Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Bất đẳng thức - Đồng Đức Lợi

Chuyên đề: Bất đẳng thức
 Phần 1 : các kiến thức cơ bản
 1- Định nghĩa
 2- Tính chất
 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng
 Phần 2: một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức
 1-Phương pháp dùng định nghĩa 
 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương
 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu
 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số
 6- Phương pháp làm trội
 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
 8- Phương pháp đổi biến số
 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
 10- Phương pháp quy nạp
 11- Phương pháp phản chứng
 Phần 3 : các bài tập nâng cao 
 PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên
 -------------------à-------------------------
Phần I : các kiến thức cơ bản
1-Đinhnghĩa
2-tính chất
 + A>B 
 + A>B và B >C 
 + A>B A+C >B + C
 + A>B và C > D A+C > B + D
 + A>B và C > 0 A.C > B.C
 + A>B và C < 0 A.C < B.C
 + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D
 + A > B > 0 A > B
 + A > B A > B với n lẻ
 + > A > B với n chẵn
 + m > n > 0 và A > 1 A >A 
 + m > n > 0 và 0 <A < 1 A < A 
 +A 0 
 3-một số hằng bất đẳng thức
 + A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + An 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + - < A = 
 + ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
 + ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp1: dùng định nghĩa
 Kiến thức : Để chứng minh A > B 
 Ta chứng minh A –B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Giải:
 a) Ta xét hiệu 
 x + y + z- xy – yz - zx
 =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
 =đúng với mọi x;y;z
 Vì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
 (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x + y + z xy+ yz + zx
 Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu
 x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )
 = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
 =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
 Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
 Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu
 x + y + z+3 – 2( x+ y +z )
 = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ;b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu 
 =
 = 
 	=
 Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
 =
 Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh AB tho định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)
 Bước 3:Kết luận A ³ B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
 Chứng minh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
 Giải:
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
 phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý:
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau:
 Ví dụ 1:
 Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
 a) 
 b)
 c)
 Giải:
 a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy 
 Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
 Chứng minh rằng: 
 Giải: 
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y 
Chứng minh 
Giải:
 vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
 1)CM: P(x,y)= 
 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 
 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 (đề thi Lam Sơn 96-97)
 Giải: 
 Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d)
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu 
Dấu bằng xảy ra khi
b/ các ví dụ
 ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001)
 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 
 3)Cho a>0 , b>0, c>0 
 CMR: 
 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y	 
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng
 Giải: 
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
 ví dụ 4: 
 Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có 
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
 Ta có (1)	 Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
 Vậy
 ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
 ví dụ 6: Chứng minh rằng 
	Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
Lưu ý: A>B và b>c thì A>c
 0< x <1 thì x<x
ví dụ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacó 
 (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd
 ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
 Cho a,b,c>0 thỏa mãn 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 
 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
ví dụ 3
 Cho 0 1-a-b-c-d	
 Giải:
 Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nên ab>0
 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta có 
 (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
	=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
	(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a < 1 và 
 Ta có 1-b-+b > 0
 1+ > + b
 mà 0 , > 
Từ (1) và (2) 1+> +
 Vậy + < 1+
 Tương tự +
 +Ê 
 Cộng các bất đẳng thức ta có :
 b)Chứng minh rằng : Nếu thì ỗac+bd ờ=1998
 (Chuyên Anh –98 – 99)
 Giải:
Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
 rỏ ràng (ac+bd)2 
 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1
 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (
Phương pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì 
 b – Nếu thì 
 2)Nếu b,d >0 thì từ 
`
 ví dụ 1 :
 Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
	 < < (3)
 Tương tự ta có 
 	 (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
ví dụ 2 :
 Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : 
 vì a+b = c+d 
a, Nếu :b thì 999
b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 6: Phương pháplàm trội
Lưu ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
 P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
 = 
 Khi đó P = 
 Ví dụ 1 :
 Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó:
 Ví dụ 2 :
 Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyên
 Giải :
Ta có 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 Ví dụ 3 :
 Chứng minh rằng 
 Giải:
 Ta có 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
Phương pháp 7:
 Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 ị 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ2: (404 – 1001)
 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng 
 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 Chứng minh rằng 
 Phương pháp 8: đổi biến số
Ví dụ1: 
 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 Ví dụ2: 
 Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1
Chứng minh rằng 
 (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có
 3. 
	3. .
 Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
Ví dụ3: 
 Cho x , y thỏa mãn CMR 
 Gợi ý:
Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tính S min
 Bài tập
 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR
Phương pháp 9: dùng tam thức bậc hai
Lưu ý :
 Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
Ví dụ1:
 Chứng minh rằng 
 (1)
 Giải:
 Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, y
Ví dụ2:
 Chứng minh rằng
Giải:
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 Ta có 
 Vì a = vậy (đpcm)
 Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học
Kiến thức:
 Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay ... +bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 Ví dụ 2:
 Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai	
Ví dụ 3:
 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải :
 Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
 	=x + y + z – () vì xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > 
 nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
 Phần iii : các bài tập nâng cao
1/dùng định nghĩa 
 1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
Giải
Ta có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac 
 = b2+c2- ab- bc – ac
 = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc
 =(-b- c)2 +
 =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng 
 a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta có 
 c) 
 Giải :
 a) Xét hiệu 
 H = 
 = 
 H0 ta có điều phải chứng minh
 b) Vế trái có thể viết 
 H = 
 H > 0 ta có điều phải chứng minh
 c) vế trái có thể viết
 H = 
 H 0 ta có điều phải chứng minh
Ii / Dùng biến đổi tương đương
 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Ta có (vì xy = 1)
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Ta có 
BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
Iii / dùng bất đẳng thức phụ
 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
 Chứng minh rằng 
 Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 2) Cho a,b,c là các số dương 
 Chứng minh rằng (1)
 Giải :
 (1) 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm)
Iv / dùng phương pháp bắc cầu
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 Giải :
 Do a <1 <1 và b <1
 Nên 
 Hay (1)
 Mặt khác 0 <a,b <1 ; 
 Vậy 
 Tương tự ta có 
 (đpcm)
 2) So sánh 31 và 17
 Giải :
 Ta thấy < 
 Mặt khác 
 Vởy 31 < 17 (đpcm)
 V/ dùng tính chất tỉ số
 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :
 Giải :
 Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
 (1)
 (2)
 (3)
 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
 Chứng minh rằng 
 Giải :
 Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) 
 Mặt khác 
 Vậy ta có Tương tự ta có 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 V/ phương pháp làm trội :
 1) Chứng minh BĐT sau :
 a) 
 b) 
 Giải : 
 a) Ta có 
Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có
 (đpcm)
 b) Ta có
 < (đpcm)
 Phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức
 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
 Lưu ý
 - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
 - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
 Ví dụ 1 :
 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
 Giải :
 Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và 	(2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
 Ví dụ 2 :
 Tìm giá trị lớn nhất của 
 S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
 Giải : 
 Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
 x+ y + z 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
 Vậy S 
 Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
 Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 Giải : 
 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 Ta có 
 (1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
 Ví dụ 4 :
 Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất
 Giải : 
 Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a
 Đường cao thuộc cạnh huyền là h
 Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y
 Ta có S =
 Vì a không đổi mà x+y = 2a
 Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất 
 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 
 Ii/ dùng b.đ.t để giải phương trình và hệ phương trình
 Ví dụ 1 :
 Giải phương trình sau 
 Giải :
 Ta có 
 Vậy 
 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 Vậy khi x = -1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
 Ví dụ 2 :
 Giải phương trình 
 Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1
 Mặt khác 
 Dấu (=) xảy ra khi y = -
 Vậy khi x =1 và y =-
 Vậy nghiệm của phương trình là 
 Ví dụ 3 :
 Giải hệ phương trình sau:
 Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có 
Vì x+y+z = 1)
 Nên 
 Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
 Vậy có nghiệm x = y = z =
 Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau
 Từ phương trình (1) hay 
 Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 2
 Nếu x = - thì y = -2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
 Iii/ dùng B.Đ.t để giải phương trình nghiệm nguyên
 1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
 Giải :
 Vì x,y,z là các số nguyên nên
 (*)
 Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
 Ví dụ 2: 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
 Giải :
 Không mất tính tổng quát ta giả sử 
 Ta có 
 Mà z nguyên dương vậy z = 1
Thay z = 1 vào phương trình ta được 
 Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương
 Nên y = 1 hoặc y = 2
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có x = 2
 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình
 Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình
 là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)
 Ví dụ 3 :
 Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình 
 (*)
 Giải :
 (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa
 (*) Với x > 0 , y > 0 
 Ta có 
 Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương )
 Ta có 
 Nhưng 
 Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả
 Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
I. BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thỡ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta cú: 
 (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: 
Bài 4) CM bất đẳng thức:
Bài 5) Cho a, b, c là cỏc số dương cm bất đẳng thức: 
Bài 6) CM với mọi n nguyờn dương thỡ:
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa món: a + b + c = -2 (1) 
 a2 + b2 + c2 = 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biễu diễn trờn trục số.
Bài 9) Cho a, b, c thỏa món hệ thức 2a + 3b = 5. 
CMR: 2a2 + 3b2 5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa món điều kiện: a + 4b = 1. 
CM: a2 + 4b2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
Bài 11) Chứng minh: 	(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
	a) (ax + by)2 
	b) 
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: 
Bài 14) Cho . 
CMR: S khụng là số tự nhiờn.
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: . Dấu bằng xảy ra khi nào?
 b) Tam giỏc ABC cú chu vi . 
Cm: 
Dấu bằng xảy ra khi tam giỏc ABC cú đặc điểm gỡ?
Bài 16) a) CM x > 1 ta cú: 
 b) Cho a > 1, b > 1. Tỡm GTNN của: 
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
 CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thỡ .
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ:
 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là a, b, c và cú chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa món điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b 10.
Bài 22) Cho a, b là cỏc số thực thỏa món điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 
CMR: . 
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa món ab = 1. Ta cú BĐT: 
Bài 24) CMR nếu:
	a) thỡ 
	b) a + b thỡ 
Bài 25) Cho biểu thức 
CMR: với .
Bài 26) a) Cho a, b, k là cỏc số dương và 
 b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc thỡ: 
< 2.
Bài 27) Cho cỏc số dương a, b thỏa món điều kiện a + b = 1.
	Chứng minh rằng: 
	(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đõy đỳng với mọi x, y là cỏc số thực bất kỳ khỏc 0:
	( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
 II. CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa món điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức 	A = x + y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tỡm GTNN của P = 
Bài 3) Cho P = . Tỡm GTNN, GTLN của P và cỏc giỏ trị tương ứng của x.
Bài 4) Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 
Bài 5)	 Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Bài 6)	 Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
Bài 7)	 Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức P = 
Bài 8) Tỡm GTLN của A = x + 
Bài 9)	 Tỡm GTLN của P = với x, y, z > 0.
Bài 10) Tỡm GTLN của P = 
Bài 11) Cho M = 
Tỡm điều kiện của a để M được xỏc định.
Tỡm GTNN của M và giỏ trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa món:
	. Tỡm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tỡm GTNN của P = 
Bài 14) Cho x, y thỏa món x2 + 4y2 = 25. Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức
	P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa món: x + 2y = 3. 
	Tỡm GTNN của E = x2 + 2y2.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa món: x + y 1. Tỡm GTNN của biểu thức 
	P = + + 4xy
Bài 17) Tỡm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ.
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa món: x + y 1. Tỡm GTNN của biểu thức
	A = 
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN của biểu thức P = 
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tỡm GTNN của biểu thức P = 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa món: x2 + y2 = 4.
	Tỡm GTNN của biểu thức P = 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c cú a + b + c = 1. Tỡm GTNN của biểu thức:
	E = 
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ cú tổng bằng 1. Tỡm GTNN của:
	P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
	Tỡm GTNN của P = 
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa món xy = 2. Tỡm GTNN của P = 
Bài 27) Cho hai số dương x, y cú x + y = 1. Tỡm GTNN của
	P = 8(x4 + y4) + 
Bài 28) Cho x, y liờn hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
	Tỡm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tỡm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y biết + = 1
Bài 30) Tỡm GTNN của biểu thức P = 
 -------------------------------------------------------