Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Nguyễn Mạnh Hùng

Ngày soạn 22 / 11 
CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 A. MỤC TIÊU:
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = = 
Cách 2: 
 = 
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 
 = 
Vì với mọi x nên không phân tích được thành 
nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = 
= 
Đặt = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2
Ví dụ 4: B = 
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2() và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4() + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 
Ví dụ 5: 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ). Ta có:
C = (m + c)3 – 4. = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x4 - 32x2 + 1
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
12) x3 + 3xy + y3 - 1
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
14) x8 + x + 1
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
17) x4 - 8x + 63
d) Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét hay nhiÒu h¹ng tö
- §èi víi ph­¬ng ph¸p nµy th­êng ®­îc ®­îc ¸p dông ®èi tam thøc bËc hai 
ax2 + bx + c vµ cã hai c¸ch t¸ch h¹ng tö:
 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö.
Trong tam thøc bËc hai ax2 + bx +c hÖ sè b ®­îc t¸ch thµnh b = b1 + b2 sao cho 
b1b2 = ac. Trong thùc tÕ khi lµm chóng ta nªn lµm nh­ sau:
VD1: M = x2 - 4x - 12
B­íc 1: T×m tÝch a.c = 1.(-12) = -12
B­íc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch 2 thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
 -12=1.(-12) = (-1).12 = (-2).6 = 2.(-6) = (-3).4 = (-4).3
B­íc 3: Chän 2 thõa sè mµ tæng b»ng b = - 4 = - 6 +2 nh­ vËy t¸ch - 4x = - 6x + 2x
 M = x2 - 6x + 2x - 12 = x(x - 6) +2(x- 6) = (x- 6)( x + 2)
VD2: N = 2x2 + x - 6
Ta thÊy 2.(-6) = - 12 = 4 . (- 3) mµ 4 + (- 3) = 1 vËy t¸ch x = 4x - 3x
Ta cã: N = 2x2 + 4x - 3x - 6 = 2x(x+2) - 3(x+2) = (2x - 3)(x+2)
C¸ch 2: T¸ch h¹ng tö tù do thµnh 2 h¹ng tö råi ®­a vÒ d¹ng hiÖu hai b×nh ph­¬ng.
 Tæng qu¸t: A = 
 = = 
§iÒu kiÖn: a2 b
 * Chó ý : 
 - Th­êng ¸p dông ®èi víi tam thøc bËc hai cã hÖ sè cña x chia cho hÖ sè cña x2 ®­îc th­¬ng chia hÕt cho 2 cßn kh«ng th× nªn ¸p dông theo c¸ch 1.
	- a2 < b th× ®a thøc kh«ng thÓ ph©n tÝch tiÕp ®­îc n÷a.
 VD1: K = x2 + 6x + 5 = x2 + 2.x.3 + 32 - 32 + 5 
	 = (x + 3)2 - 22 = (x + 3 - 2)(x + 3 +2) = (x + 1)(x + 5)
 VD2: H = x2 + 10x + 16 = x2 + 2.x.5 + 52 - 52 + 16
	 = (x + 5)2 - 32 = (x +5 - 3)(x + 5 +3) = (x + 2)(x + 8)
e) Ph­¬ng ph¸p thªm bít mét hay nhiÒu h¹ng tö. 
- §èi víi ph­¬ng ph¸p nµy th­êng ®­îc chia ra lµm hai d¹ng : 
 §a thøc cã d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét tæng: A = a4 + b4
 VD1: Ph©n tÝch ®a thøc P = x4 + 4y4 thµnh nh©n tö.
 NhËn xÐt: HiÖn ®a thøc cã tæng b×nh ph­¬ng (x2)2 + (2y2)2 t­¬ng øng víi 2 sè h¹ng a2 + b2 cña h»ng ®¼ng thøc a2 + 2ab + b2 nh­ vËy cßn thiÕu 2ab nªn ®Ó cã h»ng ®¼ng thøc th× chóng ta thªm tÝch 2.x.2y2 råi bít ®i 2.x.2y2 .
 P = x2 + 4y2 = (x2)2 + (2y2)2 + 2.x.2y2 - 2.x.2y2 
 = (x2 - 2y2)2 - (2xy2)2 = (x2 - 2y2 - 2xy2) (x2 - 2y2 + 2xy2).
 Chó ý: Sè h¹ng thªm vµ bít ph¶i cã d¹ng b×nh ph­¬ng th× míi lµm tiÕp ®­îc bµi to¸n ®­îc.
VD2: (Bµi 43d trang 20/SGK)
 Ph©n tÝch ®a thøc Q = 
 = 
 VD3: Q = 
C¸ch 1: Thªm bít ®Ó ®Æt nh©n tö chung
 Q = = - 
 = 
 = 
C¸ch 2: Thªm bít ®Ó cã d¹ng dÉn ®Õn thõa sè chung .
 Q = 
 = 
 = 
 = 
 VD4: D = 
C¸ch 1: Thªm bít ®Ó ®Æt nh©n tö chung .
 D = 
 =+()-() 
 = 
 = 
C¸ch 2: Thªm bít ®Ó xuÊt hiÖn dÉn ®Õn cã chøa .
 D = = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = .
f) Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô. 
 Trong mét sè tr­êng hîp viÖc ®Æt Èn phô lµm cho bµi to¸n dÔ thÊy lêi gi¶i ph©n tÝch thµnh nh©n tö nhanh h¬n.
 VD1: M = ( x2 + 4x + 8)2 - 3x ( x2 + 4x + 8) + 2x2
 §Æt x2 + 4x + 8 = t 
 Ta cã: M = t2 - 3xt + 2x2 = t2 - 2xt - xt + 2x2 = t(t - 2x) - x(t - 2x)
	 = ( t - 2x) ( t - x) = (x2 + 4x + 8 -2x) (x2 + 4x + 8 - x)
	= (x2 + 2x + 8) (x2 + 3x + 8)
 VD2: N = (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) +1
	 = [(x+1)(x+4)] [(x+2) (x+3)] +1
	 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) +1
 §Æt x2 + 5x + 5 = t 
 N = (t - 1)(t + 1) +1 = t2 - 1 + 1 = t2 = (x2 + 5x + 5)2.
g) Ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n nghiÖm cña ®a thøc
§Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö chóng ta cã thÓ sö dông hÖ qu¶ cña ®Þng lÝ Bezout:
 NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) th× f(x) cã chøa thõa sè x- a
VD1: f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4
Th­êng ta dù ®o¸n nghiÖm cña ®a thøc lµ c¸c ­íc cña h¹ng tö ®éc lËp lµ -4 , ¦(- 4) = 
ThÕ x= vµo f(x) th× ta thÊy x = 1 vµ x = 2 lµm f(x) = 0. VËy f(x) cã nghiÖm x = 1 vµ x = 2 cho nªn theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Be zout f(x) sÏ chøa thõa sè x - 1 vµ x- 2 . VËy ta cè g¾ng lµm xuÊt hiÖn thõa sè x - 1 vµ x - 2 .
f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4
 = x2( x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
 = (x - 1) ( x2 - 4x + 4) 
 = (x - 1)(x -2)2
VD2: f(x) = x3 - 6x2 + 6x - 7
 ¦(-7) ...  haønh vaø K BC neân
AD // BK, theo heä quaû cuûa ñònh lí Ta-leùt ta coù:
b) Ta coù: ; neân
 (ñpcm)
c) Ta coù: (1); (2)
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: khoâng ñoåi (Vì a = AB; b = AD laø ñoä daøi hai caïnh cuûa hình bình haønh ABCD khoâng ñoåi)
4. Baøi 4: 
 Cho töù giaùc ABCD, caùc ñieåm E, F, G, H theo thöù töï chia trong caùc caïnh AB, BC, CD, DA theo tæ soá 1:2. Chöùng minh raèng:
a) EG = FH
b) EG vuoâng goùc vôùi FH 
Giaûi
Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa CF, DG
Ta coù CM = CF = BC 
EM // AC (1)
T­¬ng tù, ta cã: NF // BD (2)
mµ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
T­¬ng tù nh­ trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b)
MÆt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC BD EM MG (4)
T­¬ng tù, ta cã: (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra (c)
Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gäi giao ®iÓm cña EG vµ FH lµ O; cña EM vµ FH lµ P; cña EM vµ FN lµ Q th× 
 mµ (®èi ®Ønh), (EMG = FNH)
Suy ra EO OP EG FH
5. Bµi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C vÏ ®­êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng
a) MP // AB
b) Ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
Gi¶i
a) EP // AC (1)
 AK // CD (2)
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3)
KÕt hîp (1), (2) vµ (3) ta cã MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4)
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF, ta cã: = 
Mµ (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®­êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba ®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vµ DB hay ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy
6. Bµi 6:
Cho ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®­êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña ; ®­êng th¼ng nµy c¾t BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng nhau
Gi¶i
Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ AB; M lµ giao ®iÓm cña DF vµ BC
KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®­êng cao nªn KBC c©n t¹i B BK = BC vµ FC = FK
MÆt kh¸c D lµ trung ®iÓm AC nªn DF lµ ®­êng trung b×nh cña AKC DF // AK hay DM // AB
Suy ra M lµ trung ®iÓm cña BC 
DF = AK (DF lµ ®­êng trung b×nh cña AKC), ta cã
( do DF // BK) (1)
Mæt kh¸c (V× AD = DC) 
Hay (v× = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra = EG // BC
Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE 
Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®­êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F
a) Chøng minh FE // BD
b) Tõ O kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH
Bµi 2: 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®­êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF
B. Baøi taäp vaän duïng
1. Baøi 1:
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD
a) Tính ñoä daøi BD, CD
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
Giaûi
a) AD laø phaân giaùc cuûa neân 
Do ñoù CD = a - = 
b) BI laø phaân giaùc cuûa neân 
2. Baøi 2:
Cho ABC, coù < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
a)Ta coù > = 
 > AD < AB
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù
 DM = ; CD = ( Vaän duïng baøi 1) DM = 
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m
Baøi 3:
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E
a) Chöùng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù
Giaûi
a) MD laø phaân giaùc cuûa neân (1)
 ME laø phaân giaùc cuûa neân (2)
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC
b) DE // BC . Ñaët DE = x 
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A
4. Baøi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi
a) BD laø phaân giaùc neân 
 (1)
Maët khaùc KD // BC neân (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù (Goùc so le trong) 
 maø E naèm giöõa K vaø B neân > > > EB < DE
Ta laïi coù > > (Vì = )
Suy ra CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5:
Cho ABC vôùi ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
a. .
b. . 
Giaûi
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa neân ta coù: (1)
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: (2) ; (3)
Töø (1); (2); (3) suy ra: = 1
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã : Vµ Nªn: 
 ( ®pcm )
Bµi tËp vÒ nhµ
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK
CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
A. Kieán thöùc:
* Tam giaùc ñoàng daïng:
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); = K2
B. Baøi taäp aùp duïng
Baøi 1:
Cho ABC coù, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì moãi caïnh laø bao nhieâu?
Giaûi
Caùch 1:
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caùch 2:
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1)
Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2
+ Neáu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loaïi)
+ Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4
- Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi)
- Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi)
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6
Baøi 2:
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaûi
Ta coù CD = 4 cm vaø BC = 5 cm
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3:
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy ñieåm E treân AC sao cho . Chöùng minh raèng
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Giaûi
a) Töø vaø (gt) DBOOCE
b) Töø caâu a suy ra (1)
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân (2)
trong tam giaùc EOC thì (3)
Töø (1), (2), (3) suy ra 
DOE vaø DBO coù (Do DBOOCE) 
vaø (Do OC = OB) vaø 
neân DOE DBOOCE
c) Töø caâu b suy ra DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE
Cuûng töø caâu b suy ra EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008)
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi
b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa 
c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu
Giaûi
a) Ta coù , maø (gt)
neân , keát hôïp vôùi (ABC caân taïi A)
suy ra BDM CME (g.g) 
 khoâng ñoåi
b) BDM CME 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM laø tia phaân giaùc cuûa 
c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa 
keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK DKM = DIM 
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = 
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Baøi 5: 
Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F
a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC
b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE
Giaûi
a) DE // AM (1)
 DF // AM (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
DE + DF = = khoâng ñoåi
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3)
 (2)
(Vì CM = BM)
Töø (1) vaø (2) suy ra FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE
Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004)
Cho hình thoi ABCD caïnh a coù , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa caùc tia BA, DA taïi M, N
a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi
b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD
Giaûi
a) BC // AN (1)
 CD// AM (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
b) MBD vaøBDN coù= 1200
 (Do ABCD laø hình thoi coù neân AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy ra . MBD vaøBKD coù vaø neân 
Baøi 7: 
Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Giaûi
a) Töø AD // CM (1)
Töø CD // AN (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
b) Ta coù (3)
Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 (4)
Töø (3) vaø (4) suy ra 
c) Ta coù AGB AEC AB. AE = AG(AG + CG) (5)
CGB AFC (vì CB = AD) 
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1
Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G
Chöùng minh: 
HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC)
Baøi 2:
Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F
 chöùng minh:
a) DE2 = . BE2
b) CE2 = FE. GE
(Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG)
Baøi 3
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng
a) 
b) BH = AC