Giáo án môn Toán Lớp 8 - Chương I: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
A. LÝ THUYẾT: 
1. Bình phương của một tổng:  2 2 22A B A AB B    
2. Bình phương của một hiệu:  2 2 22A B A AB B    
3. Hiệu hai bình phương:   2 2A B A B A B    
4. Lập phương của một tổng:  3 3 2 2 33 3A B A A B AB B     
5. Lập phương của một hiệu:  3 3 2 2 33 3A B A A B AB B     
6. Tổng hai lập phương:   3 3 2 2A B A B A AB B     
7. Hiệu hai lập phương:   3 3 2 2A B A B A AB B     
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi 
biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, 
1. Tổng hai bình phương:  22 2 2A B A B AB    
2. Tổng hai lập phương:    33 3 3A B A B AB A B     
3. Bình phương của tổng 3 số hạng: 
   2 2 2 2 2A B C A B C AB BC CA        
4. Lập phương của tổng 3 số hạng: 
     3 3 3 3 3A B C A B C A B B C C A         
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: 
Dạng 1: Biến đổi biểu thức 
Phương pháp: 
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức. 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
a)  23 2x y  b)  2x xy  c) 2 24x y d)    2 22x y y   
Giải 
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
        2 2 2 2 23 2 3 2 3 2 2 9 12 4x y x x y y x xy y          
b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
        2 2 2 2 2 2 22 2x xy x x xy xy x x y x y          
c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
    22 2 24 2 2 2x y x y x y x y      
d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
             2 22 2 2x y y x y y x y y          
  2 2 2x y x    
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
a)      2 2 2 2x y x xy y x y x xy y        
b) 3 22 6 6 2x x x   
c) 3 26 12 8x x x   
d)    3 32x y x y   
Giải 
a) Áp dụng bất đẳng thức ta được: 
     2 2 2 2x y x xy y x y x xy y        
  3 3 2 2 3 3 3 3 32x y x y x xy y x y x y x           
b) Ta có:  3 2 3 22 6 6 2 2 3 3 1x x x x x x       . 
Áp dụng bất đẳng thức ta được:    33 22 3 3 1 2 1x x x x     . 
c) Ta có: 3 2 3 2 2 36 12 8 3.2 3.2 . 2x x x x x x       
Áp dụng bất đẳng thức ta được:  33 2 2 33.2. 3.2 .. 2 2x x x x     
d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:    3 32x y x y   
      2 33 2 2 3 3 23 3 3. 2 3. . 2 2x x y xy y x x y x y y        
3 2 2 3 3 2 2 33 3 6 12 8x x y xy y x x y xy y        
2 2 39 9 9x y xy y   
Bài 3: Rút gọn biểu thức: 
a)   a b c d a b c d      
b)   2 3 2 3x y z x y z    
c)     2 21 1 1 1x x x x x x      
d)    3 3x y x y   
e)       2 22 23 1 3 1 2 3 1 3 1x x x x x x        
Giải 
a)   a b c d a b c d      
           2 2.a b c d a b c d a b c d                 
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a ab b c cd d a b c d ab cd            
b)       2 3 2 3 3 2 . 3 2x y z x y z x z y x z y               
   2 2 2 2 22 2 6 9 4x z y x xz z y       
c)        2 2 3 3 61 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x           
d)    3 3x y x y   
   3 2 2 3 3 2 2 33 3 3 3x x y xy y x x y xy y        
3 2 2 3 3 2 2 33 3 3 3x x y xy y x x y xy y        
 2 3 2 26 2 2 3x y y y x y    
e)       2 22 23 1 3 1 2 3 1 3 1x x x x x x        
       2 2 22 2 23 1 3 1 3 1 3 1 2x x x x x x x              
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức 
Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau: 
- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần 
tính giá trị. 
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức 
có liên quan đến giá trị đề bài đã cho. 
- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị. 
Bài 1: Cho 1x y  . Tính giá trị biểu thức sau: 3 33A x xy y   
Giải 
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được: 
  3 3 2 23 3A x y xy x y x xy y xy        
    2 3 3x y x y xy xy     
Theo bài ra 1x y  , thay vào A ta được: 
      2 23 3 1. 1 3 3 1 3 3 1A x y x y xy xy xy xy xy xy            
Vậy 1A  . 
Bài 2: Cho 4x y  và 5xy  . Tính  23 3B x y x y    
Giải. 
Áp dụng hằng đẳng thức, ta được: 
      2 23 3 2 2B x y x y x y x xy y x y          
      2 23x y x y xy x y      
Theo bài ra 4x y  , 5xy  thay vào B ta được: 
        2 2 23 4 4 3.5 16 140B x y x y xy x y          
Vậy 140B  
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 
a) 2 39 48 64 5x x x   tại 2x  b) 3 29 27 27x x x   tại 4x   
c) 
3
2
1
1
x
x


 tại 6x  d) 
 
2 2
23
2 1 1
1 1
x x x
x x
  
 
 tại 3x  
Giải 
a) Ta có:  22 3 39 48 64 5 3 8 5x x x x x      
Thay 2x  vào ta được:  2 33.2 8 5.2 36    
b) Ta có  33 29 27 27 3x x x x     
Thay 4x   vào ta được:    3 3 33 4 3 7 343x        
c) Ta có: 
  
  
23 2
2
1 11 1
1 1 1 1
x x xx x x
x x x x
     
   
Thay 6x  vào ta được: 
2 21 6 6 1 43
1 6 1 7
x x
x
    
 
d) Ta có: 
 
2 2
23
2 1 1
1 1
x x x
x x
  
 
 
  
  
 
2
2 22
1 1 1 1 1
1 11 1 1
x x x x x
x x xx x x x
       
     
Thay 3x  vào ta được: 2
3 1 3 1 2 282
3 3 1 3 1 13 13
    
  
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Phương pháp: 
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức  A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: 
 2m Q x m  (với m là hằng số)  GTLN của  A x m . 
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức  A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng 
 2Q x n n  (với n là hằng số)  GTNN của  A x n . 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
a) 2 2 5A x x    b) 29 3 4B x x   
Giải 
a) Ta có:  22 22 5 2 1 6 6 1 6A x x x x x             
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi 1 0 1x x     . 
b) Ta có: 
2
2 29 3 27 43 3 439 3 4 3 2. . 4 3
4 2 4 4 2 4
B x x x x x                     
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 43
4
 khi 3 30
2 2
x x    . 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a) 28 8 14A x x   b) 2 2B x x   
Giải 
a) Ta có:  2 28 8 14 2 4 4 1 12A x x x x       
 22 2 1 12 12x    
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi 12 1 0
2
x x    . 
b) Ta có: 
2
2 2 1 1 1 1 7 72 2. . 2
2 4 4 2 4 4
B x x x x x              
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 7
4
 khi 1 10
2 2
x x     . 
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a)  22 1A x x   b) 4 3 22 2 2 1B x x x x     
Giải 
a) Ta có: 
2
2 2 1 1 3 1 3 31 2. .
2 4 4 2 4 4
x x x x x            
Do 2 1x x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3
4
. 
Giá trị nhỏ nhất của 
23
4
A     
 khi và chỉ khi 1 10
2 2
x x    . 
b) Ta có: 4 3 2 4 3 2 22 2 2 1 2 2 1B x x x x x x x x x           
       2 22 2 2 22 1 2 1 1 1 0x x x x x x x x           
Mặt khác: 
2 00
0 111 0
11 0
xx
B xxx
xx
    
        
    
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0B  khi và chỉ khi 1x  . 
Bài 4: Chứng minh rằng 2 4 10x x  luôn dương với mọi x 
Giải 
Ta có:  22 24 10 2.2. 4 6 2 6x x x x x         
Ta thấy    2 22 0 2 6x x     luôn dương với mọi x . 
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP 
1. Tìm hệ số 2x của đa thức sau khi khai triển : 
       2 2 3 3) 2 2 3 3 1a A x x x x        
       2 2 2 3) 2 1 2 3 3 1b B x x x x        
Giải 
2 2 3 2 3 2) 4 4 4 4 9 27 27 27 27 9 1a A x x x x x x x x x x              
3 228 38 36 36x x x    
Vậy hệ số của 2x là 38. 
2 2 3 2 3 2) 4 4 1 4 4 9 27 27 27 27 9 1b B x x x x x x x x x x              
3 228 31 28 23x x x    
Vậy hệ số của 2x là -31. 
2. Tính giá trị biểu thức 
2) 0, 2 0,01a A x x   tại 0,9x  . 
3 2) 3 3 2b B x x x    tại 19x  . 
4 3 2) 2 3 2 2c C x x x x     tại 2 8x x  
Giải 
a ) Ta có : 
2 0, 2 0,01A x x   
 22 0, 2 0,1x x   
 20,1x  
Với  20,9 0,9 0,1 1x A     
b) Ta có: 
3 23 3 2B x x x    
 33 23 3 1 1 1 1x x x x        
Với 19x  thì  319 1 1 8000 1 8001B       
c) Ta có : 
4 3 22 3 2 2C x x x x     
4 3 2 22 2 2 2x x x x x      
   22 22. 1 1x x x x      
 22 1 1x x    
Với  22 8 8 1 1 81 1 82x x C         . 
3. Tính hợp lý : 
2 2
2 2
356 144)
256 244
a A 

 2 2) 253 94.253 47b B    
2 2) 163 92.136 46c C       2 2 2 2 2 2) 100 98 ... 2 99 97 ... 1d D         
Giải 
  
  
2 2
2 2
356 144 356 144356 144 500.212 53)
256 244 256 244 500.12 3256 244
a A
    
 
 22 2 2 2 2) 253 94.253 47 253 2.47.253 47 253 47 300 90000b B           
 22 2 2 2 2) 136 92.136 46 136 2.46.136 46 136 46 90 8100c C           
   2 2 2 2 2 2) 100 98 ... 2 99 97 ... 1d D         
     2 2 2 2 2 2100 99 98 97 ... 2 1       
        100 99 100 99 98 97 98 97 ... 2 1 2 1          
     1. 100 99 1. 98 97 ... 1. 2 1       
     100 99 ... 1 100 1 99 2 ... 51 50           
101 101 ... 101 101.50 5050      
4. Tính giá trị biểu thức : 
 
  
 2 22
33
2019 2020 20212021 2020 2019
.
2020 12020 1 2020 1
A


 
Giải 
 
  
 2 2 2
32 3
2021 2020 2019 2019 2020 2021
.
2020 12020 1 2020 1
A
 

 
 
     
 
  
2 2 2 2
2 2
2021 2020 2020 1 2019 2020 2020 1
.
2020 1 2020 1 2020 1 2020 2020 1 2020 1 2020 2020 1
   

       
1 .2019 1
2019
  
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 2) 5 5 8 2 2 2020a A x y xy y x      2 2 2) 5 4 2 1b M x y z x xy z       
Giải 
a) Ta có : 
2 2 2 24 8 4 2 1 2 1 2018A x xy y x x y y          
     2 2 24 1 1 2018 2018x y x y        
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2018A  tại 1; 1x y   
2 2 2 2 1 1) 2 4 4 1 2
4 4
c M x xy y x x z z          
   
2
2 2 1 1 12 1 2. 2
2 4 2
x y x z           
Dấu bằng xảy ra khi 
0
12 1 0
2
1 0
2
x y
x x y z
z

  
      

  
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 12
4
 khi 1
4
x y z   
6. Tìm x, biết : 
 ...   ) 
2 1;
3 2
x y    
11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn: 
2 2) 4 4 4 10 0a x y x y     2 2)3 10 2 29 0b x y x xy     
2 2)4 2 2 4 5 0c x y y xy     
Giải 
2 2) 4 4 4 10 0    a x y x y 
2 24 4 4 4 1 5 0x x y y        
   2 22 2 1 5 0x y      
Mà    2 22 2 1 5 5 0x y      
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 
2 2)3 10 2 29 0b x y x xy     
2 2 22 2 10 29 0x xy y x x       
   2 22 2,5 16,5 0x y x      
Mà    2 22 2,5 16,5 16,5 0x y x      
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 
2 2)4 2 2 4 5 0c x y y xy     
   2 2 24 4 2 1 4 0x xy y y y        
   2 22 1 4 0x y y      
Mà    2 22 1 4 4 0x y y      
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 
12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
2) 15 8a A x x   2) 4 2b B x x   2 2) 4 4 2c C x y x y     
Giải 
a) Ta có :    22 215 8 31 16 8 31 4 31A x x x x x           
Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi 4x   
b) Ta có    226 4 4 6 2 6B x x x        
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi 2x  
c) Ta có :        2 22 210 4 4 4 4 10 2 2 10C x x y y x y             
Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi 2; 2x y   
13. Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện 2 23; 17x y x y    . Tính giá trị biểu thức 
3 3x y . 
Giải 
Ta có: 
 2 2 2 2 17 2 9x y x y xy xy       
9 17 4
2
xy     
     33 3 3 27 3. 4 .3 63x y x y xy x y         
14. Cho  1x y a b   và  3 3 3 3 2x y a b   Chứng minh rằng : 2 2 2 2x y a b   
Giải 
Ta có hằng đẳng thức :    3 3 3 3x y x y xy x y     (1) 
   3 3 3 3a b a b ab a b     (2) 
Kết hợp với (1) và (2) suy ra xy ab (3) 
Mặt khác, từ (1) suy ra    2 2 2 2 2 22 2x y a b x y xy a b ab         
Kết hợp với (3) suy ra : 2 2 2 2x y a b   
15. Cho 2a b c p   . Chứng minh rằng: 
 2 2 2)2 4a bc b c a p p a          2 2 2 2 2 2 2)b p a p b p c a b c p         
Giải 
a) Ta có:  22 2 2 22bc b c a b c a      
      2 2 4b c a b c a p p a p p a         
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh 
b) Ta có :      2 2 2p a p b p c     
2 2 2 2 2 22 2 2p ap a p pb b p pc c         
 2 2 2 23 2p p a b c a b c       
2 2 2 2 2 2 2 23 2 .2p p p a b c a b c p         
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh 
16. Cho 
2020 ch÷ sè 9
99...9A .Hãy so sánh tổng các chữ số của 2A với tổng các chữ số của A. 
Giải 
Ta có : 

2020 ch÷ sè 9
99...9A 202010 1  nên  22 202010 1A   
4040 2020
2019 2019
10 2.10 1 99...9800...01    
Tổng các chữ số của 2A là : 9 2019 8 1 18180    
Tổng các chữ số của A là : 9 2020 18180  
Vậy tổng các chữ số của 2A và tổng các chữ số của A bằng nhau. 
17. Chứng minh rằng: 
Nếu            2 2 2 2 2 22 2 2a b b c c a a b c b c a c a b              thì a b c  . 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Giải 
           2 2 2 2 2 22 2 2 0(*)a b c a b b c a b c c a b c a               
Áp dụng hằng đẳng thức :   2 2x y x y x y    ta có : 
         2 22 2 2 2 2 4a b c a b a c b c a c b c          
         2 22 2 2 2 2 4         b c a b c b a c a b a c a 
         2 22 2 2 2 2 4c a b c a c b a b c b a b          
Kết hợp với (*) ta có : 
        4 4 4 0a c b c b a c a c b a b         
         0a c b c b a c a c b a b          
2 2 2 0ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b             
2 2 2 0a b c ab bc ac       
2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac       
2 2 2 2 2 22 2 2 0a ab b b bc c c ca a          
     2 2 2 0a b b c c a       
0
0
0
a b
b c a b c
c a
 
     
  
18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng 4 4nn  là hợp số 
(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) 
Giải 
- Với n là số chẵn  2   n k k N thì 4 4 24 16 4 4n kn k    nên 4 4nn  là hợp số 
- Với n là số lẻ. Đặt  *2 1 , 1   n k k N k thì ta có: 
4 4 2 2 14 2. .2 4 .2n n n nn n n n      
    22 2 2 2 22 .2 2 2 . 2 2 .n k n k n kn n n n n n        
Ta có: 
 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 . 2 . 2 2 2 2 2 2n k k k n k k k kn n n n n               
 21 2 22 2 1k kn      
mà 2 22 2 . 2 2 .n k n kn n n n     suy ra 4 4nn  là hợp số 
Vậy 4 4nn  là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1. 
19. 
a) Cho 2a b  .Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2A a b  
b) Cho 2 8x y  .Tìm giá trị lớn nhất của B xy 
Giải 
a) Ta có:      2 2 2 22a b a b a b     
 24 2a b A    
4 2 2A A    
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 1a b  
b) Từ 2 8 8 2x y x y     suy ra 
  2 28 2 8 2 8 8 8 2B y y y y y y        
 28 2 2 8B y    
Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi 2; 4y x  
20. Tìm giá trị nhỏ nhất của  2 23A x y  biết 2 2 12x y xy   
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) 
Giải 
Từ giả thiết, ta có    2 23 12 6 2 24x y xy xy x y       
Ta có : 
         2 2 2 22 23 3 6 3 2 24 24A x y x y xy x y x y x y             
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi 
2 2
0 ;
2 2
x x
x y
y y
          
21. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:      3 3 3 2010a b b c c a      .Tính giá trị của 
biểu thức A a b b c c a      
Giải 
Đặt  ; ; 0a b x b c y c a z x y z z x y              
Ta có :    33 3 3 3 3210 210 3 210x y z x y x y xy x y            
70xyz  . Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và   70 2 5 .7xyz     
nên  , , 2; 5;7 14x y z A a b b c c a           
22. Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn 2 2 2020x y  
Giải 
Từ 2 2 2020x y  suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ 
TH1: Nếu x; y cùng chẵn. Đặt 2 ; 2x m y n  
2 2 2 24 4 2018 2 2 1009m n m n     
Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ. Vô lí 
TH2: Xét x; y cùng lẻ. Đặt 2 1; 2 1x k y q    
Ta có :    2 2 2 22 1 2 1 2018 4 4 4 4 2018m n m m n n         
Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí 
Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn 2 2 2020x y  . 
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
CẦN NHỚ 
1)  2 2 22A B A AB B    
2)  2 2 22A B A AB B    
3)   2 2A B A B A B    
4)  3 3 2 2 33 3A B A A B AB B     
5)  3 3 2 2 33 3A B A A B AB B     
6)   3 3 2 2A B A B A AB B     
7)   3 3 2 2A B A B A AB B     
BÀI TỰ LUYỆN 
1. Khai triển các biểu thức sau: 
a) 
3
1 3
2
x
     
 ; b)  322 3x y 
2.Tính giá trị của mỗi biểu thức sau tại giá trị chỉ ra: 
a) 3 212 48 64x x x   tại 6x  ; 
b) 3 26 12 8x x x   tại 22x  . 
3. Rút gọn các biểu thức sau: 
a)     2 33 3 9 54x x x x     ; 
b)      2 2 2 22 4 2 2 4 2x y x xy y x y x xy y       . 
4.Tính nhanh giá trị các biểu thức sau: 
a) 2 234 66 68.66  ; 
b) 2 274 24 48.74  . 
5. So sánh các cặp số sau: 
a) 2008.2010A  với 22009B  ; 
b)      2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1A      với 322B  . 
6.Tìm x, biết: 
a) 2 216 (4 5) 15x x   b) 2(2 3) 4( 1)( 1) 49x x x     
c) 2(2 1)(1 2 ) (1 2 ) 18x x x     d) 2 22( 1) ( 3)( 3) ( 4) 0x x x x       
e) 2( 5) ( 4) 9x x x    f) 2( 5) ( 4)(1 ) 0x x x     
7. Chứng minh đẳng thức    2 2 – 4a b a b ab   
8. Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 2 – 2 5A x x  b) 2 – 1B x x  
c)     – 1 2 3 6C x x x x    d) 2 25 – 2 4 3D x y xy y    
9. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a) 2 – – 4 – 2A x x b) 2 –2 – 3 5B x x  
c)   2 – 4C x x  d) 2 2–8 4 – 3D x xy y   
10. Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến. 
a) 225 – 20 7A x x  b) 2 29 – 6 2 1B x xy y   
c) 2 2– 2 4 6E x x y y    d) 2D – 2 2x x  
11. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. 
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
1. 
a) Ta có: 
3 3 2
2 3 3 21 1 1 1 1 9 273 3. .3 3. .3 3 27
2 2 2 2 8 4 2
x x x x x x x
                                              
. 
b) Ta có:          3 3 2 2 32 2 2 22 3 2 3. 2 .3 3.2 . 3 3x y x x y x y y     
6 4 2 2 38 36 54 27x x y x y y    . 
2. 
a) Ta có:  33 2 3 2 2 312 48 64 3. .4 3. .4 4 4x x x x x x x         . 
Thay 6x  vào biểu thức cuối ta được kết quả là 1000. 
b) Ta có:  33 2 3 2 2 36 12 8 3. .2 3. .2 2 2x x x x x x x         . 
Thay 22x  vào biểu thức cuối ta được kết quả là 8000. 
3. 
a) Ta có:         2 3 3 3 3 3 33 3 9 54 3 54 27 54 27x x x x x x x x              . 
b) Ta có:      2 2 2 22 4 2 2 4 2x y x xy y x y x xy y       
       3 3 3 33 3 3 3 32 2 2 2 2x y x y x y x y y            . 
4. 
a) Ta có:  22 2 2 2 234 66 68.66 34 2.34.66 66 34 66 100 10000         . 
b) Ta có:  22 2 2 2 274 24 48.74 74 2.24.74 24 74 24 50 2500         . 
5. 
a) Ta có:    22008.2010 2009 1 2009 1 2009 1A       . 
Vậy A B . 
b) Ta có:         2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1A A         
     2 2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1      
        4 4 8 16 8 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1         
  16 16 322 1 2 1 2 1     . 
Vậy A B . 
6. 
a) 1x  ; b) 3x  ; c) 4x   ; 
d) 5
12
x  e) 8
3
x  f) 21
5
x  
7. Biến đổi VP = VT hoặc ngược lại. 
8. a)  21 4 4A x    b)
2
1 3 3
2 4 4
B x
        
c)     22 2 25 6 5 6 5 36 36C x x x x x x         
d)    2 22 1 2 2D x y y      
9. a)  2 2 – 2 2A x   b) 
2
49 3 492
8 4 8
B x
        
c)  29 1C x   d)  2 23 2 4 3D x y x     
10.a)  25 2 3 3 0A x     b)  2 23 1 1 0B x y y      
c)    2 21 2 1 1 0E x y       d)  2D 1 1 1 0x     
11. Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là 2;x  1x  ; ;x 1x  ( ; 2x x  ) 
Ta có:             2 22 1 1 2 1 1 2A x x x x x x x x x x x x            
đặt 2x x t  khi đó    221 2 1 2 1 1A t t t t t         
 221 1A x x    . Vậy 1A là một số chính phương. 
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========