Giáo trình casio 500ms, 570ms

PhÇn I: C¸c bµi to¸n vÒ ®a thøc
1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
H.DÉn:
- LËp c«ng thøc P(x)
- TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i c¸c ®iÓm: dïng chøc n¨ng 
- KÕt qu¶: P(1,25) = ; P(4,327) = 
 P(-5,1289) = ; P() =
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 t¹i x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 t¹i x = -2,1345
H.DÉn:
- ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta cã:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
Tõ ®ã tÝnh P(0,53241) = 
T­¬ng tù: 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 
Tõ ®ã tÝnh Q(-2,1345) = 
Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.DÉn:
B­íc 1: §Æt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ BËc H(x) nhá h¬n bËc cña P(x)
+ BËc cña H(x) nhá h¬n sè gi¸ trÞ ®· biÕt cña P(x), trongbµi bËc H(x) nhá h¬n 5, nghÜa lµ:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
B­íc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ó Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ:
 Þ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2 
V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 lµ nghiÖm cña Q(x), mµ bËc cña Q(x) b»ng 5 cã hÖ sè cña x5 b»ng 1 nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 
Þ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bµi 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.DÉn:
- Gi¶i t­¬ng tù bµi 3, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Tõ ®ã tÝnh ®­îc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. TÝnh 
H.DÉn:
- Gi¶i t­¬ng tù bµi 4, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Tõ ®ã tÝnh ®­îc: 
Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 víi hÖ sè cña x3 lµ k, k Î Z tho¶ m·n:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hîp sè.
H.DÉn:
* T×m ®a thøc phô: ®Æt g(x) = f(x) + (ax + b). T×m a, b ®Ó g(1999) = g(2000) = 0
 Þ g(x) = f(x) - x - 1
* TÝnh gi¸ trÞ cña f(x):
- Do bËc cña f(x) lµ 3 nªn bËc cña g(x) lµ 3 vµ g(x) chia hÕt cho:
 (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
 Þ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) lµ hîp sè.
Bµi 7: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hÖ sè cña bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.DÉn:
- §Æt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. T×m a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 Þ a, b, c lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh:
 Þ b»ng MTBT ta gi¶i ®­îc: 
Þ g(x) = f(x) - x2 - 2
 - V× f(x) bËc 4 nªn g(x) còng cã bËc lµ 4 vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) Þ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tÝnh ®­îc: A = f(-2) + 7f(6) = 
Bµi 8: Cho ®a thøc f(x) bËc 3. BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
T×m f(10) = ? (§Ò thi HSG CHDC §øc)
 H.DÉn:
- Gi¶ sö f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nªn: 
 lÊy 3 ph­¬ng tr×nh cuèi lÇn l­ît trõ cho ph­¬ng tr×nh ®Çu vµ gi¶i hÖ gåm 3 ph­¬ng tr×nh Èn a, b, c trªn MTBT cho ta kÕt qu¶: 
Þ Þ 
Bµi 9: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 biÕt r»ng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) ®Òu ®­îc d­ lµ 6 vµ f(-1) = -18. TÝnh f(2005) = ?
H.DÉn:
- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = 6 vµ cã f(-1) = -18
- Gi¶i t­¬ng tù nh­ bµi 8, ta cã f(x) = x3 - 6x2 + 11x 
Tõ ®ã tÝnh ®­îc f(2005) = Bµi 10: Cho ®a thøc 
a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn
Gi¶i:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 th× (tÝnh trªn m¸y) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 lµ nghiÖm cña ®a thøc P(x) nªn 
V× gi÷a 9 sã nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®­îc c¸c sè chia hÕt cho 2, 5, 7, 9 nªn víi mäi x nguyªn th× tÝch: chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cña c¸c sè nguyªn tè cïng nhau). Chøng tá P(x) lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn.
Bµi 11: Cho hµm sè . H·y tÝnh c¸c tæng sau:
H.DÉn:
* Víi hµm sè f(x) ®· cho tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau: 
 NÕu a + b = 1 th× f(a) + f(b) = 1
* ¸p dông bæ ®Ò trªn, ta cã: 
a) 
b) Ta cã . Do ®ã:
2. T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia hai ®a thøc:
Bµi to¸n 1: T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax + b)
C¸ch gi¶i:
 - Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r Þ Þ r = 
Bµi 12: T×m d­ trong phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Gi¶i:
- Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r Þ Þ r = 
TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: r = = 
Bµi to¸n 2: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)
C¸ch gi¶i:
- Dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)
Bµi 13: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.DÉn: - Sö dông l­îc ®å Hoocner, ta cã:
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
-5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756
* TÝnh trªn m¸y tÝnh c¸c gi¸ trÞ trªn nh­ sau:
 5 
1 0 (-5) : ghi ra giÊy -5
 2 (23) : ghi ra giÊy 23
 3 (-118) : ghi ra giÊy -118
 0 (590) : ghi ra giÊy 590
 0 (-2950) : ghi ra giÊy -2950
 1 (14751) : ghi ra giÊy 14751
 1 (-73756) : ghi ra giÊy -73756
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bµi to¸n 3: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax +b)
C¸ch gi¶i:
- §Ó t×m d­: ta gi¶i nh­ bµi to¸n 1
- §Ó t×m hÖ sè cña ®a thøc th­¬ng: dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x +) sau ®ã nh©n vµo th­¬ng ®ã víi ta ®­îc ®a thøc th­¬ng cÇn t×m.
Bµi 14: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Gi¶i:
- Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho , ta ®­îc:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = . Tõ ®ã ta ph©n tÝch:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2... 
 = (2x - 1). 
Bµi 15: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®a thøc P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2
H.DÉn:
- Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi ®ã: 
P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + 2 khi vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta cã: 
TÝnh trªn m¸y gi¸ trÞ cña ®a thøc P1(x) t¹i ta ®­îc m = 
Bµi 16: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung 
H.DÉn:
 lµ nghiÖm cña P(x) th× m = , víi P1(x) = 3x2 - 4x + 5
 lµ nghiÖm cña Q(x) th× n = , víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: m = = ;n = =
Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) T×m m, n ®Ó P(x), Q(x) chia hÕt cho (x - 2)
b) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x). Víi gi¸ trÞ m, n võa t×m chøng tá r»ng ®a thøc R(x) chØ cã duy nhÊt mét nghiÖm.
H.DÉn:
a) Gi¶i t­¬ng tù bµi 16, ta cã: m = ;n = 
b) P(x) (x - 2) vµ Q(x) (x - 2) Þ R(x) (x - 2)
Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + 3 > 0 víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiÖm x = 2.
Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q1(x) d­ r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q2(x) d­ r2. T×m r2 ?
H.DÉn:
- Ta ph©n tÝch: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dïng l­îc ®å Hoocner, ta tÝnh ®­îc hÖ sè cña c¸c ®a thøc q1(x), q2(x) vµ c¸c sè d­ r1, r2:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
VËy: 
PhÇn II: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè
M¸y tÝnh ®iÖn tö Casio fx - 570 MS cã nhiÒu ®Æc ®iÓm ­u viÖt h¬n c¸c MTBT kh¸c. Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dô. NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c. Ngoµi viÖc MTBT gióp cho viÖc gi¶m ®¸ng kÓ thêi gian tÝnh to¸n trong mét giê häc mµ tõ kÕt qu¶ tÝnh to¸n ®ã ta cã thÓ dù ®o¸n, ­íc ®o¸n vÒ c¸c tÝnh chÊt cña d·y sè (tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn...), dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè, tÝnh héi tô, giíi h¹n cña d·y...tõ ®ã gióp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o. ViÖc biÕt c¸ch lËp ra quy tr×nh ®Ó tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè cßn h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t­ duy thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh trong tin häc.
Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè th­êng gÆp trong ch­¬ng tr×nh, trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT:
I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè:
1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
un = f(n), n Î N* 
 trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña 
 n cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
- Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí : 1 
- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí 1
- LÆp dÊu b»ng: ... ...
Gi¶i thÝch: 
1 : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí 
 1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí thªm 1 ®¬n vÞ:1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai).
* C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu 
VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:
Gi¶i:
- Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau:
 1 
 1 5 1 5 2 1 5 2 1
- LÆp l¹i phÝm: ... ...
Ta ®­îc kÕt qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, 
u9 = 34, u10 = 55.
2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
 trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña 
 un cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
- NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a 
- NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng )
- LÆp dÊu b»ng: 
Gi¶i thÝch:
- Khi bÊm: a mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l­u kÕt qu¶ nµy 
- Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm , bÊm dÊu lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l­u kÕt qu¶ nµy.
- TiÕp tôc bÊm dÊu ta lÇn l­ît ®­îc c¸c sè h¹ng cña d·y sè u3, u4...
VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:
Gi¶i:
- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:
1 (u1)
 2 1 (u2)
 ... 
- Ta ®­îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
VÝ dô 2: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn.
Gi¶i:
- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:
 3 (u1)
 3 (u2)
 (u4 = 3)
VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn.
3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
C¸ch lËp quy tr×nh:
* C¸ch 1:
 BÊm phÝm: b A B a C 
 Vµ lÆp l¹i d·y phÝm:
 A B C 
 A B C 
 Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn
 b A B a C 
trong « nhí lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = ... (2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.
Ký hiÖu x = 2sin150, ta cã: b = a.x; c = ax2; d = ax3.
Thay vµo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch Str¾ng ta ®­îc:
 Str¾ng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6)
 = (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)
Ên phÝm: 1524
 140440
 4240
 16(1298.36)
VËy Str¾ng 1298,36 cm2.
BÊm tiÕp phÝm: 40(301.64) 
VËy Sg¹ch xäc 301,64 cm2.
BÊm tiÕp phÝm: (23.23) 
VËy 23,23%.
§¸p sè: 1298,36 cm2; 23,23%.
B
A'
O
A
B'
C
Bµi 14. Cho tam gi¸c ®Òu cã c¹nh lµ vµ t©m lµ O. VÏ c¸c cung trßn qua hai ®Ønh vµ träng t©m O cña tam gi¸c ®­îc h×nh 3 l¸. Gäi lµ c¸c trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA vµ AB. 
Ta l¹i vÏ c¸c cung trßn qua hai trung ®iÓm vµ 
®iÓm O, ta còng ®­îc h×nh 3 l¸ nhá h¬n.
a) TÝnh diÖn tÝch phÇn c¾t bá (h×nh g¹ch xäc) 
cña tam gi¸c ABC ®Ó ®­îc h×nh 6 l¸ cßn l¹i.
b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a phÇn c¾t bá 
vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC.
Gi¶i: còng lµ tam gi¸c ®Òu 
nhËn O lµm t©m (v× còng lµ c¸c ®­êng cao, ®­êng trung tuyÕn cña ). 6 chiÕc l¸ chØ cã ®iÓm chung duy nhÊt lµ O, nghÜa lµ kh«ng cã phÇn diÖn tÝch chung.
Mçi viªn ph©n cã gãc ë t©m b»ng 600, b¸n kÝnh b»ng ®­êng cao tam gi¸c ®Òu. Gäi S1 lµ diÖn tÝch 1 viªn ph©n. Khi Êy S1 = =(2-3).
Ta cã: =.
Gäi S lµ diÖn tÝch 3 l¸ lín, S' lµ diÖn tÝch 3 l¸ nhá. Khi Êy:
 S =6S1 =(2-3)=(2-3). 
Gäi c¹nh tam gi¸c ®Òu lµ b, t­¬ng tù ta còng cã:
 S'=(2-3) =(2-3).
Tæng diÖn tÝch 6 l¸ lµ: S + S' = (2-3)().
DiÖn tÝch phÇn g¹ch xäc (phÇn c¾t bá) lµ S''.
 S''=-(S + S')=- (2-3)(.
TÝnh : 33.3334(481.0290040)
TÝnh S'' : 73851233.33(229.4513446)
VËy S'' 229,45 cm2.
Ên tiÕp phÝm ®Ó tÝnh : KÕt qu¶: 47.70 
§¸p sè: S'' 229,45 cm2; 47,70 %.
 PhÇn VI. H×nh häc kh«ng gian
Bµi 15. (Së GD&§T Hµ Néi, 1996, vßng tr­êng, líp 10)
 1) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh cÇu b¸n kÝnh .
 2) TÝnh b¸n kÝnh cña h×nh cÇu cã thÓ tÝch .
Gi¶i: 1) Ta cã c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch h×nh cÇu: .
TÝnh trªn m¸y: 3.173343(133.8131596)
 2) Tõ c«ng thøc suy ra .
¸p dông: 3137.45413(3.20148673)
§¸p sè: ; .
A
B
C
D
I
G
Bµi 16. (Së GD & §T TP HCM, 1998, vßng chung kÕt, PTTH & PTCB)
TÝnh gãc trong ph©n tö mªtan (: Hydro, : Carbon). 
Gi¶i: Gäi lµ t©m tø diÖn ®Òu c¹nh lµ , lµ t©m 
tam gi¸c ®Òu. Gãc trong ph©n tö mªtan chÝnh lµ 
gãc cña tø diÖn . Khi Êy ta cã: . 
Suy ra 
 vµ . Gäi lµ ®iÓm gi÷a . Khi Êy .
TÝnh:232()
§¸p sè: .
Bµi 17. (Së GD & §T TP HCM, 1998, vßng chung kÕt, PTTH & PTCB)
Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu , biÕt trung ®o¹n , gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y b»ng . TÝnh thÓ tÝch.
A
B
C
D
S
H
M
Gi¶i: Gäi c¹nh ®¸y cña chãp tø gi¸c ®Òu lµ , chiÒu cao lµ , lµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y. Khi Êy hay . MÆt kh¸c,
 hay .
Suy ra vµ .
ThÓ tÝch tø diÖn ®­îc tÝnh theo c«ng thøc: 
.
TÝnh trªn m¸y:
4233.41534217
1232(15.795231442)
§¸p sè: .
 PhÇn VII. Ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i gÇn ®óng 
 ph­¬ng tr×nh 
Néi dung ph­¬ng ph¸p: Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm trong kho¶ng . Gi¶i ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p lÆp gåm c¸c b­íc sau: 
1. §­a ph­¬ng tr×nh vÒ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng . 
2. Chän lµm nghiÖm gÇn ®óng ban ®Çu. 
3.Thay vµo vÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh ta ®­îc nghiÖm
gÇn ®óng thø nhÊt . Thay vµo vÕ ph¶i cña ph­¬ng 
tr×nh ta ®­îc nghiÖm gÇn ®óng thø hai . LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn, ta nhËn ®­îc d·y c¸c nghiÖm gÇn ®óng
, , , ,...,, ...
NÕu d·y c¸c nghiÖm gÇn ®óng , héi tô, nghÜa lµ tån t¹i th× (víi gi¶ thiÕt hµm lµ liªn tôc trong kho¶ng ) ta cã:
.
Chøng tá lµ nghiÖm ®óng cña ph­¬ng tr×nh vµ do ®ã còng lµ nghiÖm ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
TÝnh héi tô: Cã nhiÒu ph­¬ng tr×nh d¹ng t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh . Ph¶i chän hµm sè sao cho d·y x©y dùng theo ph­¬ng ph¸p lÆp lµ d·y héi tô vµ héi tô nhanh tíi nghiÖm. Ta cã tiªu chuÈn sau.
§Þnh lý. Gi¶ sö lµ kho¶ng c¸ch ly nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vµ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh . NÕu vµ lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc sao cho th× tõ mäi vÞ trÝ ban ®Çu d·y x©y dùng theo ph­¬ng ph¸p lÆp sÏ héi tô tíi nghiÖm duy nhÊt trong kho¶ng cña ph­¬ng tr×nh . 
ThÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
Ph­¬ng tr×nh nµy cã duy nhÊt nghiÖm trong kho¶ng vµ t­¬ng ®­¬ng víi
. Do cã ®¹o hµm tháa m·n ®iÒu kiÖn trong kho¶ng nªn d·y lÆp héi tô tíi nghiÖm duy nhÊt tõ mét ®iÓm bÊt kú trong kho¶ng . 
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
Khai b¸o hµm : 
1
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bÊm phÝm . 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu b»ng c¸ch bÊm phÝm . 
Khai b¸o d·y xÊp xØ : 
1
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
VËy nghiÖm xÊp xØ (chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n) lµ .
ThÝ dô 2. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
V× cã ®¹o hµm nªn nã ®ång biÕn trªn 
toµn trôc sè. H¬n n÷a, , nªn ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt n»m trong kho¶ng . 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi . 
§Æt th× nªn . 
Do ®ã d·y lÆp héi tô tõ mäi ®iÓm bÊt kú trong kho¶ng . 
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
Khai b¸o : 3
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 12 vµ bÊm phÝm . 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn
.
VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 12 vµ bÊm phÝm . 
Khai b¸o d·y xÊp xØ : 3
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
VËy nghiÖm xÊp xØ (chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n) lµ 
NhËn xÐt 1. NÕu chØ ®ßi hái nghiÖm chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu phÈy th× chØ cÇn sau 13 b­íc lÆp ta ®· ®i ®Õn nghiÖm lµ 0,79206.
NhËn xÐt 2. NÕu ta ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng th× cã ®¹o hµm kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn 
nªn ta ch­a thÓ nãi g× ®­îc vÒ sù héi tô cña d·y lÆp.
NhËn xÐt 3. Chän ®iÓm xuÊt ph¸t ([2], trang 62) th× cÇn nhiÒu b­íc lÆp h¬n.
Dïng lÖnh solve ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
 -LambertW(exp(3)) + 3
M¸y cho ®¸p sè th«ng qua hµm LambertW. 
Ta cã thÓ tÝnh chÝnh x¸c nghiÖm ®Õn 30 ch÷ sè nhê lÖnh:
> evalf(",30);
 .79205996843067700141839587788 
Lêi b×nh: Maple cho ta ®¸p sè ®Õn ®é chÝnh x¸c tuú ý.
ThÝ dô 3. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
V× lµ mét hµm ®ång biÕn ngÆt trªn . H¬n n÷a vµ nªn ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm trªn kho¶ng . 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi . 
V× nªn víi mäi nªn d·y lÆp héi tô.
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
Khai b¸o : 
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 
12 vµ bÊm phÝm . Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS: 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 12 vµ bÊm phÝm . 
Khai b¸o : 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ .
ThÝ dô 4. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
V× cã ®¹o hµm vµ chØ b»ng t¹i mét sè ®iÓm rêi r¹c nªn nã lµ hµm ®ång biÕn ngÆt. Do vµ nªn ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm trong kho¶ng . 
HiÓn nhiªn víi mäi víi ®ñ nhá nªn d·y héi tô trong kho¶ng .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
Ên phÝm (tÝnh theo Radian). 
Khai b¸o : 
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bÊm phÝm . Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-500 MS hoÆc Casio fx-570 MS: 
BÊm phÝm (tÝnh theo Radian) trªn Casio fx-570 MS hoÆc (tÝnh theo Radian) trªn Casio fx-500 MS. 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 1.5 vµ bÊm phÝm . 
Khai b¸o : 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
ThÝ dô 5. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
V× , , , vµ lµ ph­¬ng tr×nh lµ bËc 3 nªn nã cã ®óng 3 nghiÖm trong c¸c kho¶ng , ,. 
Ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng víi . XÐt kho¶ng .
 §Æt . Ta cã nªn d·y héi tô trong kho¶ng .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
Ên phÝm (tÝnh theo sè thùc). 
Khai b¸o : 31
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bÊm phÝm . 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 1 vµ bÊm phÝm . 
Khai b¸o : 31
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
VËy mét nghiÖm gÇn ®óng lµ .
Dïng s¬ ®å Horner ®Ó h¹ bËc, sau ®ã gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai ta t×m ®­îc hai nghiÖm cßn l¹i lµ: vµ .
Chó ý: §Ó tÝnh nghiÖm ta kh«ng thÓ dïng ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng nh­ trªn v× kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn trong kho¶ng vµ d·y lÆp kh«ng héi tô (H·y thö khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu vµ thùc hiÖn d·y lÆp theo quy tr×nh bÊm phÝm trªn, ta sÏ thÊy d·y lÆp héi tô tíi ). 
NhËn xÐt 1: Cã thÓ gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-570 MS theo ch­¬ng tr×nh cµi s½n trªn m¸y, quy tr×nh bÊm phÝm sau: 
Vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba: 
Khai b¸o hÖ sè: 
M¸y hiÖn ®¸p sè . 
BÊm tiÕp phÝm , m¸y hiÖn .
BÊm tiÕp phÝm , m¸y hiÖn .
VËy ph­¬ng tr×nh cã ba nghiÖm thùc 
;; .
ThÝ dô 6. T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh (chÝnh x¸c ®Õn ). 
Gi¶i: Giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh chÝnh lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .
V× , , , vµ nªn ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm trong c¸c kho¶ng ,vµ .
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi . 
§Æt th× vµ . 
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: 
BÊm phÝm (tÝnh theo sè thùc). 
Khai b¸o : 31
B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bÊm phÝm . 
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta ®i ®Õn nghiÖm .
D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : 
Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu : 2.7. 
Khai b¸o : 31
Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp ta còng ®i ®Õn . 
VËy mét nghiÖm gÇn ®óng lµ .
Hai nghiÖm cßn l¹i cã thÓ t×m b»ng ph­¬ng ph¸p lÆp hoÆc ph©n tÝch ra thõa sè råi t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai hoÆc mét lÇn n÷a dïng ph­¬ng ph¸p lÆp.
Bµi tËp
Bµi tËp 1. T×m kho¶ng c¸ch ly nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y:
1) ; 	2) ; 	3) .
Bµi tËp 2 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Tp. HCM, 24.11.1996). 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (t×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh):
1) ;	 2) ;	 3);
4); 	5); 	6); 
7) ; 	8) ; 	9) Cho . 
T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ;
(C©u hái thªm cho tr­êng chuyªn Lª Hång Phong): 
10a) ; 10b) .
Bµi tËp 3 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Hµ Néi, 18.12.1996). 
T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh: 
1) ; 	 2) ; 	 	 3) ;
4) ; 	5) ; 	6) ;
7) T×m mét nghiÖm gÇn ®óng (lÊy 3 sè lÎ) cña ph­¬ng tr×nh: ;
8) T×m mét nghiÖm gÇn ®óng (lÊy 2 sè lÎ thËp ph©n) cña: .
Bµi tËp 4 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T §ång Nai, 15.2.1998). 
T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh:
1) ;	2) ; 	3) ; 	4) .
Bµi tËp 5 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Tp. HCM, 15.3.1998). 
T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh:
1) ; 	 2) ;
3) T×m nghiÖm ©m gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh: ;
4) (C©u hái thªm cho tr­êng chuyªn Lª Hång Phong):
T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh .
Bµi tËp 6. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph­¬ng tr×nh trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói: 
; 	2) ; 	3);
4) ; 	5) ; 	 6) ; 
7) ;	8) ; 	9) ;
; 	11) ; 	12); 
13); 	14) ; 	15) 
16) ;	17) ; 	18) ; 	
19) ; 	20) ; 	21); 22) .