Giáo án Bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Tiết 1 đến 12 - Bạch Ngọc Dũng

 Tuần 3:
 Tiết : 1+2+3
 ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 A. MỤC TIÊU: Ôn tập
 +Hằng đẳng thức.
 +Phân tích đa thức thành nhân tử.
 +Rút gọn biểu thức.
 +Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 B. TIẾN TRÌNH:
Bài 1: So sánh các cặp số sau:
 1. A= 1999. 2001 và B= 20002
 2. C=3n+1 +4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D = (2n+1)2+(2n-1)2 -2(4n+1)
 ( Với n nguyên dương.)
 Giải
 1. A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=20002-1<20002
 A<B
 2. C=3n+1+ 22. 2n-1- 34. 3n-3 - 23. 2n-2 +1
 C=3n+1+ 2n+1 - 3n+1 - 2n+1 + 1 = 1
 D=(2n)2 +2.2n + 1 +(2n)2 - 2.2n + 1 - 2.(22)n - 2 
 =22n + 2n+1 + 1 + 22n - 2n+1 + 1 -2.22n - 2
 = 2.22 n - 2.22n = 0
 C > D
 Bài 2:Chứng minh rằng:
 1. a2+b2+c2 = ab+ac+bc a = b = c
 2. (5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=(3x-5y)2 x2=y2+z2
 Giải
 1.a2+b2+c2=ab+ac+bc
 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
 a-b = 0
 b-c = 0
 c-a = 0
 a = b = c
2.(5x-3y+4z)(5x-3y-4z) = (3x-5y)2
 (5x-3y)2 - 16z2 = (3x-5y)2
 (5x-3y)2 - (3x-5y)2 = 16z2
 (8x-8y)(2x+2y) = 16z2
 16(x2 - y2) = 16z2
 x2 = y2+z2
 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 1. A = x2+5y2- 2xy+4y+3
 2. B = (x2-2x) (x2-2x+2)
 Giải
 1. A= x2 - 2xy + y2 + 4y2 + 4y + 1 + 2
 = (x-y)2 + (2y+1)2 + 2
 Vì (x-y)2 0, (2y+1)2 0 với mọi x, y
A2. Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y
 2y+1=0 y= 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 x = y = 
 2. B = (x2-2x)(x2-2x + 2)
 Đặt t = x2 - 2x B = t(t +2) = (t+1)2 -1-1
 Đẳng thức xảy ra t+1 =0 x2 -2x +1 = 0(x-1)2 = 0
 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1x = 1
	*******************************
Tiết 4 +5 + 6
 Bài 4 Giải phương trình:
 5x2 +5y2 +8xy -2x + 2y +2 =0
 Giải
 5x2 +5y2 +8xy -2x +2y +2 =0
 4x2 +8xy +4y2 +x2 -2x +1+y2+2y +1=0
 4(x+y)2+(x-1)2 +(y+1)2 = 0
 x+y =0 x = 1
 x-1=0 
 y+1=0 y=-1
 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
 a) -x4 + 2x3 -2x2 + 2x -1
 b) -2x2- y2 + 2xy + 4x - 40
 Giải
 a) -x4 +2x3 -2x2 +2x -1 = -x4 + 2x3 -x2 -x2 + 2x - 1
 = -x2(x2-2x +1) - (x2-2x +1) = -(x-1)2 (x2+1)
 Vì x2 +1>0,(x -1)20 với mọi x
 -(x-1)2 (x2 +1) 0 với mọi x
 Đẳng thức xảy ra (x-1)2=0 x=1
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 0 khi x=1
 b) -2x2- y2 + 2xy + 4x - 40 = -x2 + 2xy - y2- x2 + 4x- 4 - 36
 =-(x-y)2- (x-2)2 - 36 = -36 -(x-y)2 - (x-2)2 -36
 Đẳng thức xảy ra x=y=2
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thứclà -36 khi x=y=2
 Bài 6: Cho x2=a2+b2 +ab và a+b=c. Chứng minh rằng:
 2x4 =a4+b4+c4
 Giải
 Ta có: x2 =a2+b2+ab
 x4=a4 +b4 +a2b2 +2a2b2+2a3b+2ab3
 x4 =a4+b4+a2b2 +2ab(a2+b2+ab)
 =a4+b4+a2b2+2abx2 (1)
 Mà c=a+b c2=a2+2ab+b2 c2=x2 +ab
c4=x4 +2abx2+a2b2 (2)
Từ (1) và (2)2x4=x4+a4 +b4+2abx2+a2b2
2x4=a4+b4+c4 (đpcm).
 Bài 7: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x2+y = y2+x
 Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = 
 Giải
 Ta có: x2+y = y2+x x2-y2+y-x = 0 
 (x-y)[(x+y)-1] = 0
 Vì xy nên x+y-1 = 0x+y = 1
 Từ đó ta có: A = = = = -1
 Vậy A= -1
Bài 8: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử:
 a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
 b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
 Giải
 a) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
 =(x - y + y - z)[(x - y)2 -(x - y)(y - z) + (y - z)2] + (z - x)3
 =(x - z)[(x - y)2 - (x - y)(y - z) + (y - z)2 - (z - x)2]
 =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
 =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
 =3(x - z)(x - y)(z - y)
 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = x(y2 - x2 + x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = x(y2 - x2) + x(x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = (x2 - y2)(z - x) + (x2 - z2)(x - y)
 =(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
 =(x - y)(z - x)(y - z)
Bài 9: Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB,AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2.Chứng minh rằng góc PCQ = 450 
 Giải 
Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE =BP
 Ta có (c.g.c)
 Suy ra CE = CP và ECD = PCB
 Ta có ECP =ECD+DCP =PCB+DCP=900
 Chu vi tam giác APQ bằng:
 2 = AP+ PQ + QA = AB + AD
 =AP+ PB + AQ + QD PQ =PB +QD =DE + QD = QE
 Hai tam giác CEQ và CQP có:
 EC = PC ; PQ = QE và QC chung
 (c.c.c)
 Từ đó suy ra PCQ =ECP == 450
Tiết 7 +8 +9
Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng:
 a) S(AOD) = S(COD).
 b)S(AOB) . S(COD) = [S(BOC)]2
 Giải
a. Kẻ đường cao AH và BH', ta có:
 AH=BH'
 Ta có: S(ADC) = AH.DC
 S(BDC = BH'.DC
 Suy ra: S(ADC) = S(BDC)
Hay S(AOD) + S(COD). = S(BOC) +S(COD)
Suy ra: S(AOD) = S(BOC)
 b. Kẻ đường cao KB của tam giác ABC
Ta có: = = (1)
Tương tự kẻ đường cao DLcủa tamgiác ADC
 Ta có: = = (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: = 
 Hay S(AOB) . S(COD) = [S(BOC)]2
Bài 11: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD và E là trung điểm CD. Gọi M là giao điểm của AE và BD, N là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng MN song song vớiAB và tính MN biết AB = a, CD= b.
Giải
 Xét tam giác AMB có AB//DE nên:
 Mà ED =EC nên: 
 (1)
 Xét tam giác ANB có:
AB//CE nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra = 
 Áp dụng định lý Talet đảo trong tam giác AEB ta suy ra MN // AB
 * Tính MN theo a và b
 Xét tam giác AEC có MN // EC nên: = (1)
 Xét tam giác ANB có AB // EC nên: = suy ra:
 hay == (2)
 So sánh (1) và (2) ta có: = 
 Mà EC= do đó MN = 
Bài 12: Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng: + = .
 Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
 AC và BD. Kẻ BM//EF và DN //EF 
với M,N trên AC
 Xét tam giác ABM có EG // BM nên
 = (1)
Xét tam giác ADN có FG // DN nên
 = (2)
 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có
 += (3)
 Mặt khác:ABM=CDN(g.c.g)
 Suy ra AN =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được:
 += = (đpcm)
Bài 13: Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và AC sao choBM=BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC.
 Giải
Ta có BMN là tam giác đều nên G là tâm của
tam giác BMN. Gọi P là trung điểm của MN thì
 =(tính chất trọng tâm của tam giác đều)
 Ta lại có: = =
Suy ra = = (1)
 Mặt khác GPI =GPM +MPI = 900 +600 =1500
 Do đó GPI = GNC (2)
 Từ (1) và (2) suy ra GPI ~ GNC
 Từ đó ta có:PGI = NGC và GI = GC
 Suy ra IGC = 600 (vì IGC = PGN = 600)
 Gọi K là trung điểm GC thì GIK đều nên IK = GC
 Điều đó chứng tỏ GIC vuông tại I.
 Vậy GIC = 900 , IGC = 600 , GCI = 300
Tiết 10 +11+12
Bài 14: Cho a+b+c =0 .Tính giá trị biểu thức:
 A = (a-b)c3 +(c-a)b3 +(b-c)a3
 Giải
 Xét A =(a-b)c3 +(c-a)b3 +(b-c)a3
 =(a-c+c-b)c3+(c-a)b3 +(b-c)a3
 =(a-c)c3+(c-b)c3+(c-a)b3 +(b-c)a3
 =(a-c)3(c3-b3)(c-b)(c3-a3)
 =(a-c)(c-b)(c2+bc+b2-c2-ac-a2)
 =(a-c)(c-b)[c(b-a)+b2-a2]
 =(a-c)(c-b)(b-a)(c+b+a)
 Do a+b+c=0 Suy ra A=0
Bài 15: Cho các số x,y,z thoả mãn điều kiện x+y+z=1 và x3+y3+z3=1.
 Tính giá trị biểu thức:
 A=x2001+y2001+z2001
Giải
 Ta có: x+y+z=1 (x+y+z)3=1 
Mà x3+y3+z3=1 nên (x+y+z)3- x3-y3-z3=0
[(x+y+z)3- x3]-(y3+z3)=0
(x+y+z-x)[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2]-(y+z)(y2-yz+z2)=0
(y+z)[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2-y2+yz-z2]=0
(y+z)[(x+y+z)2-z2+(x+y)(x-y)+(x+y)x+(x+y)z]=0
(x+y)(y+z)(x+y+2z+x-y+x+z)=0
3(y+z)(x+y)(x+z)=0
Mà x+y+z=1 nên:
 y=-z x=-y x=-z
 x=1 z=1 y=1 
Do đó trong mọi trường hợp ta có:
 A=x2001+y2001+z2001=1 
Bài 16:
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A <900 . Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M. Chứng minh:+1= 2()2
 Giải
 Gọi D là điểm đối xứng của C qua A
Suy ra vuông tại B
BC2 = CD.CM = 2AB.CM
 Hay CM= 
Vì góc A nhọn nên M nằm giữa A và C
AM = AC - CM = AB -
=
==2()2 -1 (đpcm)