Giáo án Bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Nguyễn Tân Thành

CHUYÊN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤU TẠO SỐ
Dạng 1: Giải các bài tập thông thường về cấu tạo số
Dạng 2: Bài tập về chứng minh sự chia hết trực tiếp theo theo định nghĩa và tính chất
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số sao cho biểu thức này chia hết cho biểu thức kia
Dạng 4: Chứng minh sự không chia hết và tìm số dư phép chia
Dạng 5: Phương pháp Quy nạp và nguyên tắc DRICLE để chứng minh sự chia hết.
Bài viết này đề cập đến dạng 1: 
 Giải các bài tập chia hết thông thường về cấu tạo số
I. Phạm vi: Bài tập thuộc dạng này thường là các bài toán “tìm số” hoặc điền số mà các điều kiện ràng buộc có liên quan đến tính chất chia hết và dấu hiệu chia hết
II. Ví dụ:
1.Ví dụ 1: Hãy thay các chữ số a, b để số hia hết cho 180.
Giải
 Số 180 chia hết cho 10, chia hết cho 9 nên chia hết cho 180 dấn đến chia hết cho 10 (1) ; chia hết cho 9 (2)
Từ (1) suy ra b=0. Từ (2) suy ra a+ b+10 9; kết hợp với b=0 => a+10 9 . Vì a là chữ số nên a=8. Thử lại 28440 chia hết cho 180. Vậy a=8; b=0
2. Ví dụ 2: biết rằng số vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 11, cho 13. tìm số đó?
Giải
Vì số vừa chia hết cho 7, cho 11, cho 13 mà BCNN(7;11;13) nên chia hết cho 1001 và thương tìm được là một số có 3 chữ số ( nếu thương có 4 chữ số thì số đã cho có 7 chữ số)
Gọi thương là Khi đó = 1001. hay ta có = . Suy ra a=8; b=7; c=9 và số phải tìm là 879879. thử lại ta thấy kết quả đúng.
3. Ví dụ 3 : Tôi nghĩ ra hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chi hết cho 9. Tổng của hai số là một số có những đặc điểm sau ;
a) Có ba chữ số
b) là bội của 5
c) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một bội của 9 
d) Tỗng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4
Bạn hãy đoán xem tôi nghĩ ra số nào ?
Giải
Gọi 2 số đầu bài đã nêu là N ; N+1 (N thuộc số tự nhiên)
Từ đầu bài ta có :
N+N+ 1 = ( a, b, c là các chữ số)
chia hết cho 5
 a+c chia hết cho 9
a+b chia hết cho 4.
Theo a) ta có là số lẻ
Theo b) và c khác 0 nên c=5
Theo c) => a+5 chia hết cho 9. Mà a là chữ số nên a= 4
Theo d) => a+b chia hết cho 4 => 4+b chia hết cho 4 mà b là chữ số nên b= 0 hoặc b =4 hoặc b=8
 Thử chọn ta được b=8 và hai số đó là 242 và 243
Bài tập
Bài 1 : Hãy tìm chữ số x để
Bài 2 : Tìm x ; y để 
Bài 3 ; cho số . Biết rằng Hãy tìm để số đã cho chia hết cho 2 ; 3 ; 4 ; 5
Bài 4 : Tìm x ; y để chia hết cho 3 ; 4 ; 5
Bài 5 : Phải thay x ; y bởi chữ số nào để chia hết cho 3
Bài 6 : Phải thay x bởi chữ số nào để :
12+ chia hết cho 3
THUẬT TOÁN ƠCLIT
1. Thuật toán Ơclit
 Để tìm USCLN của hai số a và b ta có thể dùng cách chia liên tiếp gọi là thuật toán Ơclit như sau:
Bước 1: Lấy a chia cho b
Nếu a b thì ƯSCLN (a, b) =b
Nếu a b (dư r) thì làm tiếp bước 2
Bước 2: Lấy b chia cho số dư r
Nếu b r thì ƯSCLN (a, b) =r
Nếu b r (dư r1) thì làm tiếp bước 3
Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1
Nếu r r1 thì ƯSCLN (a, b) =r1
Nếu r r1 (dư r2) thì làm tiếp bước 4
Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2
Nếu r1 r2 thì ƯSCLN (a, b) =r2
Nếu r1 r2 (dư r3) thì làm tiếp tục như trên cho đến khi số dư bằng 0
 Số dư cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia liên tiếp như trên là ƯSCLN (a, b)
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: 
Tìm ƯSCLN (450; 198)
Giải
Bước 1: Lấy 450 chia cho 198
 450 : 198 = 2 (dư 54) 
Bước 2: Lấy 198 chia cho số dư 54
 198 : 54 = 3 (dư 36) 
Bước 3: Lấy 54 chia cho số dư 36
 54 : 36 = 1 (dư 18) Số dư cuối cùng khác 0
Bước 4: Lấy 36 chia cho số dư 18
 36 : 18 = 2 (dư 0) Số dư cuối cùng bằng 0
ƯSCLN (450; 198) =18 .
Thí dụ 2:
 Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯSCLN của là 15 và phép chia liên tiếp của thuật toán Ơclit các thương lần lượt là 2; 15; 9 . 
Giải
Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a, b (a>b) 
Theo đầu bài ta có 3 phép chia liên tiếp nên số dư trong phép chia thứ hai cho ta ƯSCLN (a, b) 
Ta có các phép chia sau:
a = 2b + r (1) 
b = 2r + r1 (trong đó r1=15) (2) 
r = r1.9 (3) 
Vậy r = 15.9 = 135 
b = 3.135 +15 = 420
a = 2.420 + 135 = 975
Hai số cần tìm là 975 và 420 . 
*****************************
CHUYÊN ĐỀ 2 : DẤU HIỆU CHIA HẾT
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
	Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ¹ 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 £ r £ | b|
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số dư
	r Î {0; 1; 2; ; | b|}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
	Ký hiệu: aMb hay b\ a
 Vậy:
a M b Û Có số nguyên q sao cho a = bq
II. CÁC TÍNH CHẤT
Với " a ¹ 0 Þ a M a
Nếu a M b và b M c Þ a M c
Với " a ¹ 0 Þ 0 M a
Nếu a, b > 0 và a M b ; b M a Þ a = b
Nếu a M b và c bất kỳ Þ ac M b
Nếu a M b Þ (±a) M (±b)
Với " a Þ a M (±1)
Nếu a M b và c M b Þ a ± c M b
Nếu a M b và cMb Þ a ± c M b
 Nếu a + b M c và a M c Þ b M c
 Nếu a M b và n > 0 Þ an M bn
 Nếu ac M b và (a, b) =1 Þ c M b
 Nếu a M b, c M b và m, n bất kỳ am + cn M b
 Nếu a M b và c M d Þ ac M bd
 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
	Gọi N = 
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N M 2 Û a0 M 2 Û a0Î{0; 2; 4; 6; 8}
+ N M 5 Û a0 M 5 Û a0Î{0; 5}
+ N M 4 (hoặc 25) Û M 4 (hoặc 25)
+ N M 8 (hoặc 125) Û M 8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N M 3 (hoặc 9) Û a0+a1++an M 3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
+ N M 11 Û [(a0+a1+) - (a1+a3+)] M 11
+ N M 101 Û [(++) - (++)]M101
+ N M 7 (hoặc 13) Û [( + +) - [( + +) M11 (hoặc 13)
+ N M 37 Û ( + +) M 37 
+ N M 19 Û ( a0+2an-1+22an-2++ 2na0) M 19
IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
	Ký hiệu: a º b (modun)
	Vậy: a º b (modun) Û a - b M m
b. Các tính chất
Với " a Þ a º a (modun)
Nếu a º b (modun) Þ b º a (modun)
Nếu a º b (modun), b º c (modun) Þ a º c (modun)
Nếu a º b (modun) và c º d (modun) Þ a+c º b+d (modun)
Nếu a º b (modun) và c º d (modun) Þ ac º bd (modun)
Nếu a º b (modun), d Î Uc (a, b) và (d, m) =1 
 Þ (modun)
Nếu a º b (modun), d > 0 và d Î Uc (a, b, m) 
 Þ (modun )
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
	Nếu m là 1 số nguyên dương j(m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1
	Thì aj(m) º 1 (modun)
Công thức tính j(m)
	Phân tích m ra thừa số nguyên tố
	m = p1a1 p2a2  pkak với pi Î p; ai Î N*
Thì j(m) = m(1 - )(1 - )  (1 - )
2. Định lý Fermat
	Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1 º 1 (modp)
3. Định lý Wilson
	Nếu p là số nguyên tố thì
( P - 1)! + 1 º 0 (modp)
PHẦN II: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho M 45
Giải
	Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
để M 45 Û M 5 và 9
	Xét M 5 Û b Î {0 ; 5}
	Nếu b = 0 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 11 M 9 
 Þ a = 7
	Nếu b = 5 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 16 M 9 
 Þ a = 2
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
	a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9.
Giải
	Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư 
Þ 5a - a M 9 Þ 4a M 9 mà (4 ; 9) = 1
Þ a M 9 (Đpcm)
Ví dụ 3: CMR số M 81
Giải
Ta thấy: 111111111 M 9
Có = 111111111(1072 + 1063 +  + 109 + 1)
Mà tổng 1072 + 1063 +  + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 M 9
Þ 1072 + 1063 +  + 109 + 1 M 9 
Vậy: M 81 (Đpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho 
a. M 4 và 9
b. M 17
Bài 2: Cho số N = CMR
	a. N M 4 Û (a + 2b) M 4
	b. N M 16 Û (a + 2b + 4c + 8d) M 16 với b chẵn
	c. N M 29 Û (d + 2c + 9b + 27a) M 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 1920217980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: 	a. x = 	và y = 2
	 	 x =	và y = 6
	b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 Û x = 2
Bài 2: 	a. NM4 Û M4 Û 10b + aM4 Û 8b + (2b + a) M4
 Þ a + 2bM4
	b. NM16 Û 1000d + 100c + 10b + aM16
 	 Û (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) M16
	 Þ a + 2b + 4c + 8dM16 với b chẵn
	c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - M29
 mà (1000, 29) =1
 M29
 Þ (d + 3c + 9b + 27a) M29
Bài 3: Gọi là số có 2 chữ số
 Theo bài ra ta có:
= 10a + b = 2ab (1)
 M2 Þ b Î{0; 2; 4; 6; 8} 
 Thay vào (1) a = 3; b = 6
Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 
	Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 M 4 và 5
	Þ AM 4 và 5
Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558 M 9 Þ A M 9
 279 - 279 = 0 M 11 Þ A M 11
Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. 
Có 46 số tự nhiên liên tiếp Þ có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ Þ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.
Bài 6: Có =
Mà = 3. 
Þ = (Đpcm)
2. Phương pháp 2: 
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp
	m + 1; m + 2;  m + n với m Î Z, n Î N*
Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2;  n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i = 
	Þ m + i M n
* Nếu không tồn tại số dư là 0 Þ không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n Þ phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau.
Giả sử: 
	 Þ i - j = n(qi - qj) M n Þ i - j M n
mà ½i - j½< n Þ i - j = 0 Þ i = j
	 Þ m + i = m + j
Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n
Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
 	 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giải
a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Þ Số chẵn đó chia hết cho 2.
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Þ Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) M 3 (CM Ví dụ 1)
Þ 3(n - 1)n (n + 1) M 9
mà 
Þ A M 9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 3 84 với " n chẵn, n³4
Giải
Vì n chẵn, n³4 ta đặt n = 2k, k³2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
 = đặt 16k(k3 - 2k2 - k +  ... Chứng minh : 
a) BH = CK. 
b) Tam giác MHK vuông cân. (TTT số 9)
Bài 9: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D. 
a) Chứng minh rằng : BE = CD và AD = AE. 
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ở M. Chứng minh rằng các tam giác MAB, MAC là các tam giác cân. 
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng : KH = KC. (TTT số 13)
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng : 
a) ∆ ABE = ∆ ADC. 
b) Ð BMC = 120o (TTT số 21)
Bài 11: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 
a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó. 
b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh rằng : AE = AB.(TTT số 21).
B. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác:
Ví dụ 1. Vẽ ra phía ngoài DABC các hình vuông ABDE và ACFK. Chứng minh rằng:
	a) EK vuông góc với trung tuyến AM của DABC và EK = 2AM.
b) Nếu I là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAKI thì I thuộc đường cao AH của DABC.
	c) CD = BI và CD ^ BI; BF = CI và BF ^ CI.
	d) CD, BF, AH đồng quy.
2. Sử dụng tứ giác nội tiếp:
Ví dụ 2. Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A', B', C' là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).
3. Chứng minh các đường thẳng chia một đoạn (trong hoặc ngoài) theo các tỉ số bằng nhau:
Chú ý: Các khái niệm đường thẳng chia trong (ngoài) một đoạn thẳng.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác bất kì, các đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác với trọng tâm tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
3. Sử dụng phép đối xứng:
Ví dụ 4. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB tại các điểm A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2. Chứng minh rằng: Nếu các đường thẳng vuông góc với các cạnh của DABC và tương ứng đi qua A1, B1, C1 đồng quy, thì các đường thẳng vuông góc với các cạnh của DABC và tương ứng đi qua A2, B2, C2 cũng đồng quy.
4. Áp dụng định lí Céva:
Chú ý: (Định lí Céva)
	Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của DABC, lần lượt lấy các điểm P, Q, R. Khi đó:
	AP, BQ, CR đồng quy Û .
Ví dụ 5. Gọi A', B', C' là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp DABC với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.
II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho DABC. Vẽ ra phía ngoài ba tam giác đều ABC', BCA', CAB'.
	a) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' bằng nhau.
	b) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.
Bài 2. Cho ba đường tròn (O1), (O2) và (O3) có bán kính bằng nhau và bằng R, cùng cắt nhau tại điểm O. Gọi giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn trên là A, B, C. 
Chứng minh rằng: 
	a) Đường tròn qua A, B, C có bán kính R.
b) Ba đường thẳng xác định bởi tâm đường tròn này và giao điểm (khác O) của hai đường tròn kia đồng quy.
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB > CD). Gọi E là giao điểm hai cạnh bên AD và BC; F là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy.
b) Biết diện tích hình thang bằng 1. Đường chéo hình thang có thể lấy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
c) Cho hình thang ngoại tiếp một đường tròn (O). Đáy AB, CD tiếp xúc (O) tại M, N. Trên AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB. Chứng minh rằng: AD, BC, NM đồng quy.
CHUYEÂN ÑEÀ 7 - CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ ÑÒNH LÍ TA-LEÙT
A.Kieán thöùc:
1. Ñònh lí Ta-leùt:
* §Þnh lÝ Ta-lÐt: 
* HÖ qu¶: MN // BC 
B. Baøi taäp aùp duïng:
1. Baøi 1:
Cho töù giaùc ABCD, ñöôøng thaúng qua A song song vôùi BC caét BD ôû E, ñöôøng thaúng qua B song song vôùi AD caét AC ôû G
a) chöùng minh: EG // CD
b) Giaû söû AB // CD, chöùng minh raèng AB2 = CD. EG
Giaûi
Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD
a) Vì AE // BC (1)
 BG // AC (2)
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: EG // CD
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD neân
Baøi 2: 
Cho ABC vuoâng taïi A, Veõ ra phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc ABD vuoâng caân ôû B, ACF vuoâng caân ôû C. Goïi H laø giao ñieåm cuûa AB vaø CD, K laø giao ñieåm cuûa Ac vaø BF.
Chöùng minh raèng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giaûi 
Ñaët AB = c, AC = b. 
BD // AC (cuøng vuoâng goùc vôùi AB) 
neân 
Hay (1)
AB // CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AC) neân 
Hay (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra: AH = AK
b) Töø vaø suy ra (Vì AH = AK)
 AH2 = BH . KC
3. Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G. Chöùng minh raèng:
a) AE2 = EK. EG 
b) 
c) Khi ñöôøng thaúng a thay ñoåi vò trí nhöng vaãn qua A thì tích BK. DG coù giaù trò khoâng ñoåi
Giaûi
a) Vì ABCD laø hình bình haønh vaø K BC neân
AD // BK, theo heä quaû cuûa ñònh lí Ta-leùt ta coù:
b) Ta coù: ; neân
 (ñpcm)
c) Ta coù: (1); (2)
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: khoâng ñoåi (Vì a = AB; b = AD laø ñoä daøi hai caïnh cuûa hình bình haønh ABCD khoâng ñoåi)
4. Baøi 4: 
 Cho töù giaùc ABCD, caùc ñieåm E, F, G, H theo thöù töï chia trong caùc caïnh AB, BC, CD, DA theo tæ soá 1:2. Chöùng minh raèng:
a) EG = FH
b) EG vuoâng goùc vôùi FH 
Giaûi
Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa CF, DG
Ta coù CM = CF = BC 
EM // AC (1)
T­¬ngtù, ta cã: NF // BD (2)
mµ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
T­¬ngtù nh trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b)
MÆt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC BD EM MG (4)
T­¬ngtù, ta cã: (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra (c)
Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gäi giao ®iÓm cña EG vµ FH lµ O; cña EM vµ FH lµ P; cña EM vµ FN lµ Q th× 
 mµ (®èi ®Ønh), (EMG = FNH)
Suy ra EO OP EG FH
5. Bµi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C vÏ ®êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng
a) MP // AB
b) Ba ®êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
Gi¶i
a) EP // AC (1)
 AK // CD (2)
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3)
KÕt hîp (1), (2) vµ (3) ta cã MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4)
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF, ta cã: = 
Mµ (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba ®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vµ DB hay ba ®êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
6. Bµi 6:
Cho ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña ; ®êng th¼ng nµy c¾t BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng nhau
Gi¶i
Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ AB; M lµ giao ®iÓm cña DF vµ BC
KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®êng cao nªn KBC c©n t¹i B BK = BC vµ FC = FK
MÆt kh¸c D lµ trung ®iÓm AC nªn DF lµ ®êng trung b×nh cña AKC DF // AK hay DM // AB
Suy ra M lµ trung ®iÓm cña BC 
DF = AK (DF lµ ®êng trung b×nh cña AKC), ta cã
( do DF // BK) (1)
Mæt kh¸c (V× AD = DC) 
Hay (v× = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra = EG // BC
Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE 
Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F
a) Chøng minh FE // BD
b) Tõ O kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH
Bµi 2: 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF
CHUYEÂN ÑEÀ 8 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC
A. Kieán thöùc:
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A 
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: 
B. Baøi taäp vaän duïng
1. Baøi 1:
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD
a) Tính ñoä daøi BD, CD
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
Giaûi
a) AD laø phaân giaùc cuûa neân 
Do ñoù CD = a - = 
b) BI laø phaân giaùc cuûa neân 
2. Baøi 2:
Cho ABC, coù < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
a)Ta coù > = 
 > AD < AB
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù
 DM = ; CD = ( Vaän duïng baøi 1) DM = 
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m
Baøi 3:
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E
a) Chöùng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù
Giaûi
a) MD laø phaân giaùc cuûa neân (1)
 ME laø phaân giaùc cuûa neân (2)
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC
b) DE // BC . Ñaët DE = x 
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A
4. Baøi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi
a) BD laø phaân giaùc neân 
 (1)
Maët khaùc KD // BC neân (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù (Goùc so le trong) 
 maø E naèm giöõa K vaø B neân > > > EB < DE
Ta laïi coù > > (Vì = )
Suy ra CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5:
Cho ABC vôùi ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
a. .
b. . 
Giaûi
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa neân ta coù: (1)
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: (2) ; (3)
Töø (1); (2); (3) suy ra: = 1
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 
Chøng minh t­¬ngtù ta cã : Vµ Nªn: 
 ( ®pcm )
Bµi tËp vÒ nhµ
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK
c) Chöùng minh CE > BD