Giáo án tự chọn Toán Lớp 8 (Nâng cao)

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Một trong những các định hướng quan trọng của viêc đổi mới giáo dục của nhiều nước trên thế giới trong đó cóViêt Nam là : Tăng cường hơn nữa tính “ Phân hoá” trong giáo dục ,sự khẳng định này dựa trên cơ sở về sự tồn tại khách quan nhữngkhác biệt của người học về tâm lý , thể chất , năng lực và những khác biệt về yêu cầu và điều kiện kinh tế , xã hội . Chương trình giáo dục của nhiều nước thể hiện ngày càng rõ hơn tinh thần phân ban và dạy học tự chọn , đặc biệt ở các lớp cuối của bậc THCS
 Ở nước ta kế hoạch giáo dục của trường THCS ban hành kèm theo quyết định số 03/2002/QĐ – BGD&ĐT của Bộ Trưởng Bộ Giáo Dục và Đào tạo ngày 24 tháng 1 năm 2002 đã giành 2 tiết / tuần ở Lớp6 , Lớp7 , lớp8 , Lớp9 , cho việc dạy và học các chủ đề tự chọn .Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy học có tính pháp qui cần được nghiên cứu và triển khai ở mức độ hợp lý cùng với các hình thức dạy học được qui định trong các quyết định số 03/2002/QĐ- BGD&ĐT
 Để dáp ứng nhu cầu và nguyện vọng học tập của các đối tượng học sinh khác nhau do vậy bản thân tôi chọn chủ đề nâng cao GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT trongmột số dạng cơ bản thường gặp ở bộ môn đại số và hình học lớp 8để giúp học sinh khá giỏilớp 8 phát huy về trí lực học tập của mình , có thể đầu sâu hơn các kiến thức đã học , tập dượt nghiên cứu một số vấn đề đơn giản góp phần chuẩn bị học lên để bước vào cuộc sống 
 lao động II) GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
A)MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này học sinh có khả năng
*Nắm được các định nghĩa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
*Nắm được một số dạng cơ bản về giá trị lớn nhát(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) đại số *Nắm được một số phương pháp để giải toán cực trị(GTLN , GTNN) trong hình học
*Có kĩ năng vận dụng các tính chất – các bất đẳng thức cơ bản để giải theo nhiều cách khác nhau
B)THỜI LƯỢNG:
 Để học sinh khá giỏi nắm được hoàn chỉnh và đầy đủ các kiến thức và phương pháp giải , bản thân tôi chọn chủ đề này với số tiết là 12 tiết
C)TÀI LIỆU THAM KHẢO
*Sách giáo khoa toán8 . Tác giả:Phan Đức Chính – NXBGD
*Toán nâng cao đại số 8 . Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh - NXBGD
*Toán nâng cao và phát triển TOÁN 8 . Tác giả : Vũ Hữu Bình - NXBGD
*Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS . Tác giả : Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thành , Nguyễn Ngọc Đạm – NXBGD
*Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đại số và hình học .Tác giả : Vũ Hữu Bình , Tôn Thân , Đỗ Quang Thiều - NXB Hà Nội
*500 bài toán chọn lọc 8 . Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm , Nguyễn quang Hanh , Ngô Long Hậu NXB Đại học sư phạm
D) THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ :
 Chuyên đề này gồm hai phần : Đại số và hình học 
 Phần đại số gồm các dạng tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất
 Phần hình học gồm các dạng cơ bản về toán cực trị(Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất) trong hình học 
Để học sinh nắm chắc tôi phân thời lượng như sau :
 6 tiết đầu giành cho đại số , 5 tiết sau giành cho hình học , còn 1 tiết giành cho kiểm tra
E) TIẾN HÀNH BÀI GIẢNG:
 Tiết: 1-2
I) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC:
 1) Định nghĩa GTLN:
 Cho biểu thức f(x,y.....) , ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y....) , kí hiệu maxf=M nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi x,y .....để f(x,y....) xác định thì 
 f(x,y....) M ( M là hằng số) (1)
- Tồn tại x0 , y0 .......sao cho f(x0,y0......) = M (2)
2)Định nghĩa GTNN : Cho biểu thức f(x,y...) , ta nói m là GTNN của biểu thức f(x,y...) kí hiệu minf=m , nếu hai điều kiện sau được thoả mãn :
 - Với mọi x,y .....để f(x,y....) xác định thì f(x,y...) m ( m là hằng số) (1/)
-Tồn tại x0 , y0 .......sao cho f(x0,y0......) = m (2/)
 * Tiếng la tinh minimum là nhỏ nhất , maximum là lớn nhất
Chú ý rằng nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1/) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức 
3)Phương pháp giải:
 Chú ý rằng vì (x+a)2 0 với mọi giá trị của x và (x+a)2 = 0 khi x = -a , nên (x+a)2 +b b
với mọi giá trị của x và (x+a)2 +b = b khi x = -a .Do đó GTNN của (x+a)2 +b = b khi x = -a
Hoặc b - (x+a)2 b với mọi giá trị của x và b - (x+a)2 = b khi x = - a . Do đó GTLN của b - (x+a)2 = b khi x = -a
4) Tìm GTLN , GTNN của một biểu thức là vấn đề không đơn giản , tôi sẽ đề cập môt số dạng đặc biêt
 a) Tìm GTNN , GTLN của biểu thức một biến 
 Dạng 1: Tam thức bậc hai
Bài1 : Tìm GTNN của 
 A = x2 - 4x +1
 B = 2x2 - 8x +1
Hướng dẫn giải 
 A = x2 - 4x +1= x2 - 4x +4 -3 = (x-2)2 - 3 -3
Vậy GTNN của A bằng -3 khi và chỉ khi (x-2)2 = 0 x = 2
B = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 -7
 Vậy GTNN của B bằng -7 khi và chỉ khi x = 2
Bài 2: Tìm GTLN của 
 C = 1 + 6x - x2 
 D = 2x - 2x2 - 5 
Hướng dẫn 
 C = 1 + 6x - x2 = - x2 + 6x + 1 = -(x2 - 6x - 1) = -(x2 - 6x +9 -10)
 = -(x2 - 6x + 9) +10 = 10 - (x - 3)2 10
Vậy GTLN của C bằng 10 khi và chỉ khi x = 3
 D = -2x2 + 2x -5 = -2(x2 -x + 5/2) = -2(x2 - 2x.1/2 + 1/4 - 1/4 + 5/2) = -2 = -2(x - 1/2)2 - 9/2 = -9/2 -2(x - 1/2)2 -9/2
Vậy GTLN của D bằng -9/2 khi và chỉ khi x = 1/2
Dạng 2: Tìm GTNN , GTLN CỦA ĐA THỨC BẬC CAO
BÀI 1: 
 a) Tìm GTNN của A = (x2 + x +1)2 
 Giải : Măt dù A 0 nhưng GTNN của A không phải bằng 0 vì x2 + x + 1 0
Ta có x2 + x +1 = x2 + x +1/4 + 3/4 = (x + 1/2)2 + 3/4 3/4
 Do đó Amin khi và chỉ khi (x2 + x +1)2 min
Vậy GTNN của A bằng (3/4)2 = 9/16 khi và chỉ khi x = -1/2
b) Tìm GTNN của B = x4 - 6x3 +10x2 - 6x +9
 Hướng dẫn : Viết biểu thức dưới dạng 
 B = x4 -6x3 + 9x2 + x2 - 6x + 9 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0 
 Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của biểu thức bằng 0 với x = 3
Bài tập về nhà 
Tìm GTNN của A = 2x2 - 20x + 53
Tìm GTLN của B = -5x2 - 4x + 1
 2) Tìm GTNN của C = x4 - 2x3 + 3x2 -2x + 1
Tiết: 3-4
Cho HS sữa bài tập về nhà
HS1: Tìm GTNN của A = 2x2 - 20x + 53 = 2(x2 - 10x + 25) +3 = 2(x- 5)2 + 3 3
GTNN của A = 3 khi và chỉ khi x = 5
HS2: Tìm GTLN của B = -5x2 - 4x + 1 = -5(x2 + 2x.- ) = -5(x2 +2x.+-)
= -5= -5(x +)2 + =-5(x +)2 
Vậy GTLN của B bằng khi x = -
HS3: Tìm GTNN của C = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x +1 = (x2 - x + 1)2
Có x2 - x + 1 >0 với mọi x nên (x2 - x + 1)2 min khi và chỉ khi x = 
Vậy C min = khi và chỉ khi x = 
Dạng3 : Tìm GTNN , GTLN của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Tìm GTNN của A = + 
Cách1:
 Hướng dẫn cách 1 chia khoảng 
a) Trong khoảng x < 1 thì A= 1 - x + 3 - x = 4 - 2x 
 Do x -2 do đó 4 - 2x > 2
b) Trong khoảng 1x3 thì A= x - 1 + 3 -x = 2
c) Trong khoảng x > 3 thì A = x- 1 +x -3 = 2x -4
Do x>3 nên 2x - 4 > 2
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên , ta thấy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi 1x3 
Cách2 : Vì giá trị của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyêt đối 
 A = + = 2
Do đó minA = 2 khi và chỉ khi (x - 1)(3 - x) 0 khi và chỉ khi 1x3
Bài 2: Tìm GTNN của B = 
Do chia khoảng khá phức tạp nên hướng dẫn HS làm cách 2 để nắm một cách chặt chẽ
Giải: Vì giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối nên
 = 8 (1)
Ta lại có : (2)
Từ (1) và (2) suy ra A8
Do đó minA = 8 
Dạng4: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số , mẫu là tam thức bậc2
Bài1:Tìm GTLN của M = 
Hướng dẫn giải: M = = 
Ta thấy (2x-1)2 0 nên (2x-1)2 +4 4
Do đó ( Theo qui tắc so sánh hai phân số cùng tử , tử và mẫu đều dương )
 maxM =khi và chỉ khi x = 
Bài 2: Tìm GTNN của A = 
Hướng dẫn giải 
A = =
Ta thấy (3x-1)2 0 nên (3x-1)2 + 4 4 . Do đó (theo tính chất so sánh 2 phân số cùng tử và mẫu đều là dương)
Suy ra Vậy minA=-khi và chỉ khi 3x - 1 = 0 khi và chỉ khi x= 
Dạng5: Tìm GTNN , GTLN của phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức 
Bài1: Tìm GTNN của A = 
Hướng dẫn HS làm hai cách sau
Cách1: Viết tử thức dưới dạng luỹ thừa của x + 1 rồi đổi biến , đặt y = 
Vậy minA = khi và chỉ khi y=x = 1
Cách2: Viết A dưới dạng tổng của 3/4 với một biểu thức không âm
A==
Vậy Amin bằng 3/4 khi và chỉ khi x=1
Bài 2:Tìm GTNN của B = 
Cách1:
B = =
Đặt x - 1 = y thì x = y+1
Ta có B=
Lại đặt thì B= 3-2z+z2 = (z - 1)2 + 2 2
minB = 2 z = 1 y = 1 =1x = 2
Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm
A = 
 minA = 2 khi và chỉ khi x = 2
Bài tập về nhà
Tìm GTNN của A = 
Tìm GTNN của B =
Tìm GTLN của C = 
Tiết : 5-6
Sữa bài tập về nhà 
HS1 Tìm GTNN của A = 
 A= 
 Do đó minA = 3 
HS2 B = 
Ta thấy (x-12)2 0 nên (x-1)2 +3 3 
Do đó 
Bmin = khi và chỉ khi (x-1)2 = 0 khi và chỉ khi x = 1
HS3 Tìm GTNN của C = = 3 +
Ta thấy (x+1)2 0 nên (x+1)2 +2 2
Do đó suy ra 3+ 
 Cmin 3+ 1/2 =3,5 khi và chỉ khi (x+1)2 = 0 khi và chỉ khi x = 1
HS4 Tìm GTNN của D = 
Đặt x - 1 = y thì x = y + 1 Ta có 
D = 
Đặt = z 
D = 1- z +z2 = z2 - 2z . + = (z - )2 +
Dmin = 
Vậy Dmin = 
Dạng 6: Tìm GTNN , GTLN của các phân thức khác
Bài 1: Tìm GTNN, GTLN của A=
Để tìm GTNN viết A dưới dạng ( Biến đổi tử sao cho có biểu thức ở mẫu )
A= 
Amin = -1 khi và chỉ khi x = 2
Để tìm GTLN viết A dưới dạng ( Biến đổi tử sao cho có hiệu giữ một số với một phân thứckhông âm)
A = 
Ama x = 4 khi và chỉ khi x = -1/2
Bài 2 :Tìm GTNN , GTLN của B = 
Để tìm GTNN viết B dưới dạng hiệu của một phân thức không âm với một số
B = 
Bmin = -1 khi và chỉ khi (x-6)2 = 0 khi và chỉ khi x = 6
Để tìmGTLN viết B dưới dạng hiệu của một số với một phân thức không âm
B = 
Bma x = 4 
Dạng7: Tìm GTNN , GTLN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến 
Bài 1: Tìm GTNN của A=x3+y3 + xy biết rằng x + y = 1
Hướng dẫn : Sử dụng điều kiện đã có để rút gọn biểu thức A 
A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 +xy = x2 + y2
Có thể đưa ra cách giải sau :
Cách 1 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đó với x 
Thay y = 1 - x vào biểu thức A 
 A = x2 + (1-x)2 = 2(x2 - x) +1 = 2(x - )2 +
Amin = 1/2 khi và chỉ khi (x - 1/2)2 = 0 khi và chỉ khi x = 1/2 , y = 1 -1/2 =1/2
Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A
x + y = 1 suy ra x2 + 2x +y2 = 1 (1)
Mặt khác : (x - y)2 0 suy ra x2 - 2xy + y2 0 (2)
Cộng (1) với (2) ta được 
2(x2 +y2 ) 1 suy ra x2 + y2 1/2
Amin = 1/2 khi và chỉ khi x = y = 1/2
Cách3: Sử dụng điều kiện đã cho để vào một biến mới 
Đặt x = 1/2 +a thì y = 1/2 -a
Biểu thị x2 + y2 theo a , ta được x2 + y2 (1/2+a)2 + (1/2 - a )2 = 1/2 
Amin = 1/2 khi và chỉ khi a = 0 khi và chỉ khi x = y = 1/2
Bài2 : Cho x + y +z = 3
Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2 
Hướng dẫn : Bình phương 2 vế của đẳng thức x + y + z = 3 ta được 
X2 + y2 +z2 +2(xy + yz +zx ) =9 (1)
Tức là A + 2B = 9 
Ta luôn có A B (2)
Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z 
Từ (1) và (2) suy ra 3A A + 2B = 9 , nên A 3
Do đó Amin = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1 
Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của 
Biểu thức A , biết rằng A(A - 1) 2
Biểu thức A = 2 - x -y -z biết rằng (2 - x - y - z)2 = 4 - x2 - y2 -z2 
Hướng dẫn 
Ta dùng phương pháp xét dấu một tích để tìm GTLN , GTNN của A 
Biến đổi : A(A - 1) 2 khi và chỉ k ... ẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất 
Bài tập : Cho hình vuông ABCD . Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất 
Hướng dẫn : Gọi EFGH nội tiếp trong hình vuong ABCD 
Tâm của hai hình vuông này phải trùng nhau tại một điểm 0
Ta có SEFGH = 
Như vậy S nhỏ nhất 0E nhỏ nhất . Gọi K là trung điểm 
của AB , ta có OE OK ( hằng số) ; OE = OK E trùng với K
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E , F ,G ,H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD 
Dạng2: Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu 
 Trong hai đường xiên cùng kẻ từ nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó , đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn 
Bài tập: Cho tam giác ABC . Qua A dựng đường thẳng dcắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từB và C đến d có giá trị nhỏ nhất 
Hướng dẫn :
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC , vẽ BB/ , CC/ vuông góc với d . Với mọi vị trí cảu D trên cạnh BC ta có :
SBAD + SCAD = SABC 
AD.BB/ +AD.CC/ = S BB/ +CC/ =
Do đó BB/ +CC/ nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất
Giả sử AC AB thì trong hai đường xiên AD , AC , đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn , do đó AD AC( hằng số ) ; AD = AC D trùng với C 
Vậy đường thẳng d phải dựng là là đường thẳng chứa lớn nhất trong hai cạnh AB và AC
Bài tập về nhà:
Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD , BIẾT AB = AD =a , BC = CD =b
Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm M nằm giữa B và C . Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếucủa m trên AC , AB . Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất 
Tiết 9-10 
Sữa bài tập (7p)
Gọi 2 HS lên bảng 
HS1 : 1) Có SABCD 	2SABC ab 
MaxSABCD =ab AB BC . Khi đó 
=900 
HS2 : 2) DE =AM AH ( là đường cao của)
Vậy DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất M trùng với H 
Dạng 3: Bất đẳng thức tam giác 
Với 3 điểm A , B ,C bất kỳ , ta có AC + CB AB ; AC + CB = AB C thhuộc đoạn AB 
 Để sử dụng bất dẳng thức tam giác , đi khi ta phải thay đỏi phía của một đoạn thẳng đối với một đường thẳng 
Bài tập: Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC . Hãy dựng môt đường song song với BC , cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất 
 Hướng dẫn :
 Phân tích cách giải : Ta đỏi phía của đoạn thẳng DE đối với đường thẳng AC bằng cách tạo ra một đoạn thẳng D/E/ sao choD/E/ = DE 
E/ trùng với F và D/ cố định . Muốn vậy ta quay D quanh A một góc bằng góc BAC ( trên nữa mặt phẳng không chứa D , có bờ AC , dựng tia Ax sao cho CÂX = BÂD ,trên tia Ax lấy 
D/ sao cho AD/ = AD ) . Như D/ là điểm cố định và D/F = DE ( vì D/AF = DAE theo trường hợp cạnh - góc - cạnh) 
Ta có DF + DE = DF + FD/ DD/ ( hằng số )
Do đó DF + DE nhỏ nhất DF + FD/ nhỏ nhất F là giao điểm của DD/ VÀ AC
Dạng4: Các bất dẳng thức đại số 
Các bất thường được sử dịng là :
Bất đẳng thức về luỹ thừa bậc chẵn :
 x2 0 (1)
 - x2 0 (2)
- Bát đẳng thức Cô si : (x + y )2 4xy hay x + y 2 (3)
với x ,y không âm , xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y 
Chú ý rằng từ bất đẳng thứ 3 , ta còn suy ra với 2 số không âm x , y 
Nếu x + y là hàng số thì xyma x x = y
Nếu xy là hằng số thì (x + y) min x = y
Để sử dụng các bất đẳng thức đại số , thường đặt một độ dài thay đỏi bằng x , biểu thị đại lượng cần tmf cực trị bằng một biểu thức của x rồi tìm kiện để biểu thức có cực trị
Bài tập: Cho hìnhvuông ABCD . Hãy nội tiếp trong hình vuong đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất 
Hướng dẫn :
 Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD , ta có AE = BF = CG = DH . Gọi AB = a , AE = x thì 
EB = FC = DG = HA = a - x 
Cách 1: Gọi diện tích của hình vuông EFGH là S 
Ta có : 
 S = a2 - 4.= 
 = a2 - 2ax +2x2 =
 = 2(x-)2 + 
min S = x = E là trung điểm của AB 
Cách2: 
 SEFGH nhỏ nhất 4SAEH lớn nhất 4. lớn nhất x(a-x) lớn nhất 
Chú ý rằng x và a - x là hai số dương có tổng không đổi ( bằng a) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số ấy bằng nhau . Khi đó 
x = a - x x = E là trung điểm của AB 
Bà2:Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10 cm . Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC ( D thuộc AB , F thuộc AC , E thuộc BC ) . Xác định vị trí của diểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất 
Hướng dẫn :
Gọi AD = x . Kẻ EH AB thì AD = EH = BH = x , DH = 10 -2x 
Ta có :
 SDE F =DE.DF = DE2 =
 = (EH2 = DH2 ) ==
 =(5x2 - 40x +100 ) =(x2 - 8x + 20)=
 =(x - 4)2 +10 10 
 minSDE F = 10 cm2 x = 4 . Do đó AD = 4cm 
 Bài2: Các đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau ở 0 . Tính diện tích nhỏ nhất của tứ gíac ,biết SAOB = 4cm2 , SCOD = 9cm2 
Hướng dẫn giải :
Kí hiẹu ở hình vẽ .ta có :
 (1)
Theo bất đửng thức cô si 
S3 +S4 2
Ta có :
 S = S1 + S2 + S3 + S4 4 +9 +12 = 25 
maxS =25 cm2 khi và chỉ khi :
S3 = S4 SADC = SBCDAB // CD
Bài3: Trong tứ giác có tỏng hai đường chéo bằng s , tứ giác nào có diện tích lớn nhất
Hướng dẫn:
Xét tứ giác ABCD có AC + BD = s . Gọi 0 là giao điểm của hai đường chéo . Ta có 
SABC = AC.BH AC.OB
SADC = AC.DK AC.OD
Suy ra SABCD AC(OB + OD ) = AC.BD (1)
Áp dụng bất đẳng thức xy, Ta có
AC.BD (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra SABCD 
max S = ACBD và AC = BD = 
Bài tập về nhà:
Cho hình vuông cạnh a . Tìm diện tích lớn nhát của các hình thang có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuong và 2 cạnh đáy song song với một dường chéo của hình vuông 
Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Các điểm D , E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB , AC . Gọi H và K theo thứ tự là các hình chiếu của D và E trên BC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH
Tiết 11 - 12 
Goị 2 HS làm bài tâp cho về nhà
HS1 :1)	 Đặt CF = x ,DH = y 
SE FGH = SABNCD - SAEH - SBE F - SCFG - SDGH =
 = a2 -=
 = 
maxSE FGH = HF // AB (khi đó EG //BC )
HS2 : 2) 
Ta có : S = (DH + EK)= (BH + KC)
Ta thấy (BH + KC)= a không đỏi , nên tích (BH + KC) . HK lớn nhất khi và chỉ khi
 BH + KC = KH = . Khi đó diện tích 
DEKH lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
HK = . Có vô số tứ giác như vậy 
*Các chú ý khi giải toán cực trị
Chú ý1:
 Khi giải toán cực trị nhiều khi ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị của đại lương này thanh điều kiện cực trị của đại lượng khác
Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , M là điểm bất kỳ nằm trên cạch BC . Goi E ,F theo thứ tự la hình chiếu của M trên AB , AC . Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất 
Hương dẫn:
Chú ý đến tam giác vuông chung cạnh huyền là AEM , AFM , ta gọi I là trung điểm của AM , ta có IA = IE = IM = IF . Như vậy E F là cạnh đáy của tam giác cân IEF .Dễ tháy , mà góc EA F không đổi . Tam giác cân 
EI F có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ 
nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất . Dó E F nhỏ nhất 
khi và chỉ khi IE nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất . Khi đó M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC 
Chú ý2:Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm . Trong tập hợp các hình có chung mọt tính chất , khi ta cố định một số yếu tố không đổi của hình , các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định viẹc theo dõi vị trí của chúng giúp ta tìm được cực trị của bài toán 
Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và một đường chéo không đổi , hình nào có chu vi nhỏ nhất ?
Hướng dẫn :
 Xét hình bình ABCD có BD cố định . Diện tích hình bình hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi , do đó A chuyển động trên đường thẳng d //BD 
 Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất . Ta đổi phía của BA đối với d bằng cách lấy B/ đối xứng với B qua d . Khi đó B/ cố định 
 BA + AD = B/A + AD B/D (hằng số)
 BA + AD nhỏ nhất B/A + AD nhỏ nhất A là giao điểm của d và đoạn B/D . Khiđó AB = AD . Vì vậy hình bình hànhcó chu vi nhỏ nhất khi nó là hình thoi 
Chú ý3: Khi giải các bài toán cực trị , có khi ta tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) trong từng trường hợp , ròi so sánh các giá trị ấy với nhau để tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất ) của bài toán 
Ví dụ: Cho tam giác ABC . Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất 
Hướng dẫn :
Gọi BB/ , CC/ là khoảng cách từ B và C đến d. Xét trường hợp :
 1) Đường thẳng d cắt cạnh BC tại D 
 BB/ + CC/ BD + CD = BC 
( chú ý góc B hoặc góc C lớn hơn 900 thì dấu bằng không đạt được , nhưng điều đó không ảnh hưởng đến bài toán )
2) Đường thẳng d không cắt cạnh BC . Khi đó d cắt cạnh CE 
với E là điểm đối xứng với B qua A 
Ta có BB/ AB =AE( E là điểm đối xứng với B qua A)
CC/ AC 
Suy ra : BB/ + CC/ AE + AC EC
Bây giờ ta đi so sánh BC và CE 
a) Tường hợp BÂC > 900 . Nếu kẻ CH BE thì H thuộc tia đối của tia AE nên HB > HE , do đó BC > CE . Ta có 
 ma x(BB/ +CC/ ) = BC d BC
b) Trường hợp BÂC HB ,do đó CE > BC . Ta có 
 ma x(BB/ +CC/ ) = CE d CE
c) Tường hợp BÂC = 900 . Ta có BC = CE . Do đó 
 ma x(BB/ +CC/ ) = BC =CE d BC hoặc d CE
III)KẾT LUẬN:
 Trên đây là ý tưởng của bản thân tôi chọn chủ đề này với thời lượng 12 tiết giúp HS khá và giỏi lớp 8 để rèn luyện và giải thành thạo các bài toán tìm GTNN , GTLN với một số dạng cơ bản trong nhiều tình huống đơn giản và phức tạp. Khi áp dụng dạy cho học sinh bản thân tôi thấy rất khả quan có nhiều kết quả tốt , do thời lượng có hạn nên tôi chỉ gói gọn những dạng cơ bản đã nêu trên , giúp cho học sinh phần nào trong các kỳ thi học sinh giỏi đạt kết quả tốt đẹp 
 Trong khi viết không thể tránh những điều sai sót , tôi xin đón nhận và tiếp thu những ý kiến đóng góp quí báu của các thầy cô giáo dạy toán , cũng như các em học sinh yêu toán để cho chủ đề này thêm phong phú hơn về cách giải nhiều thể loại , có thể áp dụng lâu dài trong việc dạy tự chọn bộ môn toán lớp 8
Điện Tiến: Ngày 30-3-2007
 Người viết: Mai Tám
 KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ
 MÔN TOÁN - THỜI GIAN : 45 Phút
 Họ và tên :.....................................................
Lớp : 8/ : 
Điểm
Lời phê:
ĐỀ:
 Bài1: Tìm GTNN của biểu thức
 A = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 
 B = 
BÀI 2: Cho các số dương x, y , z ,t có tổng bằng 2 . Tìm GTNN của 
 C = 
BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , BC = 2a . Một đường thẳng d bất kỳ đi qua a và không cắt cạnh BC . Gọi I và K theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên d , gọi H là trung điểm của BC . Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK
Đáp án :
 Bài 1: (4đ)
 a) Phân tích A = x2 - 2xy +y2 +x2 -2x +1 +2 (0,5)
 (x-y)2 + (x - 1)2 +2 (0,5)
 (x-y)2 + (x - 1)2 +2 (0,5)
 minA = 2 khi và chỉ khi x = y = 1 (0,5)
 b) B = (1đ)
 3/2 (0,5)
 min B = 3/2 khi và chỉ khi x = 4 (0,5)
Bài 2: Biến đổi được 
 4 = 4(x+y+z)t 1(x+y+z)t (0,5)
 x+y+z .t 4(x+y)zt (0,5)
 (0,5)
 minB = 16 khi và chi khi x = y = 1/4 , z = 1/2 , t = 1 (0,5)
Bài 3: Vẽ hình và ghi được giả thiết và kết luận (1đ)
 Chứng minh được tam giác HIK vuông cân tại H (0đ75)
 Gọi HE là đường cao của tam giác HIK (0,5)
 Chứng minh được SHIK = HE2 AH2 . Do đó (0,75)
 Max(SHIK) = a2 khi và chỉ khi E trùng A (0,5) khi và chỉ khi d AH (0,5)