ (1) và (2) cho 
suy ra a chia hết cho 19, vô lý vì a 12
0,25
Nếu y = 2 thì (1) và (2) cho 
Suy ra a chia hết cho 13, vô lý vì a 12
0,25
Nếu y = 3 thì từ (1) cho x-y = . Suy ra x-y 
Từ (3) cho (x-y)c = 2 suy ra x-y 2
0,25
Vậy x-3 = 2 suy ra x = 5. thay vào 
0,25
 2a +36=50 suy ra a=7 <12
 2b +42=50 suy ra b=4 <14
 2c +48=50 suy ra c=1 <16
0,75
Câu 4 (6 điểm)
D
E
H
M
B
C
A
F
I
2
1
1. Ta có cung CA=cung AD. Suy ra góc CMA=gócDMA (tính chất góc nội tiếp). Suy ra MA là phân giác của góc CMD
1,0
2. Xét MAC và MDI có góc M1 = góc M2 ; gócMAC = gócMDC ( góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
0,5
Suy ra MAC đồng dạng với MDI (g.g)
0,5
Suy ra MA.MI=MC.MD
0,5
3. Từ M kẻ hai cát tuyến MAI và MDE đến đường tròn ngoại tiếp tam giác AID
Thì MA.MI=ME.MD
0,5
Kết hợp với kết quả câu 2 ta có MC=ME.
0,5
Tam giác CME cân, AM là phân giác góc ở đỉnh nên AM vuông góc với CE
0,5
góc AFC = 900 Khi M chạy trên cung nhỏ BC thì F chạy trên cung tròn thuộc đường tròn đường kính AC
1,0
4. Ta có AE=AC.
0,5
Quỹ tích của E là cung tròn CED thuộc đường tròn tâm A bán kính AC
0,5
Câu 5 (2 điểm)
Vì a, b, c, a’, b’, c’ > 0 nên đẳng thức đã cho có nghĩa.
Bình phương hai vế:
0,25
= 
 = 
0,25
0,5
0,5
Do đó . Từ đo suy ra điều phảichứng minh
0,5
chú ý: + Mọi cách giải đúng khác với đáp án cho điểm tương ứng với biểu điểm
 + Điểm bài thi là tổng điểm của các bài và không làm tròn số