Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Bạch Ngọc Dũng

Bài 1: 
 Cho .Chứng minh :
 (1) ( Với abc)
 Giải
 Ta có: (1) (ax+by + cz)2 (x2 + y2 +z2 )(a2 +b2 + c2)
 Đặt = k x = ak ; y = bk ; z = ck
 x2 = a2k2 ; y2 = b2k2 ; z2 = c2k2
 Biến đổi VT ta có:
 VT = (a2k +b2k +c2k)2 = k2(a2 +b2 + c2)2
 Biến đổi VP ta có:
 VP = a2x2 + b2x2 + c2x2 + a2y2 + b2y2 + c2y2 + a2z2 + b2z2 + c2z2
 = a4k2 + b4k2 + c4k2 +2a2b2k2 +2b2c2k2 +2a2c2k2
 = k2( a4 + b4 + c4 +2a2b2 +2b2c2 +2a2c2)
 = k2( a2 +b2 + c2)2
Ta thấy VT = VP (đpcm)
Bài 2: 
 Cho abc = 1 . Tính giá trị biểu thức
 P = ++
 Giải
 Xét ab +a + 1= ab +a + abc ( do abc = 1)
 = a( bc + b +1)
 Xét ca + c +1 = ca + c +abc
 = c(ab + a + 1) = ac( bc + b +1)
 P = ++= = 1
Bài 3: 
Cho x,y,z . Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y,z.
A = ++
 Giải
Xét = = 1 +- 
Tương tự : = 1 +- 
 = 1 +- 
 Do đó A = 3
Bài 4: 
Rút gọn biểu thức:
P = ++
 Giải
Xét (b-c)(a2+ac -b2 -bc) = (b-c)(a-b)(a+b+c)
Tương tự: (c-a)(b2+ab -c2-ac)= (c-a)(b-c)(a+b+c)
 (a-b)(c2+bc -a2- ab) = (a-b)(c-a)(a+b+c)
 P =++
= = 0
Với a, b, c đôi một khác nhau và a +b +c 
Bài 5: 
Cho x, y, z là các số khác nhau và x+y+ z = 2009. Tính giá trị biểu thức:
 P = ++
 Giải
MTC : (x-y)(x-z)(y-z)
 Qui đồng biến đổi P thành phân thức có tử thức là :
 x3(y-z) - y3(x-z) + z3(x-y)
= x3(y-z) - y3(x-z) + z3(x-z +z-y)
= x3(y-z) - y3(x-z) + z3(x-z) +z3(z-y)
= (y-z)(x3-z3) - (x-z)(y3 -z3)
= (y-z)(x-z)(x2+xz+z2-y2-yz -z2) 
= (y-z)(x-z)(x-y)(x+y+z) 
P = = 2009
Bài 6: 
Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn điều kiện:
 x +y +z = xyz và ++= 2009.
Hãy tính giá trị biểu thức A = ++
 Giải
 Xét ( ++)2 = +++++
 = +++2(
 Vì x +y +z = xyz và ++= 2009.
20092 = +++2 ++= 20092 - 2
Bài 7: 
Tính tổng: S =++
 (Với a, b, cđôi một khác nhau)
 Giải
Ta có: S = ++
 = 
 = = 
 = = 
= = = 1
Bài 8:
Cho x,y,z là các số dương thoả mãn đ/k : 2x2 +3y2 -2z2 = 0.
 Chứng minh z là số lớn nhất.
 Giải
 Ta có : 2x2 +3y2 -2z2 = 03y2 = 2(z2 - x2) = 2(z-x)(z+x)
 Vì y> 0 3y2 > 0 y ; z+ x > 0 (do z, x > 0 )
 Nên z - x > 0 z > x.
 Tương tự : 2x2 +3y2 -2z2 = 02x2 + y2 = 2(z2 - y2) 
 Từ đó suy ra x > y
 Vật z là số lớn nhất trong 3 số x, y, z
Bài 9:
Chứng minh rằng :'' Trong 1 tam giác ,bình phương độ dài của 1 cạnh đối diện với góc nhọn bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi 2 lần tích độ dài 1 trong 2 cạnh ấy với độ dài hình chiếu của cạnh còn lại trên nó''
 Giải
Giả sử ABC có A nhọn, AH là hình chiếu của AC trên AB.
 Ta cần chứng minh:
 BC2 = AB2 +AC2 - AB. AH 
Ta có: BC2 = BH2 +CH2
 BC2 = BH2 +AC2 - AH2 (1) 
 Vì Â nhọn H nằm giữa A và B
BH2 =(AB - AH)2 = AB2 +AH2 - 2AB.AH (2)
 Từ (1) và (2) đpcm
Bài 10:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng AM2 =.
 Giải
Giả sử AB < AC AMB nhọn , AMC tù
Áp dụng bài 9 cho ABM ta có:
 AB2 = AM2 +BM2 - 2MB. MH (1)
 Trong AHC có:
 AC2 = AH2 +HC2 = AM2 -HM2 +(HM+MC)2
 = AM2 -HM2 +HM2+MC2 +2HM.MC	
 AC2 = AM2 +MC2 +2MH.MC (2 )
Mà MB = MC (3)
Từ (1),(2), (3) AB2 +AC2 = 2AM2 +2AM2 = AB2 +AC2 - 
Hay AM2 =(đpcm)
Bài 11:
Cho tam giác ABC cân ở A có Â nhọn . Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M.
 Chứng minh : +1 =2()2 
 Giải
Gọi D là điểm đối xứng của C qua A
 BDC vuông tại B.
BC2 = CD. CM = 2AB .CM
 Hay CM = 
 Vì Â nhọn nên M ở giữa A và C
AM = AC - CM =AB - 
 AM = 
= = 2()2 - 1
đpcm .